Triangle rectangle et trigonométrie

Triangle rectangle et trigonométrie
I – Rappels sur les triangles rectangles :
1. Configurations géométriques :
Retrouver les différentes propriétés d’un triangle rectangle :
Hypoténuse : c’est le coté opposé à l’angle droit, c’est le plus grand coté du triangle.
Orthocentre : c’est le sommet de l’angle droit, les cotés de l’angle droit sont les
hauteurs respectives de ces cotés.
Cercle circonscrit : l’hypoténuse est un de ses diamètres.
Centre du cercle circonscrit : c’ est le milieu de l’hypoténuse.
Médiane issue de l’angle droit : Elle a pour mesure la moitié de l’hypoténuse et donc
OC = OB = OA.
2. Théorème de Pythagore :
Soit ABC un triangle. Si le triangle ABC est rectangle en A.
alors BC ! = AB ! + AC !
3. Réciproque du théorème de Pythagore :
Soit ABC un triangle. Si BC ! = AB ! + AC !
alors le triangle ABC est rectangle en A.
4. Contraposée du théorème de Pythagore :
Soit ABC un triangle de plus grand coté [BC].
Si BC ! ≠ AB ! + AC !
alors le triangle ABC n’est rectangle en A.
1 II - Rappel : cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle
1. Vocabulaire :
Soit ABC un triangle rectangle en A.
Le côté opposé (face) à l’angle droit est l’hypoténuse. Ici c’est [BC]
Si on s’intéresse à l’angle B̂ :
Le côté opposé à l’angle B̂ est [AC]
Le côté adjacent à l’angle B̂ est [AB]
C
A
Si on s’intéresse à l’angle Ĉ :
Le côté opposé à l’angle Ĉ est [AB]
Le côté adjacent à l’angle Ĉ est [AC]
B
Remarque : Bˆ + Cˆ = 90°
2. Formule :
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑢 𝑐𝑜𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝐵 𝐴𝐵
=
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑙 ! ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒
𝐵𝐶
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑢 𝑐𝑜𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝐶 𝐴𝐶
𝑐𝑜𝑠 Ĉ = =
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑙 ! ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒
𝐵𝐶
𝑐𝑜𝑠 B̂ = Remarque : Comme l’hypoténuse est le plus grand côté, le cosinus d’un angle est toujours
plus petit que 1.
III – Généralisation : Relations trigonométriques dans le triangle rectangle :
1. Formules :
Soit ABC un triangle rectangle en A.
𝑐𝑜𝑠𝐵 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑢 𝑐𝑜𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝐵 𝐴𝐵
=
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑙 ! ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒
𝐵𝐶
sin 𝐵 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑢 𝑐𝑜𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝐵 𝐴𝐶
=
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑙 ! ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒
𝐵𝐶
𝑡𝑎𝑛𝐵 =
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑢 𝑐𝑜𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝐵
sin 𝐵 𝐴𝐶
=
=
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑟 𝑑𝑢 𝑐𝑜𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝐵 𝑐𝑜𝑠𝐵 𝐴𝐵
sin =
opposé
hypoténuse
C
A
cos =
B
adjacent
hypoténuse
tan =
opposé
adjacent
2 C
B
III - Formules et valeurs remarquables :
1. Formule fondamentale
(𝑐𝑜𝑠𝐴)! + (𝑠𝑖𝑛𝐴)! = 1 Démonstration
AB ! BC ! AB ! + BC !
(cosA) + (sinA) =
+
=
= 1 AC ! AC !
AC !
!
!
car d’après le théorème de Pythagore AB + BC = AC ! !
A
!
Conclusion, quelle que soit la mesure x de l’angle aigu :
(cos x)2 + (sin x)2 = 1
remarque : on note aussi 𝑠𝑖𝑛! 𝐴 + 𝑐𝑜𝑠 ! 𝐴 = 1
2. Valeurs remarquables :
a) Soit ABC un triangle rectangle isocèle en B tel
que AB = BC = a.
BAC = ACB = 45°
D’après le théorème de Pythagore :
AC ! = AB ! + BC ! = 2a! donc AC = a 2.
AB
a
1
2
sin 45° = cos 45° =
=
=
= AC a 2
2
2
b) Soit EFG un triangle équilatéral de côté a et H le
pied de la hauteur issue de F et donc le milieu de
[EG].
a
Donc HG = 2
et dans le triangle FGH rectangle en H HF ! + HG! = FG! donc HF ! = GF ! − HG! a! 3
3
HF ! = a! − = a! et HF = a
4 4
2
HGF = 60° et HFG = 30°
𝑎
HG
1
cos HGF =
= sin HFG = 2 =
GF
𝑎 2
3
𝑎 2
HF
3
sin HGF =
= cos HFG =
=
GF
𝑎
2
D’où le tableau des valeurs remarquables :
Angle ∝
Cos ∝
Sin ∝
30°
45°
60°
3
2
1
2
2
2
2
2
1
2
3
2
3