Exercises in Algebra

M1 MATHS
TD ALGÈBRE II
CHRISTOPHE RITZENTHALER
1. Algèbre

0

Exercice 1. Soit A ∈ M3 (R) la matrice 1
0
−1
3
5
A. En déduire A , A et A .
linéaire

1 1
0 1 . Calculer le polynôme minimal de
0 1
Exercice 2. Soient E un espace vectoriel de dimension n ≥ 2 et f un endomorphisme
de E de rang 1. Montrer que le polynôme minimal de f est de la forme X(X − λ).
Exercice 3. Soit u un endomorphisme d’un k-espace vectoriel de dimension finie.
(1) Montrer que λ est une racine de χu si et seulement si λ est une valeur propre de
u.
(2) En déduire que χu et µu ont les mêmes racines.
(3) Montrer alors que u est bijective si et seulement si µu (0) 6= 0.
Exercice 4. Soient (P, Q) ∈ k[X]2 unitaires. Montrer que si P |Q et P et Q ont même
ensemble de racines alors il existe une matrice à coefficients dans k ayant P comme
polynôme minimal et Q comme polynôme caractéristique. On pourra commencer par
décomposer P et Q en polynômes irréductibles sur k.
Exercice 5. Montrer que les endomorphismes u et t u ont mêmes polynômes caractéristiques et polynômes minimaux.
Exercice 6. Soit u, v deux endomorphismes d’un k-espace vectoriel E de dimension finie
qui commutent.
(1) Montrer que ker v et Im v sont stables par u.
Soit maintenant Q ∈ k[X]. On souhaite montrer que pgcd(Q, µu ) = µu,ker(Q(u)) .
(2) Montrer que pgcd(Q, µu ) est divisible par µu,ker(Q(u)) .
Soit alors D = pgcd(Q, µu ), R tel que D = Rµu,ker(Q(u)) et S tel que µu = SD. On
souhaite montrer que R = 1.
(3) Montrer que ker Q(u) = ker D(u).
(4) Montrer que ker D(u) ⊂ ker µu,ker(Q(u)) (u).
(5) Montrer que µu (u) = 0 implique Im S(u) ⊂ ker D(u).
(6) En déduire que µu,ker(Q(u)) · S annule u et conclure.
Exercice 7. Soit u un endomorphisme linéaire. Que peuvent valoir µu et χu quand
(1) u2 = 1;
(2) u2 = u;
(3) u est nilpotent;
(4) u est un bloc de Jordan ?
1
2. Algèbre linéaire (suite)
Exercice 8. Soit E un espace vectoriel réel de dimension 4. Soit:


1 0 0 0
 −1 4 1 −2 

U =
 2 1 2 −1 
1 2 1 0
la matrice d’un endomorphisme u de E dans la base canonique de E.
(1) Calculer le polynôme caractéristique de u. Déterminer les sous-espaces propres
E1 et E2 . Pourquoi u est-il non diagonalisable? Est-il triangularisable ?
(2) Déterminer les sous-espaces caractéristiques F1 et F2 . Pour k = 1, 2, donner
l’ordre βk du nilpotent (u − λk .idE )|Fk ( λ1 = 1, λ2 = 2).
(3) Si v ∈ F2 et v ∈
/ ker(u − 2.idE )β2 −1 , montrer que f1 = (u − 2.idE )β2 −1 (v), f2 =
(u − 2.idE )β2 −2 (v), ..., fβ2 = v forment une base de F2 .
(4) On note f = {f1 , . . . , f4 } la complétée de la base précédente par une base de F1 .
Vérifier que T = [u]ff est de Jordan.
(5) Décomposer T sous la forme D + N , où D est diagonale, N est nilpotente, et
DN = N D. Calculer T 5 .
Exercice 9. Réduire sous la forme de Jordan les matrices suivantes :






3 −1 1 −7
4 0 0 0
−1 1 0


0 0 1 0
 , 9 −3 −7 −1 .
1
1 2 , 
0 0
0 1 2 2
4 −8
1 −1 0
0 0
2 −4
0 1 −1 1
Exercice 10. Soit u un endomorphisme d’invariants de similitude
P1 = (X − 1),
P2 = (X − 1)2 (X − 2)2 ,
P3 = (X − 1)2 (X − 2)4 (X − 3)
donner sa forme de Jordan.
Inversement étant donné la forme de Jordan
J2 (1), J1 (1), J3 (2), J3 (2), J1 (2)
donner ses invariants de similitude.
2
3. Modules
Exercice 11. Soit M un A-module. Montrer que 0.m = 0 puis que (−1).m = −m.
Exercice 12. Soit M un A-module et N un sous-module. Montrer que l’ensemble des
a ∈ A tel que am ∈ N pour tout m est un idéal de A.
Exercice 13. La réunion de deux sous-modules n’est en général pas un sous-module.
Donner un contre-exemple dans le cadre des espaces-vectoriels.
Soit V1 , V2 , V3 les sous-ensembles de (x, y) ∈ Z2 tels que x est pair, resp. x + y est pair,
resp. y est pair. Montrer que ce sont des sous-Z-modules de Z2 , distincts de Z2 et que
Z2 = V1 ∪ V2 ∪ V3 .
Exercice 14. Soit M un A-module et m ∈ M un élément dont l’annulateur est réduit à
(0). Montrer l’équivalence de
(1) mA possède un supplémentaire dans M
(2) il existe une forme A-linéaire f sur M telle que f (m) = 1.
Montrer qu’alors M = mA ⊕ ker f .
Exercice 15. Soit f : M → N un morphisme de A-modules. Montrer que s’il existe
g : N → M tel que g ◦ f = id alors f est injective et Im f admet un supplémentaire dans
N.
Exercice 16. Soit A un anneau et M un A-module. Si m ∈ M , à quelle condition sur
ann(m) la famille {m} est-elle libre ?
Exercice 17. Soit A un anneau intègre et K son corps des fractions. On suppose K 6= A.
Montrer que K n’est pas un A-module libre.
Exercice 18. Donner des exemples
(1) de famille libre à n éléments de An qui ne soit pas une base;
(2) de module sans torsion qui ne soit pas libre;
(3) d’une partie génératrice minimale qui ne soit pas une base;
(4) de sous-module n’ayant pas de supplémentaire;
(5) de module libre ayant un sous-module qui ne l’est pas.
Exercice 19. Montrer qu’un idéal non nul I d’un anneau A est un sous-module libre de
A si et seulement si I est principal et engendré par un élément non diviseur de zéro de
A.
3
4. Modules et algèbre linéaire
Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel de dimension finie E. Soit la loi
externe . de K[x] sur E définie par P.x 7→ P (u)(x) pour tout x ∈ E.
(1) Montrer que (E, +, .) est un K[x]-module. On le note Eu dans la suite.
(2) Montrer que les sous-espaces vectoriels de E stables par u sont les sous-modules
de E.
(3) Soit u0 un autre endomorphisme de E. Montrer que u et u0 sont semblables (i.e
u0 = f uf −1 pour f un automorphisme de E) si et seulement si Eu et Eu0 sont
isomorphes en tant que module sur K[x].
Étudier les endomorphismes d’espaces vectoriels à similitude près revient donc à étudier
certains modules sur K[x] à isomorphisme près. Commençons par regarder deux exemples.
Soit P un polynôme unitaire de degré n et considérons le K[x]-module K[x]/(P ). Ce
module est en particulier un K-espace vectoriel E dont une base est 1, x, . . . , xn−1 . Considérons l’endomorphisme uP : Q 7→ x.Q.
(4) Montrer que la matrice de uP dans la base choisie est CP .
Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E.
(5) Montrer l’équivalence des conditions suivantes :
(a) Le module Eu est cyclique (i.e. il existe un idéal I ∈ K[x] tel que Eu '
K[x]/I);
(b) Le module Eu est isomorphe à K[x]/(P ) où P est le polynôme minimal de u;
(c) Il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est la matrice compagnon
du polynôme minimal;
(d) Il existe un vecteur x0 ∈ E tel que hx0 iu = E.
On dit alors que u est cyclique. Reprenons l’exemple précédent lorsque P = (x − a)n et
choisissons pour base de K[x]/(P ) la famille (x − a)n−1 , . . . , (x − a), 1.
(6) Montrer que la matrice de uP dans cette base est la matrice Jn (a).
(7) Conclure sur la similitude entre la matrice compagnon de (X − a)n et le bloc de
Jordan Jn (a).
On va bien sûr tirer avantage du fait que K[x] est euclidien.
(8) Montrer que u et u0 sont semblables si et seulement si Eu et Eu0 ont même facteurs
invariants.
(9) Notons P1 , . . . , Ps les facteurs invariants de Eu . Montrer qu’il existe des sousespaces stables E1 , . . . , Es tels que Eu = E1 ⊕ · · · ⊕ Es et pour tout i, u|Ei est
cyclique de polynôme minimal Pi .
(10) Inversement supposons que u soit une matrice en blocs de matrices compagnons
CPi . Montrer qu’alors les Pi sont les facteurs invariants de Eu et conclure à
l’unicité des invariants de similitude.
(11) Soit M ∈ Mn (K). Les invariants de similitude de M sont les facteurs invariants
de la matrice xid − M ∈ Mn (K[x]).
Regardons des exemples.
(12) Chercher toutes les classes de similitude de matrices de M5 (R) dont le polynôme
caractéristique est (X 2 − 2)(X − 1)3 .
4
Soit M1 et M2 les deux matrices

i 1
0 i
M1 = 
0 0
0 0
suivantes


i
0 0
0
0 0
 , M2 = 
0
−i 0 
0
0 −i

1 0 0
i 0 0
.
0 −i 1 
0 0 −i
(13) Trouver les invariants de similitude de M1 et M2 . Montrer que M2 est semblable
à une matrice réelle.
5. Groupes abéliens
Exercice 20. Soit M le Z-module Z3 et soit N le sous-module engendré par v1 =
(2, 6, −8) et v2 = (−4, 4, 12). Trouver une base adaptée pour N .
Exercice 21. Soit d ≡ 2, √
3 (mod 4) un entier relatif, et donc d n’est pas un carré dans
Z. On pose A = {m + n d; m, n ∈ Z}, un sous-anneau unitaire de C. Si Q√≥ 1 et
2
P ∈ Z sont deux
√ entiers relatifs tels que Q divise d − P , on pose I = QZ + (P + d)Z =
{mQ + n(P + d); m, n ∈ Z}.
√
(1) Montrer que A est un Z-module libre de rang 2 de Z-base {α1 = 1, α2 =√P + d},
et que I est un Z-module libre de rang 2 de Z-base {β1 = Q, β2 = P + d}.
(2) Montrer que I est un idéal de A (expliquer d’abord pourquoi il suffit de voir que
les quatre produits αi βj sont dans I).
(3) En utilisant les bases précédentes, montrer que le quotient A/I est fini et donner
son cardinal.
√
(4) Soi 0 6= α = m + n d ∈ A. Donner une Z-base {γ1 , γ2 } de l’idéal
√ principal
αA = {αβ; β ∈ A}, écrire la matrice de passage de la Z-base {1, d}de A à la
Z-base {γ1 , γ2 } de αA, et en déduire que A/αA est de cardinal N (α) = |m2 −dn2 |
(la norme de α).
(5) Montrer que si I est principal alors il existe α ∈ A tel que√N (α) = Q.
(6) Montrer que si d < −2 et d ≡ 2 (mod 4), alors I = 2Z + −dZ est un idéal non
principal de A. (Et d’après l’exercice 19, I est donc un A-module de type fini qui
n’est pas libre).
5
6. Révisions
Exercice 22. Donner la forme de Jordan puis la liste des invariants de similitude des
matrices suivantes




1 0 8 9 13 14
0 1 2 1 −2
0 1 1 7 10 12
0 0 0 1 −1




0 0 2 2 6 11
0 0 1 −1 1 
, 


.
0 0 0 4 3 5 

0 0 0 1
2
0 0 0 0 6 4 
0 0 0 0
1
0 0 0 0 0 8
Exercice 23. Soit n ≥ 1 et A ∈ Mn (R).
• On suppose que A2 + A + Id = 0. Montrer que n est pair.
• On suppose que A3 + A2 + A = 0. Montrer que le rang de A est pair.
Exercice 24. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n = 2 et soit u et v des
endomorphismes de E. Montrer que u et v sont semblables si et seulement si ils ont
même polynôme minimal. Montrer que pour n = 3 u et v sont semblables si et seulement
si ils ont même polynôme minimal et même polynôme caractéristique. Trouver un contreexemple quand n = 4.
Exercice 25. Montrer que si G est un groupe abélien de type fini qui n’a pas d’élément
d’ordre fini alors G est libre.
Trouver les facteurs invariants de G = Z/72Z × Z/84Z. Est-ce que G est isomorphe à
Z/36Z × Z/168Z ?
Soit φ : Zn → Zn un morphisme de groupes. Montrer que si φ est surjectif alors il est
injectif.
Soient A et B deux groupes abéliens et Hom(A, B) l’ensemble des applications Z-linéaire
de A dans B.
(1) Vérifier que Hom(A, B) a une structure de groupe abélien.
(2) Montrer que Hom(Z/mZ, A) ' {a ∈ A, ma = 0}.
(3) Montrer que Hom(Z/mZ, Z/nZ) ' Z/dZ où d = pgcd(n, m).
(4) Montrer que Hom(Z, Z/mZ) ' Z/mZ.
(5) Montrer que si A1 , . . . , Ak sont des groupes abéliens et B1 , . . . , Bl également alors
L
L
L
L
Hom(A, lj=1 Bj ) ' lj=1 Hom(A, Bj ) et que Hom( ki=1 Ai , B) ' li=1 Hom(Ai , B).
(6) En déduire si A = Z/2Z ⊕ Z/6Z ⊕ Z/15Z et B = Z/2Z ⊕ Z/8Z ⊕ Z/3Z les
invariants de similitude de Hom(A, B).
Exercice 26. Soit L un A-module libre de type fini non nul. Montrer qu’il existe une
application A-linéaire φ : EndA (L) → A telle que φ(Id) = 1.
Soit f : A → B un homomorphisme d’anneaux tel que B est un A-module libre de type
fini non nul.
(1) Montrer que f est injectif. On identifiera dans la suite A à un sous-anneau de B
; si I est un idéal de A on notera IB l’idéal de B engendré par I dans B.
(2) Montrer que pour tout idéal I de A, I = A ∩ IB.
(3) Montrer que tout élément de A qui possède un inverse dans B est en fait inversible
dans A;
(4) Montrer que pour tout idéal premier (resp. maximal) p de A, il existe un idéal
premier (resp. maximal) q de B tel que p = A ∩ q.
(5) Montrer que tout système d’équations linéaires à coefficients dans A qui a une
solution dans B a déjà une solution dans A.
6
7. Partiel
Exercice 27. Soit u un endomorphisme nilpotent d’un espace vectoriel sur C d’indice de
nilpotence n (c.-à-d. un = 0 mais un−1 6= 0). Montrer que le nombre de blocs de Jordan
de la décomposition de Jordan de u est égal à la dimension de ker u et que la taille du
plus grand bloc est n.
Solution : Soit Jr1 (0), . . . , Jrt (0) la décomposition de Jordan de u en blocs de Jordan de
taille ri . De par la forme de Ji (0) on a que dim ker(Ji (0)) = 1. Comme les
Pblocs de Jordan
forment des sous-espaces vectoriels stables par u on a que dim ker u = dim Jri (0) = t.
On a également que Ji (0)r = 0 si et seulement si r ≥ i. Donc un = 0 implique que tous
les Jrni = 0 donc que n ≥ max ri . D’autre part puisque un−1 6= 0 il existe au moins un
bloc de taille n − 1.
Exercice 28. Donner la forme de Jordan de la matrice ci-dessous pui en déduire la liste
des invariants de similitude


1 2 0 0 0 0
0 1 3 0 0 0


0 0 1 0 0 0
.

0 0 0 7 0 0
0 0 0 0 7 5
0 0 0 0 0 7
Solution : La matrice a deux valeurs propres distinctes. Soit u l’endomorphisme associé
à M . Puisque dim ker(u − 1) = 1 il n’y a qu’un seul bloc de Jordan J3 (1) et puisque
dim ker(u − 7) = 2 il y a deux blocs de Jordan associé à cette valeur propre donc puisque
la somme de leur dimension est 3, il y a un bloc J1 (7) et un bloc J2 (7).
Les invariants de similitude associés aux blocs de Jordan sont (X −7), (X −7)2 et (X −1)3 .
La structure de K[X]-module de K 6 est donc
K[X]
K[X]
K[X]
K[X]
K[X]
×
×
'
×
.
2
3
(X − 7) (X − 7)
(X − 1)
(X − 7) (X − 7)2 (X − 1)3
Donc les invariants de similitude sont (X − 7) et (X − 7)2 (X − 1)3 .
Exercice 29. On note j le nombre complexe de module 1 et d’argument 2π/3. On
rappelle que j et j 2 sont les racines de x2 + x + 1 = 0. Le but du problème est de
déterminer pour K = R ou K = C les matrices carrées X ∈ Mn (K) vérifiant
X 2 + X + Id = 0
(1)
Vérifier que si X ∈ Mn (K) vérifie (1) alors toute matrice semblable vérifie (1).
Si X ∈ Mn (K) vérifie (1) quels sont les valeurs propre de X ?
Montrer que X ∈ Mn (C) vérifiant (1) est semblable à une matrice diagonalisable.
Soit X ∈ Mn (R) vérifiant (1). Que peut-on dire de la multiplicité de j et j 2
comme valeur propre de X ? En déduire que si n est impair il n’existe pas de
matrice X ∈ Mn (R) vérifiant (1).
(5) Soit X ∈ Mn (R) vérifiant (1). Quels sont ses invariants de similitude ? En déduire
à similitude près la forme de X.
(6) Existe-t-il des matrices orthogonales (une matrice X est orthogonale si t XX = Id)
dans Mn (R) satisfaisant (1) ?
Solution :
(1) Si X = P −1 X 0 P alors on a P −1 (X 02 + X 0 + Id)P = 0 donc X 02 + X 0 + Id = 0.
(2) Le polynôme x2 + x + 1 est un polynôme minimal de X et donc les valeurs propres
sont les racines de ce polynôme, c’est-à-dire j et j 2 .
(1)
(2)
(3)
(4)
7
(3) Puisque le polynôme minimal de X a des racines distinctes, il est diagonalisable.
(4) Supposons que les multiplicités n1 et n2 de j et j 2 soient distinctes et supposons
que celle de j 2 soit strictement supérieure. Le polynôme caractéristique P de X
est à coefficients dans R et de la forme P (x) = (x − j)n1 · (x − j 2 )n2 = (x2 + x +
1)n1 (x − j 2 )n2 −n1 Mais (x − j 2 ) n’est pas stable par conjugaison complexe donc on
a une contradiction. Donc n1 = n2 et donc la dimension de l’espace vectoriel est
n1 + n2 = 2n1 est paire.
(5) Les invariants de similitude divise x2 + x + 1 qui est irréductible sur R donc ils
sont tous égaux à x2 + x + 1 et donc si 2n est la dimension de l’espace vectoriel
alors les invariants sont n fois x2 + x + 1. La matrice est donc semblable à la
matrice par blocs de blocs
0 −1
.
1 −1
(6) Il suffit de considérer le bloc
"
√ #
3
−√12
2
.
− 23 − 12
Exercice 30. Soient E un espace vectoriel sur C de dimension finie et u un endomorphisme linéaire de E. On suppose qu’il existe un polynôme P ∈ C[x] tel que P (u) = 0,
P (0) = 0 et P 0 (0) 6= 0. Montrer qu’alors Im(u) ⊕ ker(u) = E.
Solution :
Puisque P (0) = 0 X|P et puisque P 0 (0) 6= 0 la multiplicité de 0 est
1 donc P = XQ avec Q(0) 6= 0. Les polynômes X et Q sont donc premiers entre
eux et par le lemme des noyaux on a E = ker u ⊕ ker Q(u). Il suffit donc de montrer
que ker Q(u) = Im u. Soit y = u(x) Alors Q(u)(y) = Q(u)u(x) = P (u)(x) = 0 donc
Im u ⊂ ker Q(u). Comme dim Im u = dim E − dim ker u = dim ker Q(u) on a l’égalité.
Exercice 31. En utilisant le lemme des noyaux montrer que si le polynôme minimal d’un
endomorphisme u sur un C-espace vectoriel E de dimension finie est à racines simples
alors u est diagonalisable.
Q
Solution : En effet si on écrit P = ni=1 (x−ai ) avec les ai distincts, les polynômes x−ai
sont premiers entre eux donc d’après le lemme des noyaux E = ker P (u) = ⊕ ker(u − ai ).
Soit e1 , . . . , en une base de vecteurs propres issus de cette décomposition avec ei ∈ ker u −
ai alors la matrice de u dans cette base est diagonale.
Exercice 32. Combien y a-t-il (à isomorphisme près) de groupes abéliens d’ordre 500 ?
32 ?
Solution : Décomposons 500 = 53 · 22 . On a donc soit
[22 · 53 ], [2, 2 · 53 ], [5, 22 · 52 ], [2 · 5, 2 · 52 ], [5, 5, 22 · 5], [5, 2 · 5, 2 · 5].
De même 32 = 25 donc
[25 ], [2, 24 ], [22 , 23 ], [2, 2, 23 ], [2, 22 , 22 ], [2, 2, 2, 22 ], [2, 2, 2, 2, 2].
Exercice 33. Soit A un anneau euclidien. Montrer que le nombre minimal de générateurs
d’un A-module M de rang r et de facteurs invariants d1 , .Q
. . , dt est r + t.
r
Solution : On peut supposer que le module M est A × A/(di ). Soit e1 , . . . er la base
canonique de Ar et pour chaque 1 ≤ i ≤ t fi l’image de 1 dans A/(di ). Clairement en
tant que A-module M est engendré par les ei , fi donc le nombre minimal de générateur
est ≤ r + t. Soient maintenant e1 , . . . , en des générateurs de M . On a donc un morphisme
de A-module surjectif de f : An → M . D’après le théorème de la base adaptée, il existe
donc une base (f1 , . . . , fn ) de An et des scalaires non nuls d01 , . . . , d0i avec d01 | · · · |d0i et
8
n
i ≤ n tels que
engendré par
Q (d1 f1 , . . . di fi ). Mais alors A / ker f ' M . Or
Q ker f0 soitn−i
r
n
' A × A/(di ). On a donc que n ≥ r + t. Remarquons
A / ker f ' A/di × A
0
qu’on n’a pas exactement (di ) = (di ) car parmi les d0i certains peuvent être inversibles et
doivent donc être enlevés.
9