Fiche 1 : Algèbre - PCSI

Fiche 1 : Algèbre
PSI
2012 - 2013
Exercice 1 :


 (m − 1)x + y + z = 0
x + (m − 1)y + z = 0
1) Discuter en fonction des valeurs de m et résoudre le système


x + y + (m − 1)z = 0
2) Soit
f : R3
→ R3
.
(x, y, z) 7→ (x − y − z, −x + y − z, −x − y + z)
a) Montrer que f est un automorphisme de R3 .
b) Ecrire la matrice A canoniquement associée à f .
3) a) Montrer qu'il existe un réel m1 tel que ∆ = Ker(f − m1 Id) soit une droite, et un réel m2 tel
que P = Ker(f − m2 Id) soit un plan.
b) Montrer que ∆ et P sont supplémentaires dans R3 .
c) Soient 1 un vecteur non nul de ∆, soient 2 et 3 deux vecteurs de P non colinéaires. Quelle
est la matrice D de l'endomorphisme f relativement à la base B = (1 , 2 , 3 ) de R3 ?
4) Soit n un entier naturel. Ecrire la matrice Dn . En déduire la matrice An .
Exercice 2 : On note E le R-espace vectoriel Rn [X], avec n ∈ N, n ≥ 2. On considère la famille
(P0 , P1 , · · · , Pn ) d'éléments de E dénie par
P0 = 1
;
P1 = X
;
Pk =
1
X(X − k)k−1
k!
(2 ≤ k ≤ n).
On note enn f l'application de E dans E dénie par :
∀P ∈ E
f (P ) = Q
avec
Q(X) = P (X) − P 0 (X + 1) .
1) Montrer que (P0 , P1 , · · · , Pn ) est une base de E .
2) Vérier que ∀k ∈ {1, ..., n} Pk 0 (X + 1) = Pk−1 (X).
3) Pour k ∈ {0, ..., n}, on note Qk = f (Pk ).
a) Exprimer chaque Qk (0 ≤ k ≤ n) en fonction des Pj (0 ≤ j ≤ n).
b) En déduire que f est un automorphisme de E
f ∈ GL(E) .
c) Exprimer inversement les Pk (0 ≤ k ≤ n) en fonction des Qj .
4) On suppose dans cette question que n = 3.
a) Donner les coordonnées du polynôme X 3 dans la base B = (P0 , P1 , P2 , P3 ).
b) En déduire les coordonnées dans cette même base de l'unique polynôme P de R3 [X] tel que
P (X) − P 0 (X + 1) = X 3 .
Donner la forme développée de ce polynôme P .
Solution:
1) On remarque facilement que pour tout 0 ≤ k ≤ n, le degré de Pk vaut k. La famille
(P0 , P1 , · · · , Pn ) est donc une famille à degré étagé de n + 1 vecteurs, il s'agit donc d'une
base de Rn[X] qui est un espace vectoriel de dimension n + 1.
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2) Soit 1 ≤ k ≤ n.
Pk0 (X) =
1
1
(X − 1)(X − k)k−2
((X − k)k−1 + X(k − 1)(X − k)k−2 ) = (X − k)k−2 k(X − 1) =
k!
k!
(k − 1)!
Pk 0 (X + 1) = Pk−1 (X)
et on déduit alors que
3) a) On a Q0 = P0 et, pour tout k ≥ 1, Qk (X) = Pk (X) − Pk0 (X + 1) = Pk (X) − Pk−1(X) donc
Qk = Pk − Pk−1
b) On peut armer, comme à la question 1), que la famille (Q0, Q1, · · · , Qn) est une base de
E . f est clairement linéaire et c'est un endomorphisme de E qui transforme une base de
E en une autre base de E . C'est donc un automorphisme de E .


c) On a :

Q0





 Q1
Q2






 Q
n
4) a) On a
= P0
= P1 − P 0
= P2 − P 1
...
= Pn − Pn−1
donc :
,
et on en déduit que :

P0





 P1
Q2






 Q
n
,
,
= Q0
= Q1 + Q0
= Q2 + Q1 + Q0
...
= Qn + ... + Q1 + Q0
X
X3
3X
n=3
P0 = 1 P1 = X P2 =
− X P3 =
− X2 +
2
6
2
X 3 = 6P3 + 12P2 + 3P1
2
. D'où
.
b) A l'aide de la question précédente et de la question 3)c), on a :
X 3 = 6(Q0 + Q1 + Q2 + Q3 ) + 12(Q0 + Q1 + Q2 ) + 3(Q0 + Q1 )
= 6Q3 + 18Q2 + 21Q1 + 21Q0 .
Or pour tout k ∈ {0, ..., n}, Qk = f (Pk ) donc
X 3 = f (P )(X) = f (6Q3 + 18Q2 + 21Q1 + 21Q0 )(X).
f étant un automorphisme, P = 6Q3 + 18Q2 + 21Q1 + 21Q0 = X 3 + 3X 2 + 12X + 2
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