Chapitre 1 Partie Algèbre Ensembles et applications vv Objectifs vv Ce chapitre a pour but de présenter les différents points de vocabulaire et notations nécessaires à l’étude des ensembles et les applications : û Connaître le vocabulaire relatif à la théorie des ensembles. û Montrer qu’une application est injective / surjective ou bijective. û Étudier les propriétés des fonctions caractéristiques et les relations binaires. Mr. Moussa Faress Pr. Mathématiques Supérieures CPGE de Meknès Année Scolaire : 2016-2017 1 - Ensembles et parties. 1.1 - Eléments d’un ensemble. Définition 1.1. Eléments d’un ensemble ◦ ◦ ◦ ◦ Un ensemble E est une "collection" d’objets appelés éléments de E. L’ensemble vide , noté ∅, est l’ensemble qui ne contient aucun élément. Si x est un élément de E , on écrit x ∈ E. Deux ensembles E et F sont égaux s’ils ont les mêmes éléments, et on note E = F. On a : E = F ⇐⇒ (∀ x : x ∈ E ⇐⇒ x ∈ F ). Définition 1.2. Parties d’un ensemble ◦ Pour A et E deux ensembles. On dit que A est inclus dans E (ou A est une partie de E ou encore A est un sous-ensemble de E) si tout élément de A est un élément de E. ◦ L’ensemble des parties d’un ensemble E est noté P ( E). Exercice .1. Donner l’ensemble des parties de l’ensemble E dans les cas suivants : E = ∅, E = { A, 1}, E = {1, a, 2, B, x, 4, π } Exercice .2. Soit x un élément d’un ensemble non vide E. Décrire en extension P ({ x}) et P (P ({ x})). Proposition 1.1. Pour A et B deux parties d’un ensemble E, on a les propriétés suivantes : → A ⊆ B ⇐⇒ ∀ x ∈ E : x ∈ A =⇒ x ∈ B. → A = B ⇐⇒ ∀ x ∈ E : x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B. → A = B ⇐⇒ A ⊆ B et B ⊆ A. Exercice .3. Soit E = { x, y, z} un ensemble. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? x ∈ E, { x} ∈ E, { x} ⊆ E, ∅ ∈ E, ∅ ⊆ E. Exercice .4. Montrer que : 1. {n ∈ Z / (−1)n = 1} = 2Z où 2Z est l’ensemble des entiers paires. 2. { x ∈ R / x2 = 4x − 2} ⊆ R+ . 3. {(ln(t), t − 1) / t > 0} ⊆ {( x, y) ∈ R2 / x 6 y}. 4. { z ∈ C / | z − 1| = | z + 1|} = iR. Cours-s- Mr. Faress , Lok 2 MPSI 2016-2017 1.2 - Opérations sur les parties d’un ensemble. Définition 1.3. Soient A et B deux parties d’un ensemble E. ◦ L’intersection de A et B , noté A ∩ B, est la partie de E définie par : x ∈ A ∩ B ⇐⇒ ( x ∈ A et x ∈ B). ◦ La réunion (ou l’union) de A et B , noté A ∪ B, est la partie de E définie par : x ∈ A ∪ B ⇐⇒ ( x ∈ A ou x ∈ B). ◦ La différence de A et B, dans cet ordre , noté A\ B, est la partie de E définie par : x ∈ A\ B ⇐⇒ ( x ∈ A et x 6∈ B). ◦ La différence symétrique de A et B, noté A∆B, est la partie de E définie par : x ∈ A∆B ⇐⇒ ( x ∈ A\ B ou x ∈ B\ A). ◦ Le complémentaire de A dans E, noté A ou CEA , est la partie de E définie par : x ∈ A ⇐⇒ ( x ∈ E et x 6∈ A). ? ? ?? A B A Inclusion B A Différence Diagrammes de Van ? ? ?? B A B Intersection Union A A B Différence symétrique E Complémentaire Remarque : Soient A et B deux parties d’un ensemble E. 1. Si A ∩ B = ∅, on dit que A et B sont disjointes et que A ∪ B est une réunion disjointe. 2. A\ B = A ∩ B et A = E\ A. 3. A∆B = ( A\ B) ∪ ( B\ A) = ( A ∪ B)\( A ∩ B). Exercice .5. Soient A, B et C trois parties d’un ensemble non vide E. Montrer que : 1. A = B ⇐⇒ A ∩ B = A ∪ B. 2. ( A \ C ) ∩ ( B \ C ) = ( A ∩ B) \ C. 3. ( A \ C ) ∪ ( B \ C ) = ( A ∪ B) \ C. Exercice .6. Soient A, B et C trois parties d’un ensemble non vide E. Montrer que : 1. A ∩ B = A ∩ C ⇐⇒ A ∩ B = A ∩ C. 2. A ∪ B = A ∩ C ⇐⇒ B ⊆ A ⊆ C. A∩B = A∩C 3. ⇐⇒ B = C. A∪B = A∪C Cours-s- Mr. Faress , Lok 3 MPSI 2016-2017 Exercice .7. Soient A, B et C trois parties d’un ensemble non vide E. Montrer que : 1. A \ B = A ⇐⇒ B \ A = B. 2. A \ ( B ∩ C ) = ( A \ B) ∪ ( A \ C ). 3. A∆B = A ∩ B ⇐⇒ A = B = ∅. 4. A∆B = A∆C ⇐⇒ B = C. Exercice .8. Soient A et B deux parties d’un ensemble non vide E. Déterminer les parties X de E telle que : A ∩ X = B. (Ind : Si B ⊆ A vérifier que X = B ∪ C avec C ⊆ A) Propriétés Soient A, B et C trois parties d’un ensemble E. + Complémentaire : + + + + → A = A, E = ∅, A ∪ A = E, A ∩ A = ∅. → A ⊆ B ⇐⇒ B ⊆ A. Intersection : → A ∩ A = A, A ∩ E = A, A ∩ ∅ = ∅. → A ∩ B = B ∩ A et ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ). → A ∩ B = ∅ ⇐⇒ A ⊆ B et A ∩ B = A ⇐⇒ A ⊆ B. → A ⊆ B =⇒ ( A ∩ C ) ⊆ ( B ∩ C ). Réunion : → A ∪ A = A, A ∪ E = E, A ∪ ∅ = A. → A ∪ B = B ∪ A et ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) → A ∪ B = E ⇐⇒ A ⊆ B et A ∪ B = B ⇐⇒ A ⊆ B. → A ⊆ B =⇒ ( A ∪ C ) ⊆ ( B ∪ C ). Réunion et intersection : → A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) et A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) → A ∩ B = A ∪ B et A ∪ B = A ∩ B → A ⊆ ( B ∩ C ) =⇒ A ⊆ B et A ⊆ C et ( A ∪ B) ⊆ C =⇒ A ⊆ C et B ⊆ C → ( A ∩ B) ⊆ B et A ⊆ ( A ∪ B) Différence symétrique : → A∆A = A, A∆∅ = A, A∆E = A. → A ∩ ( B∆C ) = ( A ∩ B)∆( A ∩ C ). → A∆B = B∆A, A∆( B∆C ) = ( A∆B)∆C. 1.3 - Produit cartésien. Cours-s- Mr. Faress , Lok 4 MPSI 2016-2017 Définition 1.4. Soient E1 , E2 , . . . et En n-ensembles non vides. (n ∈ N et n > 2) ◦ Pour k ∈ {1, 2, . . . , n}, soit xk ∈ Ek . L’élément ( x1 , x2 , . . . , xn ) est appelé un n−uplet de composantes x1 , x2 , . . . et xn . ◦ Si n = 2 on parle d’un couple et si n = 3 on parle d’un triplet ..... ◦ On appelle produit cartésien de E1 , E2 , . . . et En , noté E1 × E2 × . . . × En , l’ensemble des n−uplets ( x1 , x2 , . . . , xn ). On a alors : E1 × E2 × . . . × En = {( x1 , x2 , . . . , xn )/ xk ∈ Ek , k ∈ {1, 2, . . . , n}}. Remarques : 1. Si E1 = E2 = . . . = En = E alors E1 × E2 × . . . × En est noté En . 2. E × F 6= F × E en général. 3. ∆( E) = {( x, x)/ x ∈ E} est une partie de E2 dite la diagonale de E. 2 - Relations binaires. 2.1 - Généralités. Définition 2.1. Soient E et F deux ensembles non vides. ◦ On appelle relation R de E vers F toute partie G du produit cartésien E × F. G est dite le graphe de la relation R. ◦ Un élément x de E est en relation avec un élément y de F si ( x, y) ∈ G ◦ Si E = F on dit que la relation R est binaire. Remarque : On appelle relation binaire R sur E toute propriété vraie pour certains couples ( x, y) d’éléments de E et fausse pour les autres. Lorsqu’un couple ( x, y) vérifie la relation R , on écrit xR y et on dit que x est relation avec y (modulo la relation R) . Exemples : 1. Pour A et B de P ( E) on pose : AR B ⇐⇒ A ⊆ B. 2. Pour m et n de Z on pose : mRn ⇐⇒ m divise n. 3. Pour m et n de Z on pose : mRn ⇐⇒ 2012 divise m − n. Définition 2.2. Soit R une relation binaire sur un ensemble E. On dit que R est : ◦ reflexive si pour tout x ∈ E on a : xR x. ◦ symétrique si pour tous x, y ∈ E on a : xR y ⇐⇒ yR x. ◦ antisymétrique si pour tous x, y ∈ E on a : ( xR y et yR x) =⇒ x = y. ◦ transitive si pour tous x, y, z ∈ E on a : ( xR y et yR z) =⇒ xR z. 2.2 - Relation d’équivalence. Définition 2.3. Soit R une relation binaire sur un ensemble E. ◦ On dit que R est une relation d’équivalence si elle à la fois reflexive, symétrique et transitive. ◦ Pour x ∈ E, on appelle classe d’équivalence de x , notée C( x) ou x, la partie de E définie par : y ∈ C( x) ⇐⇒ yR x ◦ Un élément z de C( x) est appelé un représentant de la classe C( x). Cours-s- Mr. Faress , Lok 5 MPSI 2016-2017 Exercice .9. On définit sur R la relation : x R y ⇐⇒ x3 − y3 = 3( x − y). 1. Montrer que R est une relation d’équivalence sur R. 2. Déterminer la classe d’équivalence pour un élément x de R. Proposition 2.1. Soient R une relation d’équivalence sur E et x, y ∈ E. → Si xR y alors C( x) = C( y) et inversement. → Sinon C( x) ∩ C( y) = ∅. → Deux éléments ont la même classe d’équivalence si et seulement s’ils sont en relation. Définition 2.4. Soit R une relation d’équivalence sur un ensemble E. L’ensemble des classes d’équivalence est noté E/R et appelé l’ensemble quotient de E modulo R. Exemple : Soit n ∈ N avec n > 2. Pour x, y ∈ Z on pose : xR y ⇐⇒ n divise x − y. 1. R est une relation d’équivalence sur Z dite relation de congruence modulo n. Cette relation est notée : xR y ⇐⇒ x ≡ y[n]. 2. Pour x ∈ Z on a : x = x + nZ où nZ est l’ensemble des multiples de n. 3. Z/R = 0, 1, . . . , n − 1 noté Z/nZ. Exercice .10. Congruence Définition : Soient a, b et m trois réels. On dit que a et b sont congrus modulo m s’il existe k ∈ Z tel que a = b + km. On note alors a ≡ b[m]. Remarque : En pratique, on a souvent m = rπ avec r ∈ Q. 3π 1. Donner un exemple de deux réels a et b qui sont congrus modulo . 5 2. Pour m fixé, montrer que la relation aRb ⇐⇒ a ≡ b[m] est une relation d’équivalence dans R. 3. Somme : Soit ( a, b, c, d, m) ∈ R5 . Montrer que si a ≡ b[m] et c ≡ d[m] alors a + c ≡ b + d[m]. 4. Multiplication et division : Soient ( a, b, m) ∈ R3 et k ∈ R∗ . Montrer que : a ≡ b[m] ⇐⇒ ka ≡ kb[km]. 5. Projection : Soient ( a, b, m) ∈ R3 et k ∈ N∗ . Montrer que si a ≡ b[km] alors a ≡ b[m]. 6. Si a ≡ b[m] et c ≡ d[m] ,a-t-on ac ≡ bd[m] ? 2.3 - Relation d’ordre. Définition 2.5. Soit R une relation binaire sur un ensemble E. ◦ On dit que R est une relation d’ordre si elle à la fois reflexive, antisymétrique et transitive. Dans ce cas on dit que ( E, R) est un ensemble ordonné. ◦ Deux éléments x, y ∈ E sont dits comparables si xR y ou yR x . ◦ R est dite totale si deux éléments quelconques sont toujours comparables. Sinon elle est dite partielle. Cours-s- Mr. Faress , Lok 6 MPSI 2016-2017 Remarques : 1. ( E, R) est un ensemble ordonné. Pour x, y ∈ E on pose : xS y ⇐⇒ yR x. S est une relation d’ordre sur E dite l’ordre inverse de R. 2. ( E, R) est un ensemble ordonné. Pour x, y ∈ E on pose : xS y ⇐⇒ ( xR y et x 6= y). S n’est pas une relation d’ordre sur E dite l’ordre strict sur E ( de R). Exemples : 1. L’inclusion est une relation d’ordre partielle dans P ( E). 2. Pour ( x, y), ( x0 , y0 ) ∈ R2 on pose : ( x, y)R( x0 , y0 ) ⇐⇒ ( x 6 x0 et y 6 y0 ). R est une relation d’ordre partielle sur R2 . 3. Pour ( x, y), ( x0 , y0 ) ∈ R2 on pose : ( x, y)R( x0 , y0 ) ⇐⇒ ( x < x0 ou ( x = x0 et y 6 y0 )). R est une relation d’ordre totale sur R2 . Exercice .11. On définit une relation binaire 4 sur R+? par : x 4 y ⇔ ∃ n ∈ N, y = x n Montrer que 4 est une relation d’ordre. Cet ordre est-il total ? Exercice .12. On définit une relation binaire 4 sur { z ∈ C/Im( z) > 0} par : z 4 z0 ⇔ | z| < z0 ou ( | z| = z0 et Re( z) 6 Re( z0 )) Montrer qu’il s’agit d’une relation d’ordre total. Définition 2.6. Soit ( E, R) est un ensemble ordonné, A une partie de E et m, M ∈ E. ◦ A est dite majorée par M si : ∀ x ∈ A on a : xR M. (On dit aussi que M est un majorant de A) Si de plus M ∈ A , on dit que M est le plus grand élément de A ( ou maximum de A) noté max( A). ◦ A est dite minorée par m si : ∀ x ∈ A on a : mR x (On dit aussi que m est un minorant de A). Si de plus m ∈ A , on dit que m est le plus petit élément de A ( ou minimum de A) noté min( A). ◦ Le plus petit des majorants de A - lorsqu’il existe - est appelé la borne supérieure de A notée sup( A). ◦ Le plus grand des minorants de A - lorsqu’il existe - est appelé la borne inférieure de A notée inf( A). 3 - Notions sur les applications. 3.1 - Généralités. Définition 3.1. Soient E et F deux ensembles non vides. ◦ Une application f de E vers F est une relation de E vers F vérifiant la propriété suivante : Tout élément x de E est en relation avec un et un seul élément y de F. ◦ y est dit l’image de x par f , on note y = f ( x), et x est dit l’antécédant de y par f . ◦ E est appelé l’ensemble de départ, F est appelé l’ensemble d’arrivée. ◦ Gr( f ) = {( x, f ( x))/ x ∈ E} est appelé le graphe de f . ( C’est le graphe de la relation) Cours-s- Mr. Faress , Lok 7 MPSI 2016-2017 Remarques : 1. L’application f est souvent noté : f : E −→ F . x 7−→ y = f ( x) 2. L’ensemble des applications de E vers F est noté F ( E, F ) ou F E . 3. Deux applications f et g sont égales si elles ont le même ensemble de départ , le même ensemble d’arrivée et le même graphe (i.e les mêmes images). Exemples : 1. L’application f : E −→ E dite application identité de E notée IdE . x 7−→ f ( x) = x 2. L’application f : E −→ F (avec c ∈ F) dite application constante. x 7−→ f ( x) = c E −→ {0, 1} 1, si x ∈ A x 7−→ f ( x) = 0, si x 6∈ A caractéristique de A notée ϕ A ou χ A . 3. L’application f : (avec A ∈ P ( E)) dite application Définition 3.2. Prolongement et restriction Soient f ∈ F ( E, F ), G ∈ P ( E) et H un ensemble qui contient E. ◦ L’application g : G −→ F est dite la restriction de f sur G notée f /G . x 7−→ g( x) = f ( x) ◦ Toute application h ∈ F H telle que h/E = f est dite un prolongement de f à H. ◦ On suppose que E = F. Une partie A de E est dite stable par f si : ∀ x ∈ A, f ( x) ∈ A. L’application A −→ A est dite l’application induite par f sur A. x 7−→ f ( x) Définition 3.3. Image d’une application Soit f ∈ F ( E, F ). On appelle image de f l’ensemble { f ( x) / x ∈ E}. On la note par f ( E) ou Im( f ). Définition 3.4. Composition des applications Soit f ∈ F ( E, F ) et g ∈ F ( H, G ) telle que Im( f ) ⊆ H. La composée de f par g, notée go f , est l’application de E vers G définie par : ∀ x ∈ E : go f ( x) = g( f ( x)). f g go f E −→ Im( f ) −→ G =⇒ E −→ G x 7−→ f ( x) 7−→ g( f ( x)) x 7−→ go f ( x) = g( f ( x)) Proposition 3.1. → Soit f ∈ F ( E, F ). On a : IdF o f = f oIdE = f . → Pour des applications f , g et h , lorsque cela à un sens, on a : ( f og)oh = f o( goh)(= f ogoh) et go f 6= f og en général. Remarques : 1. Dans EE , la composition des applications est une loi de composition interne associative , admettant un élément neutre ( Id E ) et n’est pas commutative. 2. Soit f ∈ F ( E, E) = E E . On pose : f 0 = IdE , f 1 = f , f 2 = f o f et f n = f n−1 o f pour n > 3. L’application f n est appelée l’itérée d’ordre n de f ou l’itérée nième de f . 3. On note par B( E) l’ensemble des bijections sur E (c-à-d les bijections de E vers E, appelées aussi les permutations de E) . ( B( E), o) est un groupe non commutatif. 3.2 - Image directe ou réciproque d’une partie. Cours-s- Mr. Faress , Lok 8 MPSI 2016-2017 Définition 3.5. Image directe d’une partie Soient f ∈ F ( E, F ) et A ⊆ E. On appelle image (directe) de A par f la partie de F , notée f ( A), définie par : f ( A) = { f ( x), x ∈ A} . Remarque : Soient f ∈ F ( E, F ) et A ⊆ E. – f ( A) ⊆ F, f (∅) = ∅ et f ( A) = ∅ ⇐⇒ A = ∅. – f ({ x1 , . . . , xn }) = { f ( x1 ), . . . , f ( xn )} pour x1 , . . . , xn ∈ E. – Soit y ∈ F. On a : y ∈ f ( A) ⇐⇒ ∃ x ∈ A : y = f ( x). Proposition 3.2. Soient f ∈ F ( E, F ) et A, B ∈ P ( E). On a les résultats suivants : A ⊆ B =⇒ f ( A) ⊆ f ( B) et f ( A ∪ B) = f ( A) ∪ f ( B) et f ( A ∩ B) ⊆ f ( A) ∩ f ( B). Définition 3.6. Image réciproque d’une partie Soient f ∈ F ( E, F ) et A ⊆ F. On appelle image réciproque de A par f la partie de E , notée f −1 ( A), définie par : f −1 ( A) = { x ∈ E / f ( x) ∈ A} . Remarque : Soient f ∈ F ( E, F ) et A ⊆ F. – f −1 ( A) ⊆ E, f −1 (∅) = ∅ et f −1 ( A) = ∅ < A = ∅. – Soit x ∈ E. On a : x ∈ f −1 ( A) ⇐⇒ f ( x) ∈ A. Proposition 3.3. Soient f ∈ F ( E, F ) et A, B ∈ P ( F ). → A ⊆ B =⇒ f −1 ( A) ⊆ f −1 ( B) et → f −1 ( A ∩ B ) = f −1 ( A ) ∩ f −1 ( B ) f −1 ( A ∪ B ) = f −1 ( A ) ∪ f −1 ( B ) et f −1 A = f −1 ( A). Exercice .13. 1. Décrire l’image directe de R par l’application exponentielle . 2. Déterminer l’image réciproque de [−1, 4] par x 7→ x2 . 3. Soient f : R → R et g : R → R telles que f ( x) = 3x + 1 et g( x) = x2 − 1. A-t-on f ◦ g = g ◦ f ? Exercice .14. Soit l’application de R dans R, f : x 7→ x2 . 1. Déterminer les ensembles suivants : f ([−3, −1]), f ([−2, 1]), f ([−3, −1] ∪ [−2, 1]) et f ([−3, −1] ∩ [−2, 1]). 2. Mêmes questions avec les ensembles : f −1 (]−∞, 2] ∪ [1, +∞[) et f −1 (]−∞, 2] ∩ [1, +∞[). 3.3 - Application injective,surjective et bijective. Cours-s- Mr. Faress , Lok 9 MPSI 2016-2017 Définition 3.7. Soit f ∈ F ( E, F ). On dit que f est une application : ◦ injective si pour tous x, y de E on a : f ( x) = f ( y) =⇒ x = y. ◦ surjective si pour tout y de F il existe x de E tel que f ( x) = y. ◦ bijective si elle à la fois injective et surjective. Remarque : + f est injective ⇐⇒ ∀ x, y ∈ E : x 6= y =⇒ f ( x) 6= f ( y). + f est surjective ⇐⇒ Im( f ) = F + f est bijective ⇐⇒ ∀ y ∈ F ∃!x ∈ E : y = f ( x). Exercice .15. Donner des exemples d’applications de R dans R (puis de R2 dans R) injective et non surjective, puis surjective et non injective. Exercice .16. Soit f : R −→ R définie par f ( x) = x3 − x. f est-elle injective ? surjective ? Déterminer f −1 ([−1, 1]) et f (R+ ). Exercice .17. Soit f : R −→ R définie par f ( x) = 2x . 1 + x2 1. f est-elle injective ? surjective ? 2. Montrer que f (R) = [−1, 1]. 3. Montrer que la restriction g : [−1, 1] −→ [−1, 1] est une bijection. x 7−→ g( x) = f ( x) 4. Retrouver ce résultat en étudiant les variations de f . Exercice .18. On considère l’application f : C \ {0} −→ . 1 z 7−→ z + z 1. f est-elle injective ? surjective ? bijective ? 2. Donner l’image par f du cercle de centre 0 et de rayon 1. 3. Donner l’image réciproque par f de la droite iR. C Proposition 3.4. Bijection réciproque Soit f ∈ F ( E, F ) une bijection. La relation de F vers E liant chaque y de F par x de E tel que y = f ( x) est une application de F vers E , notée f −1 , vérifiant : → ∀ x ∈ E, ∀ y ∈ F : x = f −1 ( y) ⇐⇒ f ( x) = y. → f −1 o f = IdE , f o f −1 = IdF . → f −1 est une bijection, appelée la bijection réciproque de f . Cours-s- Mr. Faress , Lok 10 MPSI 2016-2017 Proposition 3.5. Une application f ∈ F ( E, F ) est une bijection si et seulement s’il existe g ∈ F ( F, E) telle que : f og = IdF et go f = IdE . Proposition 3.6. Soient f ∈ F ( E, F ) et g ∈ F ( F, G ). → Si f et g sont injectives (resp. surjectives) alors go f est injective (resp. surjective). → Si f et g sont bijectives alors go f est bijective et on a : ( go f )−1 = f −1 og−1 . Définition 3.8. Une application f ∈ F ( E, E) est dite involutive si f o f = IdE . (C’est une bijection de E). Exercice .19. Décomposition d’une application Soit f ∈ F ( E, F ) et R une relation d’équivalence sur E par : xR y ⇐⇒ f ( x) = f ( y). Il existe des applications I : f ( E) −→ F injective et S : E −→ E/R surjective et f : E/R −→ f ( E) bijective x 7−→ f ( x) f ( x) 7−→ f ( x) x 7−→ x telles que : f = Io f oS (Tracer un diagramme). 3.4 - Applications caractéristiques et ensembles. Proposition 3.7. Soient A et B deux parties d’un ensemble E. On a : → ϕ A = ϕ B ⇐⇒ A = B. → ϕ A = 1 − ϕ A , ϕ A∩ B = ϕ A × ϕ B , ϕ A∪ B = ϕ A + ϕ B − ϕ A × ϕ B . → ϕ A\ B = ϕ A (1 − ϕ B ), ϕ A∆B = ϕ A + ϕ B − 2ϕ A × ϕ B . Exercice .20. Soit A une partie de E, on appelle fonction caractéristique de A l’application f de E dans l’ensemble à deux éléments {0, 1}, telle que : ( 0 si x ∈ /A f ( x) = 1 si x ∈ A Soit A et B deux parties de E, f et g leurs fonctions caractéristiques. Montrer que les fonctions suivantes sont les fonctions caractéristiques d’ensembles que l’on déterminera : 1 − f , f g, f + g − f g. Cours-s- Mr. Faress , Lok 11 MPSI 2016-2017 Exercice .21. Soit un ensemble E et deux parties A et B de E. On désigne par A∆B l’ensemble ( A ∪ B) \ ( A ∩ B). Dans les questions ci-aprés il pourra être commode d’utiliser la notion de fonction caractéristique. 1. Démontrer que A∆B = ( A \ B) ∪ ( B \ A). 2. Démontrer que pour toutes les parties A, B, C de E on a : ( A∆B)∆C = A∆( B∆C ). 3. Démontrer que pour toutes les parties A, B, C de E on a : A∆( B ∩ C ) = ( A∆B) ∩ ( A∆C ). 4. Démontrer qu’il existe une unique partie X de E telle que pour toute partie A de E : A∆X = X∆A = A. 5. Démontrer que pour toute partie A de E, il existe une partie A0 de E et une seule telle que : A∆A0 = A0 ∆A = X. 3.5 - Familles d’éléments, familles de parties. Définition 3.9. Soient I et E deux ensembles (I sera appelé ensemble des indices). ◦ Toute application x : I −→ E est appelée une famille d’éléments de E. L’élément x(i ) se note xi et i 7−→ x(i ) on écrit ( xi )i∈ I . ◦ Toute application A : I −→ P ( E) est appelée une famille de parties de E. L’élément A(i) se note Ai i 7−→ A(i ) et on écrit ( Ai )i∈ I . Remarques : → Si I est une partie de N , on parle d’une suite au lieu d’une famille. → Si I est fini on parle d’une famille finie. → Soit ( Ai )i∈ I une\ famille de parties d’un ensemble E et x ∈ E. [ x∈ Ai ⇐⇒ ∀i ∈ I : x ∈ Ai et x ∈ Ai ⇐⇒ ∃i ∈ I : x ∈ Ai . i∈ I i∈ I Définition 3.10. Partition d’un ensemble On dit qu’une famille ( Ai )i∈ I de parties d’un ensemble E est une partition de E si : [ E= Ai et ∀i 6= j : Ai ∩ A j = ∅. i∈ I Exemple : Soit R une relation d’équivalence sur un ensemble E et P la partie de E formé en choisissant de chaque classe d’équivalence un et un seul représentant. Alors E/R = { x/ x ∈ P } et ( x) x∈P est une partition de E. Exercice .22. Soit f : E −→ E, on pose : S = n o X ⊆ E/ f −1 ( f ( X )) = X . 1. Soit A une partie de E . Montrer que : f −1 ( f ( A)) ∈ S. 2. Montrer que S est stable par intersection et réunion. Cours-s- Mr. Faress , Lok 12 MPSI 2016-2017 Exercice .23. Soient f : E −→ E une application et A une partie de E. [ Pour n ∈ N∗ on note f n = f o f o...o f , f 0 = id E , An = f n ( A) et B = An | {z } n ∈N n− f ois 1. Montrer que : f ( B) ⊆ B. 2. Montrer que B est la petite partie de E stable par f et contenant A. F ii n n