DM n°7 : LE LOGARITHME DECIMAL à rendre le 29/04/2013 Peu de temps après que Neper ait publié sa table de logarithmes, Henry Briggs publia une autre table de logarithmes, plus commode pour les calculs : la table des logarithmes décimaux . L' idée est la suivante : si on multiplie les logarithmes de Neper par un même nombre k, on conservera la propriété de transformer les produits en sommes. Mais en choisissant k de façon que l'image de 10 soit 1, on aura d'autres propriétés intéressantes : l'image de 100 sera 2, celle de 1000 sera 3, celle de 0,1 sera -1 ..... Pour tout nombre x strictement positif on appelle logarithme décimal de x le nombre : log x= ln x . ln 10 A/ QUELQUES PROPRIETES 1. Démontrez que pour tout nombre x et y strictement positifs : log (x y)=log x+log y . n 2. Démontrez que pour tout entier n, log(10 )=n . Justifiez les affirmations de Briggs (texte en gras) 3. On donne log(347)=2,5403 Calculez de tête avec 4 décimales les nombres suivants : log(3470) , log (34700) , log 34,7 , log(3,47) , log(0,0347) Quelle conjecture générale pouvez-vous faire ? B/ EN CHIMIE : PH D'UNE SOLUTION AQUEUSE + Pour mesurer l'acidité d'une solution aqueuse, on utilise le potentiel hydrogène pH défini par : pH =−log[ H ] où + + [ H ] est la concentration en H (en ions-grammes par litre). + 1. Une solution a pour pH 5. Quelle est la concentration en ions H ? + 2. Une solution est acide quand sa concentration en H dépasse sa concentration en ions OH ., + −14 Or dans les conditions normales de température et de pression [ H ]×[OH ]=10 . Démontrez que dans ces conditions, une solution est acide si et seulement si son pH est inférieur à 7. C/ EN ACOUSTIQUE : INTENSITE D'UN SON L'intensité I d'un son (en décibel, dB) est reliée à sa puissance de réception P (en watt par m²) de façon qu'on ait, pour deux sons quelconques 1 et 2, I 2−I 1=10 log ( ) P2 P1 . 1. A quelle variation d'intensité correspond un doublement de la puissance ? 2. Que signifie une augmentation de 10 dB en terme de puissance sonore ? D/ EN ASTRONOMIE : MAGNITUDE APPARENTE D'UNE ETOILE Les astronome de l'Antiquité (Hipparque, Ptolémée) avait classé les étoiles visibles à l'oeil nu selon leur brillance : les plus brillantes étaient dites de première grandeur, celles qui étaient un peu moins brillantes étaient de deuxième grandeur, etc . Le Soleil n'était pas considéré comme une étoile. Aujourd'hui, on appelle éclat d'une étoile la puissance lumineuse par unité de surface qu'on en reçoit sur la Terre (en watt par m²). Pour faire le lien entre ces deux notions, on appelle magnitude apparente d'une étoile d'éclat E le nombre m=−2,5 log 1. 2. 3. 4. ( ) E E0 , où E 0 est l'éclat de Véga, choisie comme étoile de référence. Quelle est la magnitude apparente de Véga ? Démontrer que pour deux étoiles, celle qui a l'éclat le plus grand a la magnitude la plus petite. Que signifie , pour une étoile, d'avoir une magnitude apparente négative ? L'étoile la plus brillante (après le Soleil) est Sirius, dont l'éclat est 3,9 fois celui de Véga. Quelle est la magnitude apparente de Sirius ? 5. Le soleil a une magnitude apparente de -26,7. Calculez le rapport de son éclat à celui de Véga