Feuille 3 - Université de Nantes

Université de Nantes
Département de Mathématiques
Licence Math L3
Année 2009-2010
Topologie et calculs différentiel — Liste n˚3
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Exercices fondamentaux
Applications Linéaires
Exercice 1. Calculer la norme de l’application linéaire u : R2 → R définie
par ∀(x, y) ∈ R2 , u(x, y) = x − y lorsque R et R2 sont munis de la norme
euclidienne.
Exercice 2. Soit X l’espace des fonctions continues sur [a, b] à valeurs réelles
muni de la norme de la convergence uniforme, ϕ ∈ X et u ∈ End(X) défini
par : ∀f ∈ X, u(f ) = ϕ.f .
Montrer que u est continu et déterminer sa norme.
Exercice 3. Pour tout k ∈ N, soit Ak et A des matrices réelles n × p.
Prouver l’équivalence entre
1. (Ak ) converge vers A dans L(Rp , Rn ) où on identifie ici matrice et
application linéaire
2. les coefficients de Ak convergent vers ceux de A
Exercice 4. Soit f ∈ L(E, F ) où E et F sont deux espaces vectoriels normés
sur K = R ou C.
1. Montrer que : f continue ⇒ Kerf fermé.
2. Si F = K, montrer que : Kerf fermé ⇒ f continue.
(ind : on raisonne par l’absurde en supposant f non continue et on
cv
montre qu’il existe une suite (xn ) de Kerf tq xn → a avec f (a) = 1).
3. On considère maintenant E = R[X] muni de la norme kP k := sup |ak |
k
Pk=n
si P = k=0
ak X k .
Vérifier que les applications suivantes sont linéaires et étudier leur
continuité :
(a) ϕ : E → E tq ϕ(P ) = P ′ le polynôme dérivé ;
(b) ψ : E → E tq ψ(P ) = (X + 1)P ;
(c) ξ : E → R tq ξ(P ) = P (0). Déteminer Kerϕ et déduire un contre
exemple à la réciproque de 1).
1
4. Montrer que si pour toute suite (xn ) de E convergeant vers 0E , la suite
(f (xn )) est bornée dans F , alors f est continue.
Exercice 5. Soient (X, N ) et (Y, M ) deux espaces vectorielsPnormés et
f : X → Y une application linéaire continue. Montrer
que si ∞
p=0 up est
P∞
une série convergente de (X, N ), alors
la
série
f
(u
)
est
convergente
p
p=0
P
dans (Y, M ) et a pour somme : f ( ∞
u
).
p
p=0
Espaces Complets
Exercice 6. Pour la topologie induite, déterminer parmi les parties de R
suivantes celles qui sont complètes :
Z, Q, [0, 1], [2, 3[, ] − ∞, π], ]π, +∞[.
Exercice 7. Vérifier que d(x, y) = |1/x − 1/y| définit une distance sur
X =]0, +∞[ et que la topologie ainsi définie est la topologie induite sur X
par (R, |.|). Montrer que (]0, 1], d) est une partie complète mais que (]0, 1], | ·
|) n’est pas complet. En déduire que la complétude n’est pas une notion
topologique.
Exercice 8. Soit X =]0, +∞[ muni de la distance d(x, y) = | ln x − ln y|.
1. Montrer que (X, d) est un espace métrique complet.
2. Soit f : X → X une fonction de classe C 1 telle que :
∀x ∈ X, x|f ′ (x)| ≤ kf (x), avec k ∈ [0, 1]
Montrer que f admet un unique point fixe dans X.
Exercice 9. Soient E et F deux espaces vectoriels normés.
1. Montrer que si E est de dimension finie, alors ∀f ∈ L(E, F ), f est une
application continue.
2. Soit p ∈ L(E) continue telle que p2 = p. Montrer que le noyau et
l’image de p sont des sous-espaces fermés de E et que, s’ils sont complets pour la topologie induite, alors E est complet.
Z 1
|f (t)| dt.
Exercice 10. On note E = C([0, 1], R) et ∀f ∈ E, kf k1 =
0
Montrer que, muni de cette
norme, E n’est pas complet.
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Exercice 11. Montrer que toute suite de Cauchy dans un espace métrique
(E, d) est bornée mais que la réciproque est fausse. Donner des exemples
simples d’espaces métriques non complets.
Exercice 12. Soit (X, d) un espace métrique complet. On note f p les itérées
de f définies par f 0 = Id et f p+1 = f ◦ f p (= f p ◦ f ).
1. Soit Ap l’ensemble des points fixes de f p . Montrer que Ap est stable
par f .
2. Montrer que si l’une des f p est contractante, alors f possède un unique
point fixe et que toute suite de points de X définie par récurrence par
x0 ∈ X et xn+1 = f (xn ) converge vers ce point fixe.
Exercice 13. Montrer que C([a, b], R) muni de la norme sup est un espace
complet mais que pour la même norme, C 1 ([a, b], R) ne l’est pas. Qu’en est-il
de C 1 ([a, b], R) muni de kf k = kf k∞ + kf ′ k∞ ?
Exercice 14. Soient (E, d) et (F, δ) deux espaces métriques et f : E → F
une application continue telle que :
∀(x, y) ∈ E 2 , d(x, y) ≤ δ(f (x), f (y)).
1. Montrer que f est un homéomorphisme de E sur f (E) où f (E) est
munie de la topologie induite.
2. On suppose maintenant que f est surjective. Montrer que (E, d) complet implique (F, δ) complet.
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Exercices complémentaires et d’entrainement
Exercice 15. Soient E, F et G trois espaces vectoriels normés. On note
Lc (E, F ) (resp. Lc (F, G), Lc (E, G)) l’ensemble des applications linéaires
continues de E dans F (resp. de F dans G et de E dans G) et k.k désignera
indifféremment la norme de E, F , G, Lc (E, F ), Lc (F, G) ou Lc (E, G).
1. Montrer que ∀u ∈ Lc (E, F ), ∀v ∈ Lc (F, G), on a : kv ◦ uk ≤ kvk kuk.
2. Montrer que si F est complet alors Lc (E, F ) est un espace de Banach.
3. On suppose que F = E et on note Lc (E, F ) par Lc (E). Montrer que
si u ∈ Lc (E) vérifie kuk < 1 alors I − u est inversible. On note U (E)
l’ensemble des automorphismes continus de E.
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4. Montrer que U (E) est un ouvert puis que l’application
Φ : U (E) → U (E)
u
7→ u−1
est continue.
Exercice 16. (Complété d’un espace métrique, méthode de Cantor)
Soit (E, d) un espace métrique. On note Y l’ensemble des suites de Cauchy
d’éléments de E et on pose ∀(u, v) ∈ Y 2 , d′ (u, v) = lim d(un , vn ) où u =
n→∞
(un )n∈N et v = (vn )n∈N .
1. Montrer que d′ : Y 2 → R+ est une application bien définie.
2. Soit R la relation définie sur Y par : u ∼ v ⇐⇒ d′ (u, v) = 0,
∀(u, v) ∈ Y 2 .
(a) Montrer que R est une relation d’équivalence sur Y .
(b) Montrer que d′ induit une distance d˜ sur le quotient Ẽ = Y /R.
3. Soit j : E → Ẽ l’application qui a x ∈ E associe la classe de la
suite constante de valeur égale à x. Montrer que j est une injection
˜
isométrique (i.e. ∀(x, y) ∈ E 2 , d(j(x),
j(y)) = d(x, y)).
4. Montrer que j(E) est dense dans Ẽ.
˜ est un espace métrique complet.
5. Montrer que (Ẽ, d)
6. Appliquer cette méthode à Q et montrer que l’on obtient R.
Exercice 17. Soit (E, d) un espace métrique. Montrer que les assertions
suivantes sont équivalentes :
1. (i) (E, d) est un espace métrique complet.
2. (ii) Pour toute suite (Xn )n∈N décroissante pour l’inclusion de fermés
non vides
\de E telle que la suite (δ(Xn ))n∈N converge vers 0, l’interXn est un point, où δ(Xn ) désigne le diamètre de Xn .
section
n∈N
Exercice 18. Soit (E, d) un espace métrique complet et (An )n∈N\
une suite
décroissante pour l’inclusion d’ouverts denses. Montrer que A =
An est
n∈N
une partie dense de E.
Exercice 19. On considère l’espace Rn muni des différentes normes : kxkp =
1/p
P
i=n p
pour p ∈ N∗ et kxk∞ = Max (|xi |). On rappelle que la norme
x
i=0 i
1≤i≤n
k.k2 est la norme
P associée au produit scalaire euclidien défini par ∀x, y ∈
Rn , < x, y >= i=n
i=0 xi yi et si A = (aij ) ∈ Mn (R) est une matrice carrée
réelle, alors i désigne le numéro de ligne et j celui
P de la colonne. Pour
A = (aij ) ∈ Mn (R), on pose N1 (A) := Maxj=1..n i=n
i=1 |aij | et N∞ (A) :=
Pj=n
Maxi=1..n j=1 |aij |.
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1. Soit A ∈ Mn (R). Montrer que l’application f : x 7→ Ax est une application linéaire continue et que sa norme vaut N1 (A) ou N∞ (A) suivant
que Rn est muni de la norme k.k1 ou k.k∞ .
2. En notant t A la matrice transposée de A, montrer que les valeurs
propres de la matrice t AA sont toutes réelles positives et que cette
matrice est diagonalisable dans une base orthonormée euclidienne. On
notera N2 (A) la racine carrée de la plus grande valeur propre de t AA.
3. Montrer que l’application linéaire continue f de la question 1) a pour
norme N2 (A) lorsque Rn est muni de la norme euclidienne k.k2 .
Exercice 20. Soit H l’espace vectoriel des suite réelles de carré sommable,
c’est-à-dire :
(xn )n≥0 ∈ H si, et seulement si
+∞
X
x2n < +∞.
n=0
1. Montrer que l’application : < x, y >=
+∞
X
xn yn , ∀(x, y) ∈ H2 , définie
n=0
un produit scalaire sur H.
2. Montrer que muni de ce produit scalaire, H est un espace de Hilbert.
3. Soit Q = {x = (xn ) ∈ H/∀n ∈ N, |xn | ≤ 1/n}. Montrer que Q est
complet.
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