Dégénérescences de structures projectives complexes sur les

Dégénérescences de structures projectives complexes
sur les surfaces, d’après D. Dumas
Frédéric Paulin
4 février 2012
Résumé
Le but de ces notes est d’exposer les jolis résultats de David Dumas [Dum2] sur les
dégénérescences de structures projectives complexes sur les surfaces, avec une pincée
de topologie de Gromov équivariante.
1
Structures projectives complexes sur les surfaces
Un excellent survol concernant cette partie est [Dum1].
Soient Σg une surface (réelle, lisse) compacte connexe orientable de genre g ≥ 2 et
e
Σg → Σg un revêtement universel de Σg , de groupe des automorphismes de revêtement 1
Γ (muni de la topologie discrète).
1.1
Définitions
Rappelons que le groupe de Lie complexe PSL2 (C) = SL2 (C)/{± id} agit fidèlement
et holomorphiquement sur la droite projective complexe P1 (C) = C ∪ {∞} par les homographies z 7→ az+b
cz+d , et que le stabilisateur de l’ouvert H = {z ∈ C : Im z > 0} est
PSL2 (R) = SL2 (R)/{± id}.
Une structure projective complexe sur une surface S est une (G, X)-structure sur S où
X = P1 (C) et G = PSL2 (C), c’est-à-dire un atlas maximal de cartes de S à valeurs dans X
dont les applications de changement de cartes sont des (restrictions d’)éléments de G. Un
isomorphisme de structures projectives complexes est un homéomorphisme qui envoie atlas
sur atlas par précomposition. En particulier, le groupe des homéomorphismes de S agit (à
droite) sur l’ensemble des structures projectives complexes sur S par précomposition des
cartes.
Pour toute structure projective complexe sur Σg , il existe un couple (D, ρ) où ρ :
Γ → PSL2 (C) est un morphisme de groupes, appelée sa (représentation d’)holonomie et
1. La bonne manière de définir un groupe fondamental, même si le choix de point base est remplacé
par un choix de revêtement universel !
1
e g → P1 (C) est une immersion ρ-équivariante 2 , qui est localement un isomorphisme
D:Σ
de structures projectives complexes, appelé son application développante. Par analycité,
l’application développante D détermine la représentation d’holonomie ρ, mais il est utile
pour cette exposition de mettre en avant le couple (D, ρ). Ce couple est uniquement défini
modulo l’action de PSL2 (C) où g ∈ PSL2 (C) agit par (D, ρ) 7→ (D ◦ g, gρg −1 ). Voir par
exemple [Thu] pour ces notions.
Nous noterons CP1 (Σg ) le quotient de l’ensemble des structures projectives complexes
sur Σg par le groupe Diff 0 (Σg ) des isotopies 3 de Σg . Ainsi CP1 (Σg ) est identifié à l’ensemble
des classes de couples (D, ρ) où ρ : Γ → PSL2 (C) est un morphisme de groupes et D :
e g → P1 (C) est une immersion ρ-équivariante, modulo l’action de PSL2 (C) définie par
Σ
g ·(D, ρ) = (D ◦g, gρg −1 ). Nous noterons [D, ρ] la classe de (D, ρ). Nous munirons CP1 (Σg )
de la topologie quotient de la topologie produit des topologies compactes-ouvertes.
Notons T (Σg ) l’espace de Teichmüller de Σg , c’est-à-dire le quotient de l’ensemble
des structures de surface de Riemann sur Σg par le groupe des isotopies de Σg , muni de
la topologie quotient de la topologie C∞ sur les sections du fibré des endomorphismes
du fibré tangent réel de Σg (données par les multiplications par i). Nous noterons [X] la
classe dans T (Σg ) d’une structure de surface de Riemann X sur Σg . Puisque les homographies sont holomorphes, toute structure projective complexe sur une surface S définit une
structure de surface de Riemann sur S, dite sous-jacente. D’où une application continue
d’affaiblissement de structure
CP1 (Σg ) → T (Σg ) .
Si X est une structure de surface de Riemann sur Σg , nous noterons CP1 (X) la fibre
au-dessus de [X] pour cette application.
Le groupe modulaire 4 Mod(Σg ) = Diff + (Σg )/ Diff 0 (Σg ) de Σg agit naturellement (à
droite) sur CP1 (Σg ) et sur T (Σg ) par passage au quotient des précompositions de structures. L’application d’affaiblissement de structure ci-dessus est Mod(Σg )-équivariante, et
admet une section continue équivariante dite fuschienne, par le théorème d’uniformisation
(en uniformisant par le disque les structures complexes sur Σg ).
Après avoir introduit les objets utiles, nous allons donner un paramétrage de l’espace
CP1 (Σg ), qui montrera en particulier qu’il est homéomorphe à R12g−12 .
1.2
Différentielles quadratiques holomorphes
Nous renvoyons par exemple à [Abi, Gar, Nag, Hub] pour le contenu de cette partie.
Soit Y une surface de Riemann. Une différentielle quadratique holomorphe sur Y est
une section holomorphe φ du fibré vectoriel holomorphe KY2 des 2-formes holomorphes sur
Y , c’est-à-dire la donnée pour toute carte locale (U, z) de Y d’une application holomorphe
φU,z : U → C telle que si (V, w) est une autre carte locale, alors φV,w (w)dw2 = φU,z (z)dz 2
sur U ∩ V . Nous noterons par abus encore φ l’application φU,z pour toute carte locale
(U, z) de Y .
2. Si E et F sont deux ensembles munis d’une action d’un groupe G, une application f : E → F est dite
G-équivariante (ou ρ-équivariante si ρ : G×F → F est l’action de G sur F ) si pour tous les x ∈ E et g ∈ G,
nous avons f (gx) = gf (x). Si l’action de G sur F est triviale, nous dirons aussi que f est G-invariante
3. Une isotopie de Σg est un difféomorphisme de Σg isotope à l’identité (ou, de manière équivalente,
homotope à l’identité, ou encore, agissant par conjugaisons sur les groupes fondamentaux de Σg ).
4. “Mapping class group” en langue anglo-saxonne.
2
Si Y est compacte connexe de genre g, le théorème de Riemann-Roch implique que la
dimension de l’espace vectoriel complexe Q(Y ) des différentielles quadratiques holomorphes sur Y est 3g − 3. Cet espace vectoriel est alors muni d’une norme naturelle
Z
kφk =
|φ| ,
Y
car dans une carte locale, |φ| = |φ(z)| |dz 2 | est proportionnelle à la mesure de Lebesgue de
la carte.
Une différentielle quadratique holomorphe sur la surface lisse Σg est la donnée d’une
structure de surface de Riemann X sur Σg et d’une différentielle quadratique holomorphe
φ sur X. Le groupe des difféomorphismes de Σg agit naturellement sur l’ensemble des
différentielles quadratiques holomorphes sur Σg . Nous noterons Q(Σg ) le quotient de cet
ensemble par le groupe Diff 0 (Σg ) des isotopies de Σg , muni de la topologie quotient de la
topologie produit des topologies compactes-ouvertes. La première projection (X, φ) 7→ X
induit une application d’oubli continue Mod(Σg )-équivariante
Q(Σg ) → T (Σg ) .
Les espaces Q(Σg ) et T (Σg ) admettent (voir par exemple [Gar, Nag, Hub]) des structures
de variétés holomorphes, pour lesquelles le groupe Mod(Σg ) agit par biholomorphismes,
qui font de l’application d’oubli ci-dessus un fibré vectoriel holomorphe, la fibre au-dessus
de [X] ∈ T (Σg ) étant Q(X). Puisque l’espace de Teichmüller est homéomorphe à R6g−6
(voir par exemple [FLP]), l’espace topologique Q(Σg ) est homéomorphe à R12g−12 .
Nous aurons besoin de propriétés géométriques des différentielles quadratiques holomorphes. Fixons dans la fin de cette partie un élément φ ∈ Q(Y ) non nul. En particulier,
l’ensemble φ−1 (0) de ses zéros est discret (donc fini si Y est compacte).
Si x0 ∈ Y n’est pas un zéro de φ, alors il existe 5 une carte locale (U, z) de la surface
de Riemann Y au voisinage de x0 telle que z(x0 ) = 0 et φ = dz 2 sur U . Une telle
carte locale est uniquement définie modulo l’action du groupe des z 7→ ±z + z0 . Ainsi φ
définit une structure de surface de demi-translation sur Y − φ−1 (0), c’est-à-dire un atlas
maximal de cartes holomorphes de Y dont les applications de changement de cartes sont
(des restrictions d’applications) de la forme z 7→ ±z + z0 . Nous renvoyons par exemple
à [Mas, Zor, GL] pour plus d’informations sur les surfaces de demi-translation. Puisque
ces transitions de cartes préservent la métrique euclidienne, ceci munit Y − φ−1 (0) d’une
structure plate (d’une métrique riemannienne à courbure sectionnelle constante nulle). La
norme kφk est égale à l’aire riemannienne totale de cette structure plate.
Si x0 ∈ Y est un zéro d’ordre k ≥ 1 de φ, alors il existe une carte locale (U, z) de
la surface de Riemann Y au voisinage de x0 telle que z(x0 ) = 0 et φ(z) = z k dz 2 . La
surface plate Y − φ−1 (0) admet ainsi une singularité conique d’angle (k + 2)π en x0 . Nous
noterons dφ la distance sur Y définie par cette structure plate à singularités coniques
(borne inférieure des longueurs euclidiennes des chemins entre deux points qui sont C 1
par morceaux et ne passent qu’un nombre fini de fois par les singularités). Notons que
pour tout t > 0, nous avons
√
dtφ = t dφ .
(- 1 -)
2
5. Dans une carte locale (V, w) en x0 , écrire φ R= φ(w)dw
, choisir une détermination de
x p
voisinage ouvert connexe U de x0 , et poser z(x) = x0 φ(w) dw pour tout x ∈ U .
3
√
φ sur un
Petit aparté sur les feuilletages mesurés. Un feuilletage mesuré d’une surface est
un feuilletage F de dimension 1 de cette surface privée d’une partie discrète A, muni
d’une mesure transverse µ, c’est-à-dire pour tout arc transverse I de F d’une mesure
µI sur I, de support total et sans atome, qui sont invariantes par le pseudo-groupe
d’holonomie transverse (si h : I → J est une application d’holonomie entre deux arcs
transverses, alors h∗ µI = µJ , voir le dessin de gauche ci-dessous), à singularités de
type selle à au moins 3 branches en tout point de A (voir le dessin de droite ci-dessous).
F
h(y)
y
h(x)
x
J
I
Les transformations z 7→ ±z + z0 préservent les droites horizontales. Les cartes locales
de la structure de surface de demi-translation définissent donc, en prenant les images
réciproques des droites horizontales, un feuilletage de dimension 1 de Y − φ−1 (0), dont les
feuilles locales sont les composantes connexes des courbes d’équation Im z = c pour c ∈ R,
qui en tout zéro d’ordre k ≥ 1 de φ admet une singularités de type selle à k + 2 branches.
Les transformations z 7→ ±z + z0 préservent les mesures de Lebesgue sur les droites
verticales. Tout arc transverse au feuilletage par droites horizontales de R2 peut être
découpé en un nombre fini de sous-arcs que l’on peut pousser par holonomie le long des
feuilles sur un arc vertical. Les cartes locales (U, z) de la structure de demi-translation
définissent donc une mesure transverse µφ pour ce feuilletage : si c : [0, 1] → U est un
chemin transverse par morceaux, d’image contenue dans U , sa mesure transverse est
Z 1
Im z ◦ c(t) dt .
0
Nous noterons (Fφ , µφ ) ou Fφ par abus ce feuilletage mesuré, que nous appellerons le
feuilletage horizontal de φ. Notons que pour tout t > 0, nous avons
√
(Ftφ , µtφ ) = (Fφ , t µφ ) .
(- 2 -)
Nous noterons MFg l’ensemble des classes d’équivalence de feuilletages mesurés de Σg
pour la relation d’équivalence engendrée par l’action des isotopies et des mouvements de
Whitehead d’écrasements de connexions de selle ou leurs inverses (bien définies à isotopie
près, voir le dessin ci-dessous). Nous le munissons de la topologie quotient de la topologie
C∞ des feuilletages et la topologie vague (faible-étoile) des mesures transverses. Nous
renvoyons par exemple à [Gar] pour le résultat suivant, qui dit qu’à structure complexe
sous-jacente fixée, une différentielle quadratique holomorphe non nulle est caractérisée par
son feuilletage horizontal.
4
s−
s
s+
Théorème 1.1 (Hubbard-Mazur) Soit X une structure de surface de Riemann sur
Σg . L’application de Q(X) − {0} dans MFg définie par φ 7→ Fφ est un homéomorphisme.
1.3
Dérivée schwarzienne et paramétrage de CP1 (Σg ) par Q(Σg )
La dérivée schwarzienne d’une immersion holomorphe entre surfaces de Riemann est
son obtruction à être localement projective (voir la jolie introduction [OT2] et [OT1] pour
une excellente présentation). Elle est fondamentale en analyse complexe (par exemple pour
définir la structure de variété holomorphe de l’espace de Teichmüller, voir [Gar, Nag, Hub],
pour l’uniformisation, voir l’excellent livre d’auteur multicéphale [Sai], et pour d’autres
aspects des fonctions univalentes, voir [Leh]) et en systèmes dynamiques (en version réelle)
[BM, dMvS, KS].
Soient Ω un ouvert de C et f : Ω → P1 (C) une application holomorphe localement
injective. La dérivée schwarzienne de f est la différentielle quadratique holomorphe sur Ω
définie par
f 00 (z) 0 1 f 00 (z) 2 Sf =
−
dz 2 .
f 0 (z)
2 f 0 (z)
Cette formule n’est pas tellement importante (sauf pour la résolution de l’équation différentielle schwartzienne Sf = φ), les propriétés fondamentales de la dérivée schwarzienne
sont les suivantes, où f et g sont holomorphes localement injectives :
• la dérivée schwarzienne est l’obtruction à être localement projective : Sf = 0 si et
seulement si f est localement restriction d’homographies ;
• la dérivée schwarzienne vérifie la propriété de cocycle
S (f ◦ g) = g ∗ (Sf ) + Sg .
e la structure de surface de
Soit X une structure de surface de Riemann sur Σg , notons X
6
e g , identifiée par exemple (par uniformisation) au demi-plan ouvert
Riemann relevée sur Σ
e → P1 (C) est une représentation d’holonomie d’une structure
supérieur H de C. Si D : X
projective complexe sur Σg de structure complexe sous-jacente X (qui est donc holomorphe
localement injective), de représentation d’holonomie ρ, alors SD est une différentielle
e invariante par l’action de Γ : par les deux propriétés
quadratique holomorphe sur X,
e et ρ(γ) par homographies sur
précédentes, puisque γ ∈ Γ agit par homographies sur X
P1 (C), nous avons
γ ∗ (SD) = S (D ◦ γ) = S (ρ(γ) ◦ D) = SD .
Donc φe = SD passe au quotient en une différentielle quadratique holomorphe φ = [SD]
sur X. La classe d’isotopie de celle-ci ne dépend pas du choix du représentant (D, ρ) dans
6. Le choix d’une identification, bien définie modulo homographie, est indifférent par les propriétés
ci-dessus de la dérivée schwarzienne
5
son orbite sous PSL2 (C), toujours par les deux propriétés des dérivées schwarziennes. Ceci
définit donc une application
CP1 (X) → Q(X) .
e
Le théorème de dépendance continue de solutions d’équations différentielles (ici SD = φ)
montre que cette application est un homéomorphisme.
Le choix d’une section continue σ : T (Σg ) → CP1 (Σg ) permet de recoller ces homéomorphismes lorsque la structure complexe sous-jacente varie, pour obtenir un homéomorphisme Mod(Σg )-équivariant CP1 (Σg ) ' Q(Σg ) qui rend commutatif le diagramme
suivant :
∼
CP1 (Σg ) −→ Q(Σg )
&
.
T (Σg ) .
2
Auprès de mon arbre 7
Les survols recommandés pour cette partie sont [Sha1, Sha2, Mor, Bes2, Pau3, Chi].
Découverts par Bruhat-Tits (voir par exemple [Tit]) et popularisés par Morgan-Shalen
[MS1, MS2], les arbres réels sont les espaces métriques uniquement connexes par arc, dans
lequel tout arc est isométrique à un intervalle de R. La définition équivalente qui nous sera
le plus utile dans ces notes est celle d’espace métrique géodésique 0-hyperbolique.
Rappelons qu’un espace métrique X est géodésique si pour tous les x, y ∈ X, il existe un
segment géodésique d’extrémités x et y, c’est-à-dire un chemin isométrique c : [a, b] → X
tel que c(a) = x et c(b) = y. Un tel segment géodésique n’est pas forcément unique, mais
son image sera notée [x, y]. Pour tout δ ≥ 0, un espace métrique géodésique X est δhyperbolique si pour tous les x, y, z ∈ X et tous les segments géodésiques [x, y], [y, z], [z, x],
chacun d’entre eux est contenu dans le δ-voisinage fermé de la réunion des deux autres.
n
Par exemple, pour tout
√ n ≥ 2, l’espace hyperbolique réel HR (à courbure sectionnelle
constante −1) est ln(1
√ + 2)-hyperbolique (avec constante optimale). Ainsi, tout espace
CAT(−1) est ln(1 + 2)-hyperbolique.
Rappelons qu’un espace CAT(−1) (respectivement CAT(0)) est un espace métrique
géodésique dont les triangles géodésiques sont plus pincés que ceux du plan hyperbolique
réel (respectivement plan euclidien), c’est-à-dire tel que pour tous les x, y, z ∈ X et tous
les segments géodésiques [x, y], [y, z], [z, x], si x, y, z dans H2R (respectivement R2 ) sont tels
que d(x, y) = d(x, y), d(y, z) = d(y, z), et d(x, z) = d(x, z), alors pour tout p ∈ [x, y], si
p ∈ [x, y] vérifie d(x, p) = d(x, p), alors d(p, z) ≤ d(p, z). Nous renvoyons à [BH] pour tout
complément d’information sur les espaces CAT(−1) et CAT(0). Les triangles géodésiques
des arbres réels T sont tellement pincés que ce sont des tripodes, et en particulier, un arbre
réel est CAT(−1).
z
z
y
T
x
X
y
x
H2R
7. “Auprès de mon arbre, je vivais heureux”, Georges Brassens.
6
R2
Soit X un espace CAT(0). Un rayon géodésique dans X est une application isométrique
de [0, +∞[ dans X, et une droite géodésique dans X est une application isométrique de
R dans X. Nous notons ∂∞ X le bord à l’infini de X, c’est-à-dire l’ensemble des classes
d’équivalence de rayons géodésiques pour la relation être à distance de Hausdorff finie ,
muni de la topologie quotient de la topologie compacte-ouverte. Nous munissons la réunion
disjointe X∪∂∞ X de l’unique topologie métrisable, induisant les topologies précédentes sur
X et sur ∂∞ X, telle qu’une suite (xi )i∈N dans X converge vers un point à l’infini ξ ∈ ∂∞ X,
classe d’un rayon géodésique ρ, si et seulement si la suite de segments géodésiques entre ρ(0)
et xi qui stationne en xi converge vers ρ pour la convergence uniforme sur les compacts des
applications continues de [0, +∞[ dans X. Si X est propre 8 , alors X ∪ ∂∞ X est compact,
et appelé la compactification géodésique de X.
Soit γ une isométrie de X. Nous noterons encore γ l’unique extension continue de γ à
X ∪ ∂∞ X. La distance de translation de γ est
`(γ) = inf d(x, γx) .
x∈X
L’isométrie γ est
• elliptique si elle admet un point fixe (de manière équivalente si la borne inférieure
définissant `(γ) est atteinte et si `(γ) = 0) ;
• hyperbolique si la borne inférieure définissant `(γ) est atteinte et si `(γ) > 0 ; il
existe alors une (image de) droite géodésique sur laquelle γ agit par translation de
distance `(γ), appelée l’axe de translation de γ ; si X est CAT(−1), il est unique, c’est
l’ensemble des points x de X tels que d(x, γ 2 x) = 2d(x, γx) : cette caractérisation,
qui ne fait intervenir qu’un nombre fini d’éléments du groupe Γ et les distances entre
un nombre fini de points, sera très utile ;
• parabolique sinon. Ce cas n’arrive pas dans les arbres réels, ni pour les isométries
polyédrales des complexes polyédraux hyperboliques par morceaux CAT(−1), comme
les immeubles hyperboliques (voir par exemple [BH, GP]). Si X est CAT(−1) et propre, alors `(γ) = 0 et γ admet un unique point fixe dans ∂∞ X.
Soit ρ une action isométrique d’un groupe Γ sur X. Nous appellerons fonction distance
de translation, et noterons `ρ (ou `X par abus quand ρ est sous-entendue) l’application de
Γ dans [0, +∞[ définie par
`ρ : γ 7→ `(ρ(γ)) .
Notons que pour toute isométrie γ de X, nous avons `γργ −1 = `ρ .
Si T est un arbre réel, une action ρ d’un groupe sur T est dite minimale (au sens des
arbres) si elle n’admet pas de sous-arbre non vide propre invariant. Cette terminologie
est très mauvaise, on prendra bien garde de ne pas la confondre avec la notion d’action
minimale sur un espace topologique en systèmes dynamiques (signifiant que toute orbite
est dense), mais elle est hélas usuelle. Si ρ n’a pas de point fixe global (ou de manière
équivalente si sa fonction distance de translation n’est pas identiquement nulle), alors T
admet un unique sous-arbre invariant minimal, qui est la réunion des axes de translation
de T .
On fera attention que le complété d’un arbre réel est encore un arbre réel (et que
les actions isométriques de groupes s’étendent), mais qu’un arbre réel muni d’une action
8. Un espace métrique est propre si ses boules fermées sont compactes
7
minimale d’un groupe n’est en général pas complet (ou que l’unique sous-arbre invariant
minimal, s’il n’y pas de point fixe global) n’est pas forcément fermé). Comme le passage de
l’arbre minimal à l’arbre complet et réciproquement est canonique, il n’y a trop de souci
à se faire quand même !
Petit aparté sur la topologie des observateurs. Pour la culture, introduisons
aussi une définition due à Favre-Jonsson [FJ] et Coulbois-Hilion-Lustig [CHL]. Si T
est un arbre réel, notons T̂ obs la réunion du complété de l’espace métrique T et de
son bord à l’infini ∂∞ T , munie de la topologie des observateurs, qui est la topologie
engendrée par l’ensemble des parties de cette réunion de la forme C ∩ ∂∞ C où C
est une composante connexe du complémentaire d’un point du complété de T . Par
construction, cette topologie est moins fine que celle de la compactification géodésique
du complété de T , mais a les mêmes parties connexes. Notons que pour tout x dans
T , toute suite dans T − {x} qui sort de toute union finie de composantes connexes
du complémentaire de x conv erge vers x. Il est immédiat de vérifier, en utilisant des
ultrafiltres, que T̂ obs est compact. C’est en fait une dendrite.
9 10
Nous aurons besoin de la notion suivante, introduite par Morgan-Otal [MO]. Soient T
et T 0 deux arbres réels. Une application continue f : T → T 0 est un morphisme d’arbres
réels si tout segment géodésique de T peut être subdivisé en un nombre fini de segments
géodésiques I1 , . . . , Ik en restriction auxquels f est isométrique. La composition de deux
morphismes d’arbres réels est un morphisme d’arbres réels.
9. La terminologie de topologie des observateurs est due à V. Guirardel.
10. Une dendrite est un espace topologique métrisable compact, localement connexe par arcs, uniquement
connexe par arcs.
8
Ainsi, comme un mètre pliant peut être plié sur un segment, 11
un morphisme f : T → T 0 “plie” T sur T 0 .
e1
Par exemple, un arbre réel T sans point terminal 12 est un immeuble affine de type A
(ou encore de type (A = R, WAff = Isom(R)) suivant la terminologie de [KL] et [Par1],
dont les appartements (du système maximal d’appartement) sont les droites géodésiques.
La rétraction de l’immeuble T sur l’un de ses appartements définie par le germe de cet
appartement en un de ses point, ou par l’un de ses points à l’infini (voir [Par1]), est un
morphisme d’arbres réels.
Exemple 1. Soit K un corps valué non archimédien, c’est-à-dire un corps muni d’une
valeur absolue non archimédienne, c’est-à-dire une application | · | : K → [0, +∞[ telle que
|x| = 0 si et seulement si x = 0, et, pour tous les x, y ∈ K,
|xy| = |x| |y| et |x + y| ≤ max{|x|, |y|} .
Soit V l’espace vectoriel K2 . Une norme ultramétrique sur V est une application n : V →
[0, +∞[ telle que n(x) = 0 si et seulement si x = 0, et, pour tous les x, y ∈ K,
n(λx) = |λ| n(x) et
n(x + y) ≤ max{n(x), n(y)} .
Elle est adaptable (ou cartésienne) de volume 1 s’il existe une base (e1 , e2 ) de V adaptée
à n, c’est-à-dire telle que n(e1 ) n(e2 ) = 1 et pour tous les λ1 , λ2 ∈ K, nous ayons
n(λ1 e1 + λ2 e2 ) = max{ |λ1 | n(e1 ), |λ2 | n(e2 ) } .
Nous renvoyons par exemple à [BGR] pour des compléments sur les normes ultramétriques.
L’ensemble TK des normes ultramétriques cartésiennes de volume 1, muni de l’action de
SL2 (K) définie par (g, n) 7→ n ◦ g −1 et de la distance
n0 (e1 ) d(n, n0 ) = log
n(e1 )
pour toute base (e1 , e2 ) de V adaptée à n et à n0 , est un arbre réel, appelé l’arbre de
Bruhat-Tits de SL2 (K) (voir [BT1, BT2, GI, Par1]).
Par exemple, si K est égal à Cp , le complété d’une cloture algébrique de Qp , la dendrite
obs
T̂K est la droite projective de Berkovich de Cp (voir [Ber, FJ, BR]).
e g → Σg et Γ comme dans le préambule. Soient F un
Exemple 2. Soient g, Σg , Σ
f le feuilletage mesuré de Σg obtenu par relèvement.
feuilletage mesuré de Σg , et F
f, notons |c| e sa mesure transverse
Pour tout chemin c transverse par morceaux à F
F
totale (somme des mesures transverses de chacun de ses morceaux transverses). Nous
f la quantité
e g pour F
appellerons pseudo-distance transverse entre deux points x et y de Σ
δFe (x, y) = inf { |c|F } ,
c
11. “folding rule” en langue anglo-saxone
12. Un point terminal d’un arbre réel T est un point x de T tel que T − {x} est connexe.
9
f allant de x
où la borne inférieure porte sur les courbes c transverses par morceaux à F
à y. C’est clairement une pseudo-distance, c’est-à-dire qu’elle vérifie tous les axiomes des
distances sauf celui de séparation : deux points distincts peuvent être à pseudo-distance
f.
nulle, par exemple s’ils sont dans une même feuille de F
Bien sûr, il est possible de définir une telle pseudo-distance aussi sur Σg , mais elle n’a
guère d’intérêt en général : par exemple, si F a une feuille dense dans Σg (ce qui est la
situation générique), alors la pseudo-distance transverse δFe est nulle.
L’arbre dual à F est l’espace métrique quotient canonique
eg/ ∼ ,
TFe = Σ
où ∼ est la relation d’équivalence x ∼ y si et seulement si δFe (x, y) = 0, muni de la distance
quotient δFe ([x], [y]) = δFe (x, y) où x et y sont n’importe quels représentants des classes [x]
e g muni de la structure uniforme définie par la
et [y]. C’est le plus gros quotient séparé de Σ
eg → T e
pseudo-distance δFe , voir [Bourb] pour plus d’information. Nous noterons πFe : Σ
F
e g , qui est isométrique pour la pseudo-distance
la projection canonique. L’action de Γ sur Σ
δFe , passe au quotient en une action isométrique de Γ sur TFe .
Nous rassemblons dans la proposition suivante les propriétés des arbres duaux, dus à
Morgan-Shalen [MS1, MS2], Gillet-Shalen [GS] et Morgan-Otal [MO], voir aussi [LP] pour
une généralisation. Nous appellerons par abus feuille singulière d’un feuilletage mesuré
d’une surface toute union connexe par arcs maximale de feuilles et de singularités.
f est propre, et pour tous les
Proposition 2.1 (1) Toute feuille et feuille singulière de F
e g , nous avons π e (x) = π e (y) si et seulement si x et y appartiennent à la
x et y dans Σ
F
F
même feuille ou la même feuille singulière.
(2) L’espace métrique TFe est un arbre réel, et l’action isométrique de Γ sur TFe est
minimale (au sens des arbres).
f s’injecte par π e dans T e .
(3) Tout arc transverse à F
F
F
(4) Pour tout arbre réel T muni d’une action isométrique de Γ, toute application Γe g → T qui est constante sur les feuilles et isométrique sur tout arc
équivariante fe : Σ
f (muni de la pseudo-distance transverse)
transverse ne contenant pas de singularité de F
induit par passage au quotient un morphisme d’arbres réels Γ-équivariant f : TFe → T . Cette dernière assertion dit les “pliages” de f ne peuvent avoir lieu qu’aux images dans
f. En particulier, si F
f n’a que des singularités à 3 branches, alors
TFe des singularités de F
f est une isométrie.
Notons Acyc (Γ) l’ensemble des classes d’isométries équivariantes d’actions isométriques
minimales de Γ sans point fixe global sur des arbres réels, dont les stabilisateurs de segments géodésiques non triviaux sont cycliques. Nous le munirons plus tard d’une topologie.
Le résultat suivant (voir [Sko]) dit qu’un feuilletage mesuré de Σg est caractérisé, à isotopie
et mouvement de Whitehead près, par son arbre dual.
Théorème 2.2 (Skora) L’application de MFg dans Acyc (Γ) qui à la classe d’un feuil
letage mesuré F associe la classe de son arbre dual TFe , est un homéomorphisme.
10
3
En route vers l’infini 13
Les ultrafiltres (introduits par H. Cartan) sont un moyen magique de choisir une des
valeurs d’adhérences de suites et d’éviter des arguments d’extraction (par ailleurs délicats
dans des espaces pas forcément métrisables). Certes, leur existence utilise l’axiome du
choix, mais qui veut la fin veut les moyens.
Soit ω un ultrafiltre 14 sur N, non principal (c’est-à-dire contenant le filtre de Fréchet
des complémentaires de parties finies).
Rappelons qu’étant donné un espace topologique E et un élément x ∈ E, on dit une
suite (xi )i∈N dans E converge vers x suivant le filtre ω si pour tout voisinage V de x, il
existe un élément I de ω tel que xi ∈ V pour tout i ∈ I, et on note x = limω xi .
Proposition 3.1 Soient Y un espace topologique et (xi )i∈N une suite dans Y .
(1) Pour toute valeur d’adhérence ` de (xi )i∈N dans Y , il existe un ultrafiltre non
principal ω sur N tel que limω xi = ` (voir [Bourb, Chap. I, §7, Prop. 8]).
(2) Si Y est compact 15 , pour tout ultrafiltre non principal ω sur N, il existe un et un
seul ` ∈ Y tel que limω xi = `, et ` est une valeur d’adhérence de (xi )i∈N (voir [Bourb,
Chap. I, §9, n˚1]).
Rappelons que l’espace [−∞, +∞] est compact, donc toute suite réelle a une limite
suivant ω dans cet espace.
Suite à l’interprétation logique par van der Dries et Wilkie [DW] de son article [Gro1],
Gromov a introduit dans [Gro2] une notion de limite d’actions isométriques sur des espaces métriques variables. Nous nous restreindrons au cas des suites, bien que les suites
généralisées soient un outil plus puissant.
Soient Γ un groupe fixé et (Xi , di , ∗i , ρi )i∈N une suite d’espaces métriques (Xi , di )
pointés en ∗i munis d’une action isométrique ρi de Γ (ne préservant pas forcément le
point base), telle que pour tout γ ∈ Γ,
lim di (∗i , ρi (γ)∗i ) < +∞ .
ω
Cette condition est vérifiée par exemple si l’image du point base par tout élément fixé du
groupe reste à distance bornée du point base. Considérons l’ensemble
Y
X∞ = {x = (xi )i∈N ∈
Xi : lim di (∗i , xi ) < +∞}
ω
i∈N
pointé en ∗∞ = (∗i )i∈N , muni de la pseudo-distance (qui en est bien une),
d∞ (x, y) = lim di (xi , yi )
ω
où x = (xi )i∈N et y = (yi )i∈N , et de l’action diagonale α∞ de Γ définie par
α∞ (γ)(xi )i∈N = ρi (γ)xi i∈N ,
13. “En route vers l’infini et au-delà”, Buzz l’éclair.
14. Un filtre est un ensemble non vide de parties non vides, stable par intersections finies et passage à
la surpartie (bref qui vérifie les mêmes axiomes que l’ensemble des voisinages d’un point), et un ultrafiltre
est un filtre maximal (pour l’inclusion).
15. Il est important, comme nous l’a appris N. Bourbaki, de supposer qu’un espace métrique localement
compact est séparé (“Hausdorff” en langue anglo-saxonne).
11
qui est isométrique pour la pseudo-distance d∞ . Alors l’ultralimite (Xω , dω , ∗ω , ρω ) de la
suite (Xi , di , ∗i , ρi )i∈N suivant ω est l’espace métrique quotient canonique
Xω = X∞ / ∼
où x ∼ y si et seulement si d∞ (x, y) = 0, muni de la distance quotient
dω ([x], [y]) = d∞ (x, y) ,
où [x], [y] sont les classes d’équivalence de x, y ∈ X∞ , pointé en la classe d’équivalence ∗ω
de ∗∞ , muni de l’action isométrique quotient de Γ définie par
ρω (γ)[x] = [ρ∞ (γ)x] .
Dans la suite, nous noterons [xi ] la classe d’équivalence d’un élément (xi )i∈N ∈ X∞ .
Cette ultralimite est en fait une limite suivant le filtre ω de la suite considérée, pour la
topologie suivante (voir [Pau1]). Rappelons qu’une correspondance R entre deux ensembles
E et F est une relation R ⊂ E × F dont les deux projections sont surjectives.
Soient Γ un groupe et E un ensemble d’espaces métriques munis d’une action isométrique de Γ (ou un ensemble de classes d’isométrie équivariante de tels objets). Pour tout
X dans E , pour toutes les parties finies K de X et P de Γ, et pour tout > 0, notons
VK,P, (X) l’ensemble des X 0 ∈ E tels qu’il existe une partie finie K 0 dans X 0 et une
correspondance R entre K et K 0 telle que
∀ x, y ∈ X, ∀ x0 , y 0 ∈ X 0 , ∀ γ ∈ P, si x R x0 et y R y 0 , alors | d(x, γy) − d(x0 , γy 0 ) | < .
Alors l’ensemble des VK,P, (X), pour les parties finies K de X et F de Γ, et les > 0, est
un système fondamental de voisinages de X pour une topologie sur E , appelée la topologie
de Gromov équivariante.
Cette topologie n’est en général pas séparée : par exemple, si une suite (Xi )i∈N converge
vers X, alors elle converge aussi vers tout sous-espace Γ-invariant de X (nous utiliserons
ceci plus tard). Il est immédiat de vérifier que (Xω , dω , ρω ) est une limite de la suite
(Xi , di , ρi )i∈N suivant le filtre ω pour cette topologie. Ainsi, toute suite d’actions qui ne
bougent pas trop des points bases a une limite ! L’essentiel du travail de convergence est
ramené à trouver des points bases qui, quitte à renormaliser les distances, ne sont pas trop
bougés par les éléments de Γ. Bien sûr, il reste aussi à étudier les propriétés des limites
obtenues, et c’est souvent la partie la plus importante du travail.
Nous résumons dans le résultat suivant les propriétés immédiates des ultralimites.
Proposition 3.2 (1) L’espace métrique Xω est complet.
(2) Si fi : Xi → Yi est une application (λi , i )-quasi-isométrique (respectivement λi lipschitzienne) 16 , si λ = limω λi < ∞, = limω i < ∞ et limω d(fi (∗i ), ∗i ) < ∞,
alors l’application fω = limω fi : Xω → Xω définie par [xi ] 7→ [fi (xi )] est (λ, )-quasiisométrique, et donc isométrique si (λ, ) = (1, 0) (respectivement λ-lipschitzienne).
(3) Si Xi est géodésique pour tout i, alors Xω aussi.
(4) Si Xi est géodésique δi -hyperbolique pour tout i, si δ = limω δi < ∞ alors Xω est
géodésique δ-hyperbolique, et donc un arbre réel si δ = 0.
16. Pour tous les λ ≥ 1 et ≥ 0, une application f : X → Y entre deux espaces métriques est λlipschitzienne si d(f (x), f (y)) ≤ λ d(x, y) pour tous les x, y ∈ X, et elle est (λ, )-quasi-isométrique si
1
d(x, y) − ≤ d(f (x), f (y)) ≤ λ d(x, y) + pour tous les x, y ∈ X.
λ
12
Par exemple, si (X, d) est un espace métrique, si (λi )i∈N est une suite dans ]0, +∞[
tendant vers +∞ (dite suite des scalaires) et (∗i )i∈N est une suite dans X (dite suite des
points d’observation), alors l’ultralimite
(Xω , dω , ∗ω ) = lim (Xi = X, di =
ω
1
d, ∗i )
λi
(Γ est ici le groupe trivial) est appelée un cône asymptotique de X.
Dyubina-Polterovich [DP] ont montré que tous les cônes asymptotiques de toutes les
variétés riemanniennes complètes simplement connexes de dimension au moins 2 et à
courbure sectionnelle au plus −1 (en particulier ceux de l’espace hyperbolique réel H3R )
sont isométriques à un même arbre réel. Une description de celui-ci est l’ensemble Tuniv
des applications f : [0, af [ → [0, 1] où 0 < af < +∞, f (0) = 0, f est localement constante
à droite (c’est-à-dire pour tout t ∈ [0, af [ , il existe > 0 tel que f|[t,t+[ est constant),
muni de la distance
d(f, g) = af + ag − 2 sup{t ≥ 0 : ∀ s ∈ [0, t], f (s) = g(s)} .
Tout arbre réel de cardinal au plus celui de R se plonge isométriquement dans Tuniv (voir
par exemple [MNO]).
4
La compactification de Morgan-Shalen revisitée
Soit Γ un groupe de type fini.
Nous allons décrire une compactification d’un espace X de classes de représentations
de Γ dans un groupe topologique G, due à Thurston [FLP] si Γ est un groupe de surface,
G = PSL2 (R) et X est l’espace de Teichmüller, due à Morgan-Shalen [MS1] si G = SL2 (C)
et X est la variété des caractères de représentations de Γ dans G, en suivant l’approche
métrique de Bestvina [Bes1] et [Pau1] (voir aussi [Pau4]), et la présentation optimale de
Parreau [Par3].
Nous dirons qu’une action isométrique de Γ sur un espace métrique CAT(−1) est
complètement réductible si pour tout ξ ∈ ∂∞ X fixé par Γ, il existe η ∈ ∂∞ X − {ξ} fixé
par Γ. Cette définition est due à Serre [Ser] et Parreau [Par2], et nous renvoyons à cette
dernière référence pour la bonne notion dans les espaces métriques CAT(0).
13
Soient X un espace métrique CAT(−1) propre (par exemple le modèle du demi-espace
supérieur de l’espace hyperbolique réel X = H3R ) et G un groupe topologique localement
compact agissant (à gauche) sur X par isométries, proprement, avec quotient G\X compact (par exemple G = PSL2 (C) agissant sur X = H3R par l’extension de Poincaré des
homographies de P1 (C) = C∪{∞} = ∂∞ H3R , voir le début de la partie 5). Tout morphisme
de groupes ρ de Γ dans G est une action isométrique de Γ dans X, et en particulier `ρ
désigne sa fonction distance de translation sur X.
Notons
• PΓ l’ensemble quotient de l’ensemble [0, +∞[Γ −{0} des fonctions non nulles de Γ
dans [0, +∞[ , par l’action de R∗+ définie par (λ, f ) 7→ λf , munie de la topologie quotient
de la topologie produit (qui est métrisable car Γ est dénombrable mais pas localement
compacte si Γ est infini) ;
• A (Γ) l’ensemble des classes d’isométrie équivariante des actions isométriques, sans
point fixe global, complètement réductibles, minimales de Γ sur les arbres réels T , muni
de la topologie de Gromov équivariante ;
• X (Γ, G) l’ensemble quotient de l’ensemble des morphismes de groupes ρ : Γ → G
complètement réductibles, modulo l’action par conjugaison 17 de G, muni de la topologie
quotient de la topologie de la convergence simple. L’ensemble X (Γ, Isom(X)) des classes
d’isométrie équivariante des actions isométriques de Γ sur X peut aussi être muni de la
topologie de Gromov équivariante, et nous le noterons alors X 0 (Γ, Isom(X)).
• θ1 : X (Γ, G) → PΓ l’application [ρ] 7→ [`ρ + 1], θ10 : X 0 (Γ, Isom(X)) → PΓ l’application [ρ] 7→ [`ρ + 1], et θ2 : A (Γ) → PΓ l’application T 7→ [`T ].
Considérons le diagramme suivant.
L’application [ρ] 7→ [`ρ ] n’est définie que sur le complémentaire dans X (Γ, G) du sousespace X0 (Γ, G) des classes des représentations dont la fonction distance de translation sur
X est nulle. C’est pour cela que nous ajoutons un 1 aux fonctions distance de translation,
ce qui ne change pas l’asymptotique projectivement, même si travailler avec des fonctions
partiellement définies est possible.
Le sous-espace X0 (Γ, G) est compact. En effet, si `ρ = 0, alors ρ(Γ) fixe un point de X
ou de ∂∞ X (par la propreté de X et le fait que si γ, γ 0 sont deux isométries paraboliques
de X dont les points fixes sont distincts, alors il existe N tel que γ N γ 0 N soit une isométrie
hyperbolique). Dans le second cas, la complète réductibilité implique aussi que ρ(Γ) a un
point fixe dans X. Comme G agit proprement, ceci montre la compacité de X0 (Γ, G).
Notons Out(Γ) = Aut(Γ)/Int(Γ) le groupe des automorphismes extérieurs de Γ (c’està-dire le groupe quotient du groupe des automorphismes de groupes de Γ par son sousgroupe distingué des automorphismes intérieurs h 7→ γhγ −1 pour γ ∈ Γ). Il agit par
homéomorphismes sur les espaces X (Γ, G), PΓ et A (Γ), par passage au quotient de la
précomposition par un automorphisme d’une fonction de Γ dans un ensemble.
17. Le groupe G agit sur l’ensemble Hom(Γ, G) des morphismes de groupes de Γ dans G par (g, ρ) 7→
{h 7→ gρ(h)g −1 }.
14
Proposition 4.1 Les applications du diagramme précédent sont continues et Out(Γ)équivariantes.
Démonstration. Il est immédiat par les propriétés de la topologie quotient que l’application de X (Γ, G) dans X (Γ, Isom(X)) définie par l’action isométrique de G sur X est continue. Il est immédiat que l’application identité de X (Γ, Isom(X)) dans X 0 (Γ, Isom(X))
est continue (il suffit de prendre K 0 = K et R le graphe de idK dans la définition de la
topologie de Gromov équivariante). Par commutativité du diagramme ci-dessus, il suffit
donc de montrer que la fonction distance de translation dépend continuement de l’action
pour la topologie de Gromov équivariante sur les arbres réels ou les espaces CAT(−1)
propres.
Par définition de la topologie produit sur [0, +∞[Γ , il suffit de le vérifier lorsque Γ
est engendré par un élément γ. Soient donc X 0 assez proche de X pour la topologie de
Gromov équivariante, et notons `(γ) et `0 (γ) les distances de translation de γ dans X et
X 0 respectivement. S’il existe x ∈ X tel que d(x, γx) est petite, alors il existe x0 ∈ X
tel que d(x0 , γx0 ) est petite, donc nous pouvons supposer que `(γ) > 0. Comme X est
propre ou un arbre réel, ceci implique que γ est hyperbolique dans X. Soit > 0 petit
devant `(γ). Soit x un point de l’axe de translation de γ dans X, qui vérifie en particulier
d(x, γx) + d(γx, γ 2 x) − d(x, γ 2 x) = 0. Si X 0 est assez proche de X, il existe x0 dans X tel
que |d(x0 , γx0 ) − d(x, γx)| < et d(x0 , γx0 ) + d(γx0 , γ 2 x0 ) − d(x0 , γ 2 x0 ) < . Comme X est
CAT(−1) propre ou un arbre réel, ceci implique que γ est aussi hyperbolique dans X, et
que x0 est à distance au plus 0 (qui tend vers 0 quand tend vers 0) de l’axe de translation
de γ dans X 0 . D’où en notant y 0 la projection orthogonale de x0 sur cet axe,
|`0 (γ) − `(γ)| = |d(y 0 , γy 0 ) − d(x, γx)| ≤ |d(x0 , γx0 ) − d(x, γx)| + 20 ≤ + 20 ,
ce qui montre le résultat.
Cet argument montre que les axes de translation sont des limites d’axes de translation :
si (Xω , dω , ∗ω , ρω ) est l’ultralimite d’une suite (Xi , di , ∗i , ρi )i∈N avec Xi un arbre réel ou
un espace CAT(−1) propre, si fω : R → Xω est un paramétrage isométrique de l’axe de
translation de γ ∈ Γ dans Xω , alors il existe I ∈ ω tel que pour pour tout i ∈ I, γ est
hyperbolique dans Xi et il existe un paramétrage isométrique fi : R → Xi de l’axe de
translation de γ dans Xi tel que fω = limω fi .
Bien que nous n’en aurons pas vraiment besoin dans la suite, faisons quelques remarques sur les objets apparaissant dans le diagramme précédent.
Remarques. (1) Notons PA (Γ) l’espace topologique quotient de A (Γ) par l’action de
R∗+ par multiplication de la distance par un scalaire, c’est à dire l’espace des classes d’homothétie 18 équivariante des actions isométriques, sans point fixe global, complètement
réductibles, minimales de Γ sur les arbres réels T , muni de la topologie quotient de la
topologie de Gromov équivariante. Il résulte de résultats de Culler-Morgan [CM] et [Pau2]
(dont la propriété de continuité ci-dessus) que l’application θ2 induit par passage au quotient un homéomorphisme de PA (Γ) sur son image.
(2) Parreau [Par2] a montré que si X est un espace symétrique (donc dans notre cas
un espace hyperbolique réel, complexe, quaternionique ou le plan hyperbolique sur les
18. Une homothétie entre deux espaces métriques X et Y est une bijection f : X → Y telle qu’il existe
λ > 0 tel que d(f (x), f (y)) = λ d(x, y) pour tous les x, y dans X.
15
octonions, mais les résultats de [Par2] sont bien plus généraux) alors X (Γ, G) est le plus
gros quotient séparé de l’espace topologique quotient Hom(Γ, G)/G (toujours pour l’action
par conjugaison de G sur l’ensemble Hom(Γ, G) muni de la topologie de la convergence
simple), au sens suivant.
• Pour tout ρ ∈ Hom(Γ, G), il existe ρss dans l’adhérence G · ρ de l’orbite de ρ par G
qui est complètement réductible.
• Pour tous les ρ, ρ0 ∈ Hom(Γ, G) complètement réductibles, nous avons G · ρ ∩ G · ρ0 6=
∅ si et seulement si G · ρ = G · ρ0 . Ainsi nous avons une application bien définie et surjective
π : Hom(Γ, G)/G → X (Γ, G)
qui à [ρ] associe [ρss ].
• L’application π est continue et la topologie induite sur X (Γ, G) par l’inclusion de
X (Γ, G) dans Hom(Γ, G)/G coı̈ncide avec la topologie la plus fine rendant continue π.
• L’espace X (Γ, G) est séparé (donc localement compact) et toute application continue G-invariante de Hom(Γ, G) dans un espace topologique séparé Y factorise par π.
Ces énoncés font sens sous les seules hypothèses que nous demandons sur (X, G), et
il est donc naturel de se demander pour quelles conditions sur (X, G) ils sont vérifiés, en
particulier lorsque X est un immeuble hyperbolique ou un arbre régulier, qui ont souvent
de jolis sous-groupes fermés G d’automorphismes. Comme remarqué par Parreau [Par3], le
problème est beaucoup plus délicat pour les espaces CAT(0) propres (une indication qu’il
convient de se méfier est la non unicité des axes de translations) : par exemple, l’espace
topologique X (Z, Isom(R2 )) n’est pas séparé.
(3) Un lien entre l’espace topologique X (Γ, G) et les quotients algébro-géométriques
a la Mumford (dont les variétés des caractères de Culler-Shalen et Morgan-Shalen), est le
suivant, voir [Lun, RS, Bre, Par3]. Par variété algébrique affine V définie sur un sous-corps
k de C, nous entendrons dans ces notes un sous-ensemble d’un CN où N ∈ N, lieu des
zéros communs d’une famille de polynômes complexes à coefficients dans k. L’ensemble
de ses k-points est l’ensemble V (k) des zéros dans k N de ces polynômes. Son anneau des
fonctions est l’ensemble des polynômes qui s’annulent sur V . Un fermé de Zariski de V
est le lieu dans V des zéros communs d’une famille de polynômes complexes de CN .
Soit G un groupe algébrique affine connexe réductif défini sur K = R ou K = C. Soient
G = G(K)0 et X un espace symétrique de G (par exemple K = C, G = PGL2 , G =
PSL2 (C) et X = H3R ). Si G est un sous-groupe algébrique défini sur K de SLN (C) ⊂ CN
et S est une partie génératrice finie de Γ, par restriction à S, le sous-ensemble Hom(Γ, G)
s’identifie à une variété algébrique affine définie sur K contenue dans (CN )S . La théorie
géométrique des invariants (voir par exemple [PV]) montre qu’il existe une variété affine
complexe Hom(Γ, G)//G définie sur K, dont l’anneau des fonctions est l’anneau des fonctions de Hom(Γ, G) invariantes par G.
Alors l’application
X (Γ, G) =
n G-orbites fermées o
n G-orbites Zariski-fermées o
−→ Hom(Γ, G)//G =
dans Hom(Γ, G)
dans Hom(Γ, G)
définie par G · ρ 7→ G · ρ, est
• un homéomorphisme, si K = C (car sur C, les orbites d’actions algébriques de groupes
algébriques sur des variétés algébriques affines sont Zariski-fermées si et seulement si elles
sont analytiquement fermées, voir [Bre, Prop. 5.3]) ;
16
• une application continue, à fibres finies, d’image en général contenue strictement
dans l’ensemble des points réels de Hom(Γ, G)//G, si K = R.
Précisons ce que nous entendrons par compactification dans ces notes (voir [Par3]).
Soit X un espace topologique localement compact 19 . Une compactification de X est un
b ι) où
couple (X,
b
• X est un espace topologique compact ;
b est un homéomorphisme sur son image, qui est ouverte et dense.
• ι:X→X
b par ι. Si X est muni d’une action continue
Nous identifierons X avec son image dans X
b nous dirons que cette
d’un groupe topologique G et si cette action s’étend continuement X,
b et X
b 0 sont
compactification est G-équivariante. Deux compactifications (équivariantes) X
b dans X
b 0 valant l’identité
isomorphes s’il existe un homéomorphisme (équivariant) de X
sur X.
Par exemple, toute application continue θ : X − X0 → Y du complémentaire d’un
compact X0 dans X à valeurs dans un espace topologique Y , dont l’image est d’adhérence
b θ de X, dite associée à θ, en lui rajoutant la
compacte, définit une compactification X
frontière de l’image de θ, de la manière suivante. Le seul cas dont nous aurons besoin
dans la suite est X0 = ∅, mais si nous travaillions avec les applications [ρ] 7→ [`ρ ], cette
généralité aurait été utile.
b Ale = X ∪ {∞} la compactification d’Alexandrov de X. Pour n’importe quel
Notons X
compact K de X contenant X0 dans son intérieur (par exemple K = ∅ si X0 = ∅), notons
b Ale × Y l’application continue x 7→ (x, θ(x)), et Z = K ∪f (X
b Ale × Y )
f : ∂K → X
b Ale × Y par f (par exemple Z = X
b Ale × Y
l’espace topologique recollement de K sur X
◦
◦
si X0 = ∅). Alors l’application ι de X dans Z, qui envoie x ∈ K sur x ∈ K et x ∈
/ K sur
Ale
b
(x, θ(x)) ∈ X × Y , est un homéomorphisme sur son image, dont l’image est d’adhérence
b θ compacte.
X
Si X et Y sont munis d’une action continue d’un groupe topologique G, si X0 est
G-invariant, et si θ est G-équivariante, alors cette compactification est G-équivariante.
Le résultat suivant est une variante très légère des résultats susmentionnés de Thurston,
Morgan-Shalen, Bestvina, l’auteur de ce survol et Parreau. Par exemple, un cas nouveau
auquel il s’applique est lorsque X est un immeuble hyperbolique localement fini dont
le groupes des automorphismes isométriques G est transitif sur les chambres (voir par
exemple [Bourd, GP, HP]).
Théorème 4.2 Soient Γ un groupe de type fini, X un espace CAT(−1) propre et G un
groupe localement compact agissant sur X par isométries, proprement, avec quotient G\X
compact. Alors l’adhérence de l’image de θ1 est compacte et sa frontière est contenue dans
la réunion de θ2 (A (Γ)) et de {[ |χ| + 1] : χ ∈ Hom(Γ, R)}.
Démonstration. Soit S une partie génératrice finie fixée de Γ. Pour tout ρ ∈ Hom(Γ, G),
appelons facteur de dilatation 20 de ρ l’élément de [0, +∞[ défini par
λρ = inf max d(x, ρ(s)x) ,
x∈X s∈S
19. Il ne sert pas à grand chosex d’essayer de compactifier des espaces non localement compact, la
compactification de Stone-Čech doit être laissée au rayon de la tératopologie (pour un reprendre un jeu de
mots fort à propos de H. Cartan et J. Dieudonné).
20. La norme L2 étant strictement convexe, ce que n’est pas la norme L∞ , il vaut souvent mieux prendre
1
P
2 2
pour facteur de dilatation inf x∈X
, mais notre choix suffit (et revient au même) pour
s∈S d(x, ρ(s)x)
notre usage.
17
et borne inférieure 1-approchée 21 de λρ tout point ∗ρ de X tel que
max d(∗ρ , ρ(s)∗ρ ) ≤ λρ + 1 .
s∈S
Notons que pour tout g ∈ G, nous avons λgρg−1 = λρ . De plus, g ∗ρ est une borne inférieure
1-approchée de λgρg−1 .
Pour montrer le théorème 4.2, puisque PΓ est métrisable, il suffit de montrer que toute
suite ([ρi ])i∈N dans X (Γ, G) admet une sous-suite dont l’image par θ1 converge vers [`ρ +1]
pour un [ρ] dans X (Γ, G) ou vers [ |χ| + 1] pour un χ dans Hom(Γ, R) ou vers [`T ] pour
un T dans A (Γ).
Supposons tout d’abord que la suite (λρi )i∈N est bornée. Alors puisque l’action de G
est cocompacte, quitte à conjuguer ρi dans G, nous pouvons supposer que la suite (∗i )i∈N
reste dans un compact de X. Puisque l’action
de G sur X est propre et par extraction
diagonale, pour tout γ ∈ Γ, la suite ρi (γ) i∈N dans G converge vers un élément ρ(γ) de
G. Par continuité de θ1 , nous avons donc
lim [`ρi + 1] = [`ρ + 1] ∈ θ1 (X (Γ, G)) ,
i→+∞
si ρ(γ) ne fixe pas de point à l’infini de X (donc est complètement réductible) ou si `ρ = 0
(la représentation triviale est complètement réductible, de fonction distance de translation
nulle). Sinon, soit ξ ∈ ∂∞ X fixé par ρ(Γ).
Petit aparté sur les fonction de Busemann. Rappelons (voir par exemple [BH])
que la fonction de Busemann en un point à l’infini ξ 0 d’un espace CAT(0) quelconque
X 0 est
βξ0 : (x, y) 7→ lim d(x, c(t)) − d(y, c(t))
t→+∞
X0
où c : [0, +∞[ →
est n’importe quel rayon géodésique de point à l’infini ξ 0 . Elle est
bien définie et vérifie les propriétés de cocycle et d’invariance
βξ0 (y, x) = −βξ (x, y),
βξ0 (x, y) + βξ0 (y, z) = βξ0 (x, z),
βαξ0 (αx, αy) = βξ0 (y, x)
pour tous les x, y, z ∈ X 0 et pour toute isométrie α de X 0 .
Si ρ0 est une action isométrique d’un groupe Γ sur X 0 qui fixe ξ 0 , pour tout x0 ∈ X 0
fixé, l’application γ 7→ βξ (x0 , ρ(γ)x0 ) est donc un morphisme de groupes de Γ dans R,
dont la valeur absolue est égale à `ρ0 .
21. Le lemme suivant permet de supposer que la borne inférieure définissant λρ est atteinte, mais nous
n’en aurons pas besoin.
Lemme 4.3 Si ρ ∈ Hom(Γ, G) est complètement réductible, la borne inférieure définissant λρ est atteinte
en au moins un point ∗∗ρ de X, et si `ρ 6= 0, alors λρ > 0.
Notons qu’alors g ∗∗ρ atteint la borne inférieure définissant λgρg−1 , pour tout g ∈ G.
1
Démonstration. Pour tout n ∈ N, soit xn ∈ X tel que maxs∈S d(x, ρ(s)x) ≤ λρ + n+1
. Si (xn )n∈N
converge vers x ∈ X, le résultat en découle en posant ∗∗ρ = x, qui n’est pas fixe par Γ si `ρ 6= 0, donc
pas fixe par S, donc λρ > 0. Sinon, quitte à extraire, puisque X est propre, la suite (xn )n∈N converge
vers ξ ∈ ∂∞ X, qui est fixe par S donc par Γ. Puisque ρ est complètement réductible, il existe η ∈ ∂∞ X
différent de ξ fixe par Γ. Le groupe Γ agit donc par translations sur la géodésique entre ξ et η. Prenons
∗∗ρ n’importe quel point de cette géodésique. Il réalise la borne inférieure définissant λρ et n’est pas fixe
par Γ si `ρ 6= 0, donc λρ > 0.
18
Il existe donc χ ∈ Hom(Γ, R) un caractère additif réel (non trivial) de Γ tel que `ρ = |χ|.
D’où
lim [`ρi + 1] = [`ρ + 1] = [ |χ| + 1] .
i→+∞
Supposons maintenant, quitte à extraire, que la suite (λρi )i∈N est strictement positive
et converge vers +∞. Pour tout γ ∈ Γ, si kγk = kγkS est la longueur minimale d’un mot
en S ∪ S −1 représentant γ, nous avons, par l’inégalité triangulaire,
d(∗ρi , ρi (γ)∗ρi ) ≤ kγk max d(∗ρi , ρi (s)∗ρi ) ≤ kγk (λρi + 1) .
s∈S
(- 3 -)
Fixons un ultrafiltre non principal ω sur N. Considérons le cône asymptotique
(Xω , dω , ∗ω , ρω ) = lim (Xi = X, di =
ω
1
d, ∗i , ρi )
λi
pour la suite de scalaires (λi = λρi )i∈N tendant vers +∞ et la suite de points d’observation
(∗i = ∗ρi )i∈N (qui sont envoyés à distance uniformément bornée par tout élément de Γ,
pour la distance renormalisée, d’après l’inégalité (- 3 -)). Remarquons que la distance de
translation de ρi sur l’espace métrique renormalisé (Xi , di ) est λ1ρ `ρi .
i
Par la proposition 3.2 (4), l’espace métrique (Xω , dω ) est un arbre réel, et l’action ρω
n’a pas de point fixe global, parce que la renormalisation 22 de la métrique fait qu’un point
de Xi qui l’est le moins est déplacé d’une distance au moins 1 par au moins un des éléments
de la partie génératrice S.
Nous pouvons donc considérer l’unique sous-arbre invariant minimal T de Xω , et `T =
`Xω sa fonction distance de translation.
Par le fait que les ultralimites sont des limites pour la topologie de Gromov équivariante,
par la continuité de la fonction distance de translation pour la topologie de Gromov
équivariante (voir la démonstration de la proposition 4.1), nous avons
lim θ1 ([ρi ]) = lim [`ρi + 1] = lim [
ω
ω
ω
1
(`ρ + 1)] = [`Xω ] = [`T ] .
λρi i
Ainsi si T n’a pas de point fixe global à l’infini, alors l’action de Γ sur T est complètement
réductible, et limω θ1 ([ρi ]) ∈ θ2 (A (Γ)), ce qui montre le résultat par la proposition 3.1 (car
toute valeur d’adhérence d’une suite dans un espace métrisable est limite d’une sous-suite).
Si T admet un point fixe global à l’infini, l’aparté ci-dessus sur les fonctions de Busemann
montre que `T est égale à la fonction distance de translation d’une action isométrique (par
translations) sans point fixe global de Γ sur l’arbre réel R (donc complètement réductible
et minimale). Par conséquent, la limite limω θ1 ([ρi ]) appartient aussi à θ2 (A (Γ)), ce qui
conclut.
Remarques. (1) Lorsque X (Γ, G) est localement compact, la compactification de l’espace X (Γ, G) définie par l’application Out(Γ)-équivariante continue θ1 d’image relativement compacte, est une compactification Out(Γ)-équivariante de X (Γ, G), que nous
c(Γ, G) dans la suite.
noterons X
(2) Nous dirons que l’action de G sur X est Γ-semi-simplifiable si pour tout ρ ∈
Hom(Γ, G) dont l’action sur X fixe un point à l’infini ξ ∈ ∂∞ X, il existe η ∈ ∂∞ X − {ξ}
et ρ0 ∈ Hom(Γ, G) fixant ξ et η tel que `ρ0 = `ρ .
22. Nous voyons ici qu’il est important de ne pas renormaliser par un facteur trop grand, car sinon des
phénomèmes de perte d’information par écrasement excessif apparaissent.
19
C’est par exemple le cas
• si X est un espace symétrique et G = Isom(X) ou G = Isom(X)0 est la composante
neutre de son groupe des isométries,
• ou si G n’a pas d’isométrie parabolique, comme pour le groupe des automorphismes
isométriques d’un immeuble hyperbolique localement fini.
La démonstration ci-dessus montre que si l’action de G sur X est Γ-semi-simplifiable,
alors la frontière de θ1 (X (Γ, G)) est contenue dans θ2 (A (Γ)).
c(Γ, G) − X (Γ, G) de la
Si l’action de G sur X est Γ-semi-simplifiable, le bord X
c(Γ, G) est donc homéomorphe (de manière Out(Γ)-équivariante) à un
compactification X
sous-espace compact de PA (Γ), par la remarque (1) suivant la proposition 4.1.
Si l’action de G sur X est Γ-semi-simplifiable, le remplacement de θ1 par l’application
[ρ] 7→ [`ρ ] partiellement définie sur le complémentaire du compact X0 (Γ, G) produit une
compactification isomorphe.
(3) Lorsque G = SL2 (C) (respectivement G = PSL2 (C)) agissant non fidèlement (rec(Γ, G) est
spectivement fidèlement) sur H3R , la compactification Out(Γ)-équivariante X
isomorphe à la compactification Out(Γ)-équivariante de Morgan-Shalen de la variété des
caractères Hom(Γ, SL2 )// SL2 (C) (respectivement Hom(Γ, PGL2 )// PGL2 (C) ), par
définition de celle-ci, que nous ne rappelons pas ici (voir [MS1]) et par la remarque (3)
suivant la proposition 4.1.
5
Les surfaces d’Epstein-Schwarz-Dumas
Décrivons maintenant l’outil principal de l’article [Dum2], qui développe un travail
d’Epstein [Eps].
Notons
|dz|2 + dt2 H3R =
(z, t) ∈ C× ]0, +∞[ ,
t2
le modèle du demi-espace supérieur de l’espace hyperbolique réel de dimension 3, dont
le bord à l’infini est ∂∞ H3R = C ∪ {∞} = P1 (C). Le groupe PSL2 (C) agit continuement
et fidèlement sur la compactification géodésique H3R ∪ ∂∞ H3R (transitivement sur ∂∞ H3R ),
a b
l’élément ±
de PSL2 (C) agissant par l’homographie z 7→ az+b
cz+d sur P1 (C) et par son
c d
2 ac
extension de Poincaré (z, t) 7→ (az+b)(cz+d)+t
, |cz+d|2t+t2 |c|2 sur H3R . Les horosphères 23
|cz+d|2 +t2 |c|2
de H3R centrées en ∞ sont les plans horizontaux C × {t} où t > 0, et celles centrées en
z ∈ C sont les sphères euclidiennes contenues dans H3R et tangentes à C en z.
23. Si X est un espace métrique CAT(0), l’horosphère centrée en ξ ∈ ∂∞ X passant par x ∈ X est
{y ∈ X : βξ (x, y) = 0} où β est la fonction de Busemann introduite ci-dessus.
20
∞
horosphère centrée en ∞
x
a
d
b
extension
de Poincaré
c γx
γb γc
C
Tx1 H3R
γa
γd
horosphère
centrée en z
x
v
z
ϕx (v)
Pour tout point x de H3R , notons Sx = Tx1 H3R la sphère unité de l’espace tangent à H3R
en x, et ϕx : Sx → ∂∞ H3R le difféomorphisme qui à un vecteur tangent unitaire v en x
associe le point à l’infini v+ du rayon géodésique de vecteur vitesse v en son origine x (voir
le dessin ci-dessus à droite). Pour toute isométrie γ de H3R , nous avons ϕγx ◦ γ = γ ◦ ϕx .
L’application ϕx est conforme 24 pour la structure conforme sur Sx définie par sa métrique
riemannienne sphérique, et celle sur ∂∞ H3R = P1 (C) définie par sa structure de surface
de Riemann (qui coı̈ncide avec celle définie par la métrique riemannienne sphérique de
S2 dans le modèle de la boule de Poincaré, ou celle définie par la métrique riemannienne
euclidienne en tout point de R2 = ∂∞ H3R − {∞} ).
Pour tout point a de ∂∞ H3R et tout produit scalaire B dans la structure conforme sur
Ta (∂∞ H3R ), l’ensemble
∗ 2
H(a, B) = x ∈ H3R : (ϕ−1
x ) dsT 1 H3 (a) = B
x
R
des points x de H3R où l’image de la métrique riemannienne de Tx1 H3R par le difféomorphisme
ϕx coı̈ncide au point a avec B, est une horosphère, comme on le voit en se ramenant
par isométrie au cas où a = ∞, l’ensemble H(a, B) étant invariant par les translations
horizontales, mais non invariant par les homothéties de rapport λ > 0 différent de 1.
Si Ω est une surface, et (Hζ )ζ∈Ω une famille d’horosphères paramétrée par Ω, une
enveloppe de cette famille est une application continue Θ : Ω → H3R telle que pour tout
ζ ∈ Ω, nous avons Θ(ζ) ∈ Hζ . En général, on demande aussi que Θ est de classe C1 et
Tζ (Tζ Ω) ⊂ TΘ(ζ) Hζ (sans demander que Θ soit une immersion), mais nous n’en aurons
pas besoin dans ce qui suit.
24. Une structure conforme sur un espace vectoriel réel est une classe d’homothétie de produits scalaires.
Une telle structure permet de définir l’angle de deux vecteurs non nuls, par la formule usuelle cos ∠(u, v) =
hu,vi
. Un isomorphisme linéaire conforme est un isomorphisme linéaire qui préserve les angles entre
kuk kvk
vecteurs non nuls. Une structure conforme sur une variété réelle lisse M est une section lisse du fibré
projectif du fibré des formes bilinéaires symétriques sur M , qui à tout point x de M associe une structure
conforme sur l’espace vectoriel Tx M . Un isomorphisme conforme est un difféomorphisme préservant les
angles. Par exemple, une métrique riemannienne sur une variété définit une structure conforme, en prenant
en chaque point la classe d’homothétie du produit scalaire riemannien. Une surface de Riemann M porte une
structure conforme canonique, qui la détermine, en prenant en chaque point x ∈ M la classe d’homothétie
d’un produit scalaire rendant orthogonal X et iX pour tout X ∈ Tx M . Le bord à l’infini d’un espace
symétrique de rang 1 porte une structure conforme invariante par son groupe des isométries, mais pas de
structure de variété riemannienne invariante.
21
Rappelons qu’une métrique riemannienne σ sur une surface de Riemann X est dite
conforme si dans toute carte locale (U, ζ) de X, elle s’écrit σU,ζ (ζ)|dζ|2 où σU,ζ : U →
]0, +∞[ est lissex.
Proposition 5.1 (Epstein) Soient Ω une surface de Riemann, σ une métrique conforme
sur Ω, f : Ω → P1 (C) une application holomorphe localement injective. Alors il existe une
unique application lisse Θ = Θf,σ de Ω dans H3R telle que pour tout ζ ∈ Ω, nous avons
∗ 2
2
Θ(ζ) ∈ x ∈ H3R : (ϕ−1
.
x ◦ f ) dsT 1 H3 (ζ) = σ(ζ)|dζ|
x
R
Démonstration. En tout point ζ0 ∈ Ω, nous pouvons supposer, quitte à faire agir une
isométrie de H3R , que z0 = f (ζ0 ) appartient à la carte affine C de P1 (C). L’image par
la restriction de f à un voisinage assez petit U de ζ0 de la métrique conforme σ s’écrit
∂η
eη(z) |dz|2 où η est lisse. En notant ηz = ∂η
∂z et ηz = ∂z , on peut montrer que pour tout
ζ ∈ U , si z = f (ζ), alors
Θ(ζ) = z +
4 ηz (z)e−η(z)
2
,
eη(z) + 4 e−η(z) ηz (z)ηz (z) eη(z) + 4 e−η(z) ηz (z)ηz (z)
convient.
Par unicité, si Γ est un groupe d’automorphismes de Ω, qui agit par isométries de la
métrique conforme σ, si ρ : Γ → PSL2 (C) est un morphisme de groupes tel que f ◦ γ =
ρ(γ) ◦ f pour tout γ ∈ Γ, alors l’application Θ est ρ-équivariante.
Par ce qui précède, cette application Θ est
une enveloppe de la famille des horosphères
∗ ds2
2 paramétrée par ζ ∈ Ω. Il est fort utile pour
{x ∈ H3R : (ϕ−1
◦
f
)
(ζ)
=
σ(ζ)|dζ|
3
x
T 1H
x
R
les calculs que cette application soit lisse (même si ce n’est pas toujours une immersion), ce
qui n’est pas si fréquent pour des enveloppes. Par exemple, le bord de l’enveloppe convexe
dans H3R d’une partie fermée ayant au moints deux points de P1 (C) (comme l’ensemble
limite d’un groupe kleinien), qui est une enveloppe de la famille de ses hyperplans d’appuis,
n’est pas lisse en général.
0
D
Ω
C
Par exemple, si Ω est un domaine de Jordan de C, si σ est sa métrique de Poincaré (et
si f : Ω → P1 (C) l’inclusion), alors l’application Θ donne une jolie surface dans l’espace
hyperbolique. Si Ω est le disque ouvert unité D, en regardant la valeur de Θ en 0 et en
utilisant l’invariance par le groupe des autormophismes de P1 (C) préservant D, l’image de
Θ est le plan hyperbolique de bord à l’infini le cercle unité.
e celle relevée sur Σ
eg.
Soient X une structure de surface de Riemann sur Σg et X
e son relevé par le revêtement universel holomorphe
Soient φ ∈ Q(X) et φe = π ∗ φ ∈ Q(X)
e → X. Soient Dφ une application développante, de représentation d’holonomie ρφ , de
π:X
e → P1 (C)
la structure projective complexe définie par φ (l’immersion holomorphe Dφ : X
22
e est une
est solution de l’équation différentielle schwarzienne Sf = φ). Remarquons que |φ|
−1
e
e
métrique conforme sur la surface de Riemann Ω = X − φ (0), puisqu’elle s’écrit en carte
e
e
e L’application Θφ = Θ
locale |φ(z)|
|dz|2 avec |φ(z)|
> 0 en dehors des zéros de φ.
e
Dφ ,|φ|
ainsi construite sera appelée l’application de Epstein-Schwarz-Dumas de φ.
6
Dégénérescences de structures projectives complexes, d’après D. Dumas
e g → Σg un
Soient Σg une surface compacte connexe orientable de genre g ≥ 2 et Σ
revêtement universel de Σg , de groupe des automorphismes de revêtement Γ. Fixons une
e la structure de surface de Riemann
structure de surface de Riemann X sur Σg , et notons X
e g relevée. Notons G = PSL2 (C). Rappelons que
sur Σ
• Q(Σg ) est le fibré vectoriel holomorphe sur T (Σg ) des classes d’isotopies de différentielles quadratiques holomorphes sur la surface lisse Σg , dont la fibre au-dessus de [X]
est l’espace vectoriel normé complexe Q(X) de dimension 3g − 3 des différentielles
quadratiques holomorphes sur la surface de Riemann X ;
• CP1 (Σg ) est l’espace des classes d’isotopie de structures projectives convexes sur Σg ,
c’est-à-dire des classes de couples (D, ρ) où ρ : Γ → PSL2 (C) est un morphisme de
e g → P1 (C) est une immersion ρ-équivariante, modulo l’action de
groupes et D : Σ
PSL2 (C) définie par g · (D, ρ) = (D ◦ ρ, gρg −1 ), muni de la topologie quotient de la
topologie produit des topologies compactes-ouvertes.
Le résultat suivant est une compilation de résultats de Poincaré, Hejhal [Hej] et GalloKapovich-Marden [GKM].
Théorème 6.1 L’application θ3 : CP1 (Σg ) → X (Γ, G) définie par [D, ρ] 7→ [ρ] est un
homéomorphisme local tel que
(1) son image est l’ensemble des G-orbites des φ ∈ Hom(Γ, G) non élémentaires 25 qui
se relèvent en une représentation de Γ dans SL2 (C) par la projection canonique SL2 (C) →
PSL2 (C) ;
(2) sa restriction à toute fibre de CP1 (Σg ) → T (Σg ) est une application injective
continue propre.
Considérons le diagramme suivant.
25. Une représentation de Γ dans le groupe des isométries d’un espace CAT(−1) X est élémentaire si
elle préserve un point ou une paire de points de X ∪ ∂∞ X. Notons qu’une représentation non élémentaire
est en particulier complètement réductible.
23
Le but de cette partie est d’étudier la compactification Mod(Σg )-équivariante de l’espace CP1 (Σg ) définie par l’application Mod(Σg )-équivariante continue θ3 : CP1 (Σg ) →
c(Γ, G) qui à [D, ρ] associe [ρ] ∈ X (Γ, G), qui est à valeurs dans un espace compact.
X
Elle induit une compactification de Q(X), qui est la compactification Qbhol (X) de Q(X)
c(Γ, G), à valeurs dans un espace comdéfinie par l’application continue hol : Q(X) → X
pact, qui à φ ∈ Q(X) associe la classe de la représentation d’holonomie ρφ d’une structure
projective complexe intégrant φ.
Notons Qbray (X) la compactification de Q(X) par ses rayons vectoriels, dont le bord
s’identifie avec la sphère unité Q 1 (X) de l’espace vectoriel normé Q(X), qui n’est autre
que la compactification définie par l’application continue θ : Q(X) → Q(X) définie par
φ
φ 7→ arctan kφk kφk
(qui vaut 0 en 0 et d’image la boule unité ouverte de Q(X), qui est
relativement compacte). Un problème de Gallo-Kapovich-Marden, dont nous allons donner
la réponse apportée par Dumas, est de comparer ces deux compactifications Qbhol (X) et
Qbray (X).
Ce problème est à mettre en parallèle avec le fait de comparer le bord de Teichmüller
(qui s’identifie avec Q 1 (X)) de l’espace de Teichmüller T (Σg ) pointé en un élément [X]
(paramétré aussi par Q(X)), avec son bord de Thurston PMFg , qui est l’espace quotient
de MFg par l’action de R∗+ définie par λ(F , µ) = (F , λµ) (voir [KT] et l’introduction
de [Pau5] pour un survol). Ces deux compactifications coı̈ncident sur une partie générique
(les éléments de PMFg représentés par les feuilletages mesurés uniquement ergodiques),
mais ne coı̈ncident pas partout. Il est naturel de penser qu’il pourrait en être de même
dans le cas que nous étudions.
Rappelons qu’à toute différentielle quadratique holomorphe φ ∈ Q(X) non nulle, dont
e g , est associé
nous noterons φe le relevé au revêtement universel Σ
e
e
• la distance dφe sur Σg , qui fait de (Σg , dφe) un espace métrique CAT(0) dont la
courbure strictement négative est concentrée aux zéros de φe (voir la partie 1.2) ;
fφ de φe sur Σ
e g , sa pseudo-distance transverse δ f ,
• le feuilletage horizontal F e = F
Fφ
φ
et l’arbre dual TFf obtenu en rendant séparé cette pseudo-distance (voir la partie 2) ;
φ
• la norme kφk de φ, c’est-à-dire l’aire totale de la surface plate à singularités coniques
associée à φ (voir la partie 1.2) ;
• la classe [ρφ ] de la représentation d’holonomie ρφ : Γ → PSL2 (C) d’une structure
projective complexe intégrant φ (voir la partie 1.3), dont le facteur de dilatation est λρφ =
inf x∈H3 maxs∈S d(x, ρφ (s)x) (voir la partie 4).
R
e − φe−1 (0) → H3 l’application d’Epstein-Schwarz-Dumas de φ, qui est Γ• Θφ : X
R
e par automorphismes de revêtement et sur H3
équivariante pour les actions de Γ sur X
R
par ρφ (voir la partie 5).
Le cœur de l’article de Dumas [Dum2] est le résultat suivant. Sa démonstration repose sur un calcul de la première et la seconde forme fondamentale de l’application de
Epstein-Schwarz-Dumas, pour laquelle nous renvoyons à [Dum2]. Pour tout > 0 et tout
e pour la distance d e. Une
φ ∈ Q(X), notons N (Z) le -voisinage d’une partie Z de X
φ
e Remarquons
géodésique pour d e est non singulière si elle ne passe pas par un zéro de φ.
φ
que si une géodésique c pour dφe est horizontale, alors sa mesure transverse totale |c|Fφ
pour le feuilletage horizontal est nulle.
24
Théorème 6.2 (Dumas) Soient X une structure de surface de Riemann sur Σg .
e − N5 (φe−1 (0)), d e) → (H3 , d 3 ) est
(i) Pour tout φ ∈ Q(X), l’application Θφ : (X
R HR
φ
2-lipschitzienne.
(ii) Pour tout > 0, il existe A > 0 tel que pour tout φ ∈ Q(X), pour tout segment
e pour d e, si
géodésique c non singulier entre deux points x et y de X
φ
q
dφe(c, φe−1 (0)) ≥ A 1 + dφe(x, y) ,
alors
(1 − ) |c|Fφ − ≤ dH3 (Θφ (x), Θφ (y)) ≤ (1 + ) |c|Fφ + . R
Le résultat suivant s’obtient alors assez facilement.
Corollaire 6.3 (Dumas) Soit (φi )i∈N une suite dans Q(X) telle que kφi k → +∞ et
φi
e
kφi k → φ ∈ Q(X). Soit x0 ∈ X un point d’un axe de translation non singulier d’un
élément γ0 ∈ Γ pour la distance dφe.
(1) Il existe p
κ > 0 tel que pour tout i ∈ N, nous avons
1
a) κ λρφi ≤ kφi k ≤ κ λρφi ,
p
b) il existe (au moins) un point ∗i ∈ H3R tel que d(∗i , Θφi (x0 )) ≤ κ kφi k, qui atteint
la borne inférieure définissant λρφi .
(2) Pour tout segment géodésique non singulier c pour dφe, pour tout > 0, pour
tout i assez grand, l’application Θφi : (c, δFf ) → (H3R , √ 1 dH3 ) est une (1 + , )-quasiφ
kφi k
R
géodésique.
Γ
(3) Soit
T ∈ A (Γ) tel que θ2 (T ) soit une valeur d’adhérence dans P de la suite
θ1 ([ρφi ]) i∈N . Alors à homothétie de T près, il existe un morphisme d’arbres réels Γéquivariant de l’arbre dual TFf dans T .
φ
Si les zéros de φ sont simples (ce qui est le cas générique), alors ce morphisme d’arbres
réels est une isométrie, car il est injectif sur les images des géodésiques non singulières
non horizontales par (2), et ne peut pas plier aux singularités, car deux points près d’un
zéro simple peuvent être poussés le long de feuilles
pour être joint par une géodésique non
singulière verticale. Ainsi, la suite θ1 ([ρφi ]) i∈N converge vers la classe d’homothétie de
la fonction distance de translation de l’arbre dual de φ.
Démonstration. Les assertions (1) et (2) se déduisent assez facilement du théorème 6.2,
voir [Dum2]. Par exemple, (2) découle de (ii) appliqué à φi en multipliant les inégalités
par √ 1 . Nous ne montrons que la troisième.
kφi k
Soit ω un ultrafiltre non principal sur N tel que limω θ1 ([ρφi ]) = θ2 (T ), qui existe par
la proposition 3.1 (1). Considérons le cône asymptotique
1
(Xω , dω , ∗ω , ρω ) = lim (Xi = H3R , di = p
dH3 , Θφi (x0 ), ρφi )
ω
kφi k R
p
pour la suite de scalaires ( kφi k )i∈N tendant vers +∞ et la suite de points d’observation
(Θφi (x0 ))i∈N (qui sont envoyés à distance uniformément bornée par tout élément de Γ pour
la distance renormalisée, d’après l’inégalité (- 3 -) et l’assertion (1)). Par la proposition 3.2
(4), l’espace métrique (Xω , dω ) est un arbre réel, et l’action ρω n’a pas de point fixe global,
25
comme dans la démonstration du théorème 4.2, car la suite (∗i )i∈N défini un point ∗ω dans
Xω par l’assertion (1) b).
e − φe−1 (0) → Xi
Par le théorème 6.2 (1), la suite d’applications Θφ : X
converge
i
i
i∈N
e − φe−1 (0) → Xω . Celle-ci est constante
vers une application continue Γ-équivariante Θω : X
fφ et isométrique sur tout arc transverse (muni de la pseudo-distance
sur les feuilles de F
transverse) par la proposition 3.2 (2) et le théorème 6.2 (2). Par la proposition 2.1 (4), elle
induit donc par passage au quotient un morphisme d’arbres réels Γ-équivariant f : TFf →
φ
Xω .
Si Xω n’a pas de point fixe global l’infini, alors T est, à homothétie près, le sous-arbre
minimal de Xω , et par minimalité (au sens des arbres) de TFf , l’image de f est contenue
φ
dans TFf . Sinon, à homothétie près, nous avons T = R par complète réductibilité, et
φ
il existe un morphisme d’arbres réels Γ-équivariant de Xω dans T = R (rétraction de
l’immeuble qu’est le sous-arbre minimal de Xω sur un de ses appartements passant par un
point à l’infini fixe), comme vu dans la démonstration du théorème 4.2. Le résultat s’en
déduit par composition de morphismes.
Références
[Abi]
W. Abikoff. Real analytic theory of Teichmüller space. Lect. Notes in Math. 820,
Springer Verlag, 1980.
[BR]
M. Baker and R. Rumely. Potential theory and dynamics on the Berkovich projective line. Math. Surv. Mono. 159, Amer. Math. Soc. 2010.
[Ber]
V. G. Berkovich. Spectral theory and analytic geometry over non-Archimedean
fields. Math. Surv. Mono. 33, Amer. Math. Soc. 1990.
[Bes1]
M. Bestvina. Degenerations of the hyperbolic space. Duke Math. J. 56 (1988)
143–161.
[Bes2]
M. Bestvina. R-trees in topology, geometry, and group theory. Handbook of
Geometric Topology, 55–91, North-Holland, 2002.
[BM]
A. Blokh and M. Misiurewicz. Wild attractors of polymodal negative schwarzian
maps. Commun. Math. Phys. 199 (1998) 397–416.
[BGR]
S. Bosch, U. Güntzer, and R. Remmert. Non-archimedean analysis. A systematic
approach to rigid analytic geometry. Grund. Math. Wiss. 261, Springer-Verlag,
Berlin, 1984.
[Bourb] N. Bourbaki. Topologie générale. chap. 1 à 4, Hermann, 1971.
[Bourd] M. Bourdon. Immeubles hyperboliques, dimension conforme et rigidité de Mostow.
Geom. Func. anal. 7 (1997) 245–268.
[Bre]
R. Bremigan. Quotients for algebraic group actions over non-algebraically closed
fields. J. reine angew. Math. 453 (1994) 21–47.
[BH]
M. R. Bridson and A. Haefliger. Metric spaces of non-positive curvature. Grund.
math. Wiss. 319, Springer Verlag, 1999.
[BT1]
F. Bruhat and J. Tits. Groupes réductifs sur un corps local, I : Données radicielles
valuées. Pub. Math. I.H.É.S. 41 (1972) 5–251.
26
[BT2]
F. Bruhat and J. Tits. Schémas en groupes et immeubles des groupes classiques
sur un corps local. Bull. Soc. Math. France 112 (1984) 259–301.
[Chi]
I. Chiswell. Introduction to Λ-trees. World Scientific, 2001.
[CHL]
T. Coulbois, A. Hilion, and M. Lustig. Non-unique ergodicity, observers’ topology
and the dual lamination for R-trees. Illinois J. Math. 51 (2007) 897–911.
[CM]
M. Culler and J. Morgan. Groups actions on R-trees. Proc. Lond. Math. Soc 55
(1987) 571–604.
[dMvS] W. de Melo and S. van Strien. One dimensional dynamics. Erg. Math. Grenz.
25, Springer Verlag, 1993.
[DW]
L. van den Dries and A. Wilkie. On Gromov’s theorem concerning groups of
polynomial growth and elementary logic. J. Algebra 89 (1984) 349–374.
[Dum1] D. Dumas. Complex projective structures. In “Handbook of Teichmüller Theory
Vol. II”, A. Papadopoulos ed., pp. 455–508, Euro. Math. Soc. 2009.
[Dum2] D. Dumas. Holonomy limits of complex projective structures. Prépublication
arXiv:1105.5102.
[DP]
A. Dyubina and I. Polterovich. Structures at infinity of hyperbolic spaces. Uspekhi
Mat. Nauk 53 (1998), no. 5 (323), 239–240.
[Eps]
C. L. Epstein. Envelopes of horospheres and Weingarten surfaces in hyperbolic 3space. http ://www.math.upenn.edu/∼cle/papers/WeingartenSurfaces.pdf, non
publié.
[FJ]
C. Favre and M. Jonsson. The valuative tree. Lect. Notes Math. 1853, Springer
Verlag, 2004.
[FLP]
A. Fathi, F. Laudenbach, and V. Poenaru. Travaux de Thurston sur les surfaces.
Astérisque 66-67, Soc. Math. France 1979.
[GP]
D. Gaboriau and F. Paulin. Sur les immeubles hyperboliques. Geom. Dedicata
88 (2001) 153–197.
[GKM] D. Gallo, M. Kapovich, and A. Marden. The monodromy groups of Schwarzian
equations on closed Riemann surfaces. Ann. of Math. 151 (2000) 625–704.
[Gar]
F. Gardiner. Teichmüller theory and quadratic differentials. Wiley, 1987.
[GS]
H. Gillet and P. Shalen. Dendrology of groups in low Q-ranks. J. Diff. Geom. 32
(1990), 605–712.
[GI]
O. Goldman and N. Iwahori. The space of p-adic norms. Acta Math. 109 (1963)
137–177.
[GL]
S. Gouëzel and E. Lanneau. Un théorème de Kerckhoff, Masur et Smillie : unique
ergodicité sur les surfaces plates. Sémi. Congrès 20, pp. 113–145, Soc. Math.
France, 2010.
[Gro1]
M. Gromov. Groups of polynomial growth and expanding maps. Pub. Math.
I.H.É.S. 53 (1981) 53–78.
[Gro2]
M. Gromov. Asymptotic invariants of infinite groups. “Geometric group theory”
Vol. 2, (Sussex, 1991) A. Niblo, M. Roller eds, LMS LNS 182, Cambridge Univ.
Press, 1993.
27
[Hej]
D. Hejhal. Monodromy groups and Poincaré series. Bull. Amer. Math. Soc. 84
(1978) 339–376.
[HP]
F. Haglund and F. Paulin. Simplicité de groupes d’automorphismes d’espaces
à courbure négative. Geometry and Topology Monographs Vol 1 : The Epstein
Birthday Schrift, I. Rivin, C. Rourke, C. Series eds, (1998) 181–248, International
Press.
[Hub]
J. H. Hubbard. Teichmüller theory and applications to geometry, topology, and
dynamics. Vol. I : Teichmüller theory. Matrix Editions, 2006.
[KT]
S. Kerckhoff and W. Thurston. Non continuity of the action of the modular group
at Bers’ boundary of Teichmüller space. Inv. Math. 100 (1990) 25–47.
[KL]
B. Kleiner and B. Leeb. Rigidity of quasi-isometries for symmetric spaces and
Euclidean buildings. Pub. Math. IHES 86 (1997) 115–197.
[KS]
O. Kozlovski and D. Sands. Higher order Schwarzian derivatives in interval
dynamics. Fund. Math. 206 (2009) 217–239.
[Leh]
O. Lehto. Univalent functions, Schwarzian derivatives and quasiconformal mappings. Enseign. Math. 24 (1978) 203–214.
[LP]
G. Levitt and F. Paulin. Geometric group actions on trees. Amer. Jour. Math.
119 (1997) 83–102.
[Lun]
D. Luna. Sur certaines opérations différentiables des groupes de Lie. Amer. J.
Math. 97 (1975) 172–181.
[Mas]
H. Masur. Ergodic theory of translation surfaces. In Handbook of dynamical
systems, Vol. 1B, B. Hasselblatt, A. Katok eds, Elsevier, 2005.
[MNO] J. Mayer, J. Nikiel, and L. Oversteegen. Universal spaces for R-trees. Trans.
Amer. Math. Soc. 334 (1992) 411–432.
[Mor]
J. Morgan. Λ-trees and their applications. Bull. A.M.S. 26 (1992) 87–112.
[MO]
J. Morgan and J.-P. Otal. Relative growth rate of closed geodesics on a surface
under varying hyperbolic structures. Comm. Math. Helv. 68 (1993), 171–208.
[MS1]
J. Morgan and P. Shalen. Valuations, trees and degeneration of hyperbolic structures I. Ann. of Math. 122 (1985) 398–476.
[MS2]
J. Morgan and P. Shalen. Valuations, trees and degeneration of hyperbolic structures II, III. Ann. of Math. 127 (1988) 403–519.
[Nag]
S. Nag. The complex analytic theory of Teichmüller spaces. Wiley, 1988.
[OT1]
V. Ovsienko and S. Tabachnikov. Projective differential geometry old and new.
From the Schwarzian derivative to the cohomology of diffeomorphism groups.
Camb. Tracts Math. 165 Cambridge Univ. Press, 2005.
[OT2]
V. Ovsienko and S. Tabachnikov. What is . . . the Schwarzian derivative ? Notices
Amer. Math. Soc. 56 (2009) 34–36.
[Par1]
A. Parreau. Immeubles affines : construction par les normes et étude des
isométries. In “Crystallographic groups and their generalizations” (Kortrijk,
1999). Contemp. Math. 262 pp. 263–302, Amer. Math. Soc. 2000.
[Par2]
A. Parreau. Espaces de représentations complètement réductibles. J. London
Math. Soc. 83 (2011) 545–562.
28
[Par3]
A. Parreau. Compactification d’espaces de représentations de groupes de type fini.
Math. Z. (Online First 14 Sept 2011).
[Pau1]
F. Paulin. Topologie de Gromov équivariante, structures hyperboliques et arbres
réels. Invent. Math. 94 (1988) 53–80.
[Pau2]
F. Paulin. The Gromov topology on R-trees. Topology Appl. 32 (1989) 197–221.
[Pau3]
F. Paulin. Action de groupes sur les arbres. Séminaire Bourbaki, Vol. 1995-96,
exposé 808, Astérisque 241, Soc. Math. France 1997.
[Pau4]
F. Paulin. Dégénérescence de sous-groupes discrets de groupes de Lie semisimples. Comp. Rend. Acad. Scien. Paris. 324 (1997) 1217–1220.
[Pau5]
F. Paulin. Sur la compactification de Thurston de l’espace de Teichmüller.
dans ”Géométries à courbure négative ou nulle, groupes discrets et rigidités”,
L. Bessières, A. Parreau, B. Remy eds (Actes de l’école d’été de l’Institut Fourier,
Grenoble, 2004), Sémi. Congrès 18, 421-443, Soc. Math. France, 2009.
[PV]
V. L. Popov and E.B Vinberg. Invariant theory. In ”Algebraic geometry IV”,
A. Parshin, I. Shavarevich eds., Encyc. math. Scien. 55, Springer Verlag, 1994.
[RS]
R. W. Richardson and P. J. Slodowy. Minimum vectors for real reductive algebraic
groups. J. London Math. Soc. 42 (1990) 409–429.
[Sai]
H. P. de Saint-Gervais. Uniformisation des surfaces de Riemann. ENS Éditions,
Lyon, 2010.
[Ser]
J.-P. Serre. Complète réductibilité. Séminaire Bourbaki 2003–2004, Exp. 932,
pp. 195–217, Astérisque 299, Soc. Math. France, 2005.
[Sha1]
P. Shalen. Dendrology of groups : an introduction. In ”Essays in group theory”,
pp. 265–319, Math. Sci. Res. Inst. Publ. 8, Springer Verlag, 1987.
[Sha2]
P. Shalen. Dendrology and its applications. In ”Group theory from a geometrical
viewpoint” (Trieste, 1990), pp. 543–616, World Sci. Publ. 1991.
[Sko]
R. Skora. Splittings of surfaces. J. Amer. Math. Soc. 9 (1996) 605–616.
[Thu]
W. Thurston. Three-dimensional geometry and topology. Princeton Math. Ser.
35, Princeton Univ. Press, 1997.
[Tit]
J. Tits. A “theorem of Lie-Kolchin” for trees. In “Contributions to Algebra : a
collection of papers dedicated to Ellis Kolchin”, pp. 377–388, H. Bass et al eds,
Academic Press 1977.
[Zor]
A. Zorich. Flat surfaces. In “Frontiers in Number Theory, Physics and Geometry.
Vol. 1 : On random matrices, zeta functions and dynamical systems”, P. Cartier,
B. Julia, P. Moussa, P. Vanhove eds, pp. 439–586, Springer-Verlag, 2006.
Département de mathématique, UMR 8628 CNRS
Bât. 425, Université Paris-Sud
91405 ORSAY Cedex, FRANCE
e-mail : [email protected]
29

Dégénérescences de structures projectives complexes sur les

Documents connexes

Produits

Soutien

Dégénérescences de structures projectives complexes sur les

Documents connexes

Ajouter ce document à la (aux) collections

Ajouter ce document à enregistré

Suggérez-nous comment améliorer StudyLib