1 Produit scalaire hermitien

Espaces préhilbertiens complexes.
Espaces hermitiens.
— PSI — Paul Valéry —
Dans tout ce chapître on travaille avec des espaces vectoriels complexes. | z | représente le module du
complexe z et z son conjugué z.
On va chercher à étendre les propriétés vues dans le chapître des espaces euclidiens.
On reprend exactement le même plan.
1
Produit scalaire hermitien
Soit E un espace vectoriel complexe.
1.1
Formes sesquilinéaires hermitiennes associées
Définition 1
Soit ϕ une application de E × E dans C.
On dit que ϕ est une forme sesquilinéaire sur E si et seulement si
ϕ est linéaire par rapport à la deuxième variable et sesquilinéaire par rapport à la première,
cad pour tout (x, y) ∈ E 2 :
• y 7→ ϕ(x, y) est linéaire
• x 7→ ϕ(x, y) vérifie :
∀(λ1 , λ2 ) ∈ C2 ∀(x1 , x2 ) ∈ E 2 ϕ(λ1 x1 + λ2 x2 , y) = λ1 ϕ(x1 , y) + λ2 ϕ(x2 , y) .
Définition 2
Une forme sesquilinéaire ϕ est dite hermitienne ssi ∀(x, y) ∈ E 2 ϕ(x, y) = ϕ(y, x).
Remarque pour une forme sesquilinéaire hermitienne ϕ sur E, ∀x ∈ E ϕ(x, x) ∈ R.
Proposition 1
L’ensemble des formes sesquilinéaires hermitiennes sur E est un espace vectoriel complexe.
Identités de polarisation
Soit ϕ une forme sesquilinéaire hermitienne. Soit (x, y) ∈ E 2 .
• ϕ(x + y, x + y) = ϕ(x, x) + ϕ(y, y) + 2 Re(ϕ(x, y))
• ϕ(x + iy, x + iy) = ϕ(x, x) + ϕ(y, y) − 2 Im(ϕ(x, y))
• ϕ(x, y) = 41 [ϕ(x + y, x + y) − ϕ(x − y, x − y)] − 4i [ϕ(x + iy, x + iy) − ϕ(x − iy, x − iy)]
• Re(ϕ(x, y)) = 14 [ϕ(x + y, x + y) − ϕ(x − y, x − y)]
• Im(ϕ(x, y)) = − 41 [ϕ(x + iy, x + iy) − ϕ(x − iy, x − iy)]
1.2
Produit scalaire hermitien
Définition 3
On appelle produit scalaire hermitien sur E toute forme sesquilinéaire hermitienne définie positive
cad toute application ϕ de E 2 dans C telle que :
1. ϕ est une forme sesquilinéaire hermitienne
2.∀x ∈ E ϕ(x, x) > 0
3. ∀x ∈ E ϕ(x, x) = 0 =⇒ x = ~0
Définition 4
Un C-espace vectoriel muni d’un produit scalaire est appelé espace préhilbertien complexe.
Si, de plus, il est de dimension finie, on dira que c’est un espace hermitien.
Caractérisation d’un produit scalaire hermitien
Pour prouver que ϕ : E 2 → C définit un produit scalaire hermitien sur E, il suffit de prouver que :
1. Pour tout vecteur x, y 7→ ϕ(x, y) est linéaire
2. ∀(x, y) ∈ E 2 ϕ(x, y) = ϕ(y, x)
3. ∀x ∈ E ϕ(x, x) > 0
4. ∀x ∈ E ϕ(x, x) = 0 =⇒ x = ~0
Notations usuelles : B(x, y), (x/y), < x, y >, x · y
Remarque importante : si un vecteur x de E vérifie ∀y ∈ E (x/y) = 0, alors x = ~0
1/6
— PSI — Paul Valéry —
1.3
Exemples et contre-exemples
1. E = Cn
x·y =
n
P
x̄i yi = t XY .
i=1
Z
2. E = Cm ([a, b], C)
b
(f /g) =
f (t)g(t) dt.
a
3. E = C2π
(f /g) = 1
2π
Z
2π
f (t)g(t) dt
0
Z
4. E = {f : I → C continue et de carré intégrable sur I} (f /g) = f (t)g(t) dt.
I

n
P
P
P

 (P/Q) =
pi qi si P =
pi X i et Q =
qi X i

i=0
06i6n
06i6n
Z 1
5. E = Cn [X]


 B(P, Q) =
P (t)Q(t) dt
0
6. E = Mn (C)
1.4
(A/B) = tr(t ĀB)
Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski
Proposition 2 Inégalité de Cauchy-Schwarz
Soit E un espace préhilbertien complexe
p muni d’un produit scalaire noté (./.).
∀(x, y) ∈ E 2 | (x/y) |6 (x/x) (y/y)
On a égalité si et seulement si x et y sont colinéaires.
Démonstration :
démonstration spécifique au cas complexe.
Proposition 3 Inégalité de Minkowski
Soit E un espace préhilbertien
p complexe muni
pd’un produit
p scalaire noté (./.).
∀(x, y) ∈ E 2
(x + y/x + y) 6 (x/x) + (y/y)
On a égalité si et seulement si ∃λ ∈ R+ x = λy ou y = λx.
Démonstration :
démonstration presque semblable au cas réel.
1.5
Norme hermitienne
Définition 5
p
Soit E un espace préhilbertien complexe. On pose k x k= (x/x).
On définit ainsi une norme sur E dite norme hermitienne.
Relations entre norme et produit scalaire : identités de polarisation.
Soit E un espace préhilbertien complexe. Soit (x, y) ∈ E 2 .
• k x + y k2 =k x k2 + k y k2 +2 Re((x/y))
• k x + iy k2 =k x k2 + k y k2 −2 Im((x/y))
• (x/y) = 41 [k x + y k2 − k x − y k2 ] − 4i [k x + iy k2 − k x − iy k2 ]
• k x + y k2 + k x − y k2 = 2(k x k2 + k y k2 )
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Espaces hermitiens.
1.6
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Orthogonalité
Soit E un espace préhilbertien complexe muni d’une forme hermitienne notée (./.).
Les définitions et propriétés sont identiques au cas réel ; seules différent les démonstations (en particulier,
celle du théorème de Pythagore qui fait intervenir les parties réelles des produits scalaires hermitiens).
Définitions :
. vecteurs orthogonaux
Définition 6
Deux vecteurs x et y de E sont dits orthogonaux si et seulement si (x/y) = 0.
. orthogonal d’une partie
Définition 7
Soit A une partie de E.On appelle orthogonal de A noté A⊥ l’ensemble des vecteurs x de E tels que
∀a ∈ A (x/a) = 0.
Proposition 4
Pour toutes parties A et B : A ⊂ B =⇒ B ⊥ ⊂ A⊥ et A⊥ = (V ectA)⊥
Démonstration :
démonstration semblable au cas réel.
Proposition 5
Pour toute partie A de E, A⊥ est un sous-espace vectoriel de E.
Démonstration :
démonstration semblable au cas réel.
Proposition 6
Pour tout sous-espace vectoriel F , F ⊂ (F ⊥ )⊥ , F ∩ F ⊥ = {~0} et E ⊥ = {~0}.
Démonstration :
démonstration semblable au cas réel.
. Famille orthogonale, famille orthonormale, vecteurs unitaires
Définition 8
Une famille de vecteurs de E (ei )i∈I est dite orthogonale si et seulement
les vecteurs de cette famille sont 2 à 2 orthogonaux.
De plus, si les vecteurs sont unitaires, on dira que la famille est orthonormale,
cad ∀(i, , j) ∈ I 2 (ei /ej ) = δij .
Proposition 7
Toute famille orthogonale finie de vecteurs non nuls est libre.
Démonstration :
démonstration semblable au cas réel.
Proposition 8
Pour toute famille (xi )16i6p orthogonale finie de vecteurs de E
k
p
P
i=1
xi k2 =
p
P
k xi k2 .
i=1
Démonstration :
Pour n = 2, soient x1 et x2 deux vecteurs orthogonaux ; k x1 + x2 k2 =k x1 k2 + k x2 k2 +2 Re(x1/x2) =k x1 k2 + k x2 k2 .
Supposons la relation vraie au rang n et montrons qu’elle reste vraie au rang n + 1. Soient (xi )16i6n+1 une famille orthogonale
finie de vecteurs de E.
n+1
n+1
n
n
n
n
P
P
P
P
P
P
k xi k2 + k xn+1 k2 =
k xi k 2 .
On a alors k
xi k2 =k
xi + xn+1 k2 =k
xi k2 + k xn+1 k2 +2
Re(xi /xn+1 ) =
i=1
i=1
On conclut grâce au principe de récurrence.
i=1
i=1
La réciproque est fausse y compris pour n = 2.
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i=1
i=1
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. Sous-espaces vectoriels orthogonaux, sous-espaces vectoriels supplémentaires orthogonaux.
Définition 9
Deux sous-espaces vectoriels de E sont dits orthogonaux lorsque tout vecteur de l’un
est orthogonal à tout vecteur de l’autre.
Proposition 9
Des sous-espaces vectoriels 2 à 2 orthogonaux sont en somme directe.
Démonstration :
démonstration semblable au cas réel.
En dimension finie caractérisation de F ⊥ à l’aide d’une base (ei )16i6q de F :
x ∈ F ⊥ ⇐⇒ ∀i ∈ [[1, q]](ei /x) = 0.
1.7
Projections et symétries orthogonales
Définition 10
Soit F un sous-espace vectoriel de E qui admette un sous-espace vectoriel H supplémentaire et orthogonal
⊥
(F ⊕H = E).
La projection sur F parallèlement à H est appellée projection orthogonale sur F .
Proposition 10
Soit p ∈ L (E). p est un projecteur orthogonal ⇐⇒ p ◦ p = p et Ker p ⊥ Im p.
Démonstration :
démonstration semblable au cas réel.
2
Espace hermitien
Sauf mention explicite du contraire, dans ce paragraphe E est un espace hermitien. On notera n = dim E.
Remarquons que tout sous-espace vectoriel de E reste un espace vectoriel hermitien.
2.1
Bases orthonormales
. Définition d’une base orthogonale, orthonormale.
Définition 11
On appelle base orthogonale de E toute base de E formée d’une famille de vecteurs 2 à 2 orthogonaux.
On appelle base orthonormale de E toute base de E formée de vecteurs unitaires 2 à 2 orthogonaux.
. Existence de bon
Proposition 11
Tout espace hermitien non réduit à {~0} admet au moins une base orthonormale
Démonstration :
La démonstration est semblable au cas réel en considérant la forme linéaire ϕ : u 7→ (e1 /u).
. Ecriture dans une bon.
Soit (e1 , . . . , en ) une base orthonormée de E. Soient x et y des vecteurs de E.
n
n
n
P
P
P
x=
(ei /x) ei , (x/y) =
(ei /x)(ei /y) = t XY
et k x k2 =
| (ei /x) |2 = t XX .
i=1
i=1
i=1
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Espaces préhilbertiens complexes.
Espaces hermitiens.
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. Proposition 12
∀f ∈ E ∗ ∃!a ∈ E / ∀x ∈ E f (x) = (a/x)
Démonstration :
n
P
Soit f ∈ E ∗ . Choisissons une base orthonormale de E (ei )16i6n . Pour tout vecteur x =
xi ei de E, on a f (x) =
i=1
n
P
xi f (ei ), ce
i=1
qui s’écrit de manière unique sous la forme f (x) = (a/x) où a est un vecteur de E défini par a =
n
P
f (ei )ei .
i=1
Remarquons que cette démonstration s’adapte très bien au cas réel aussi.
. Proposition 13
Soit E un espace préhilbertien complexe de dimension quelconque.
Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie.
Alors F et F ⊥ sont supplémentaires orthogonaux dans E
Démonstration : démonstration similaire en prenant garde à l’ordre des composantes des produits scalaires.
. Si F = {~0}, F ⊥ = E et la propriété est vérifée.
p
P
. Sinon, choisissons (e1 , · · · , ep ) une base orthonormale de F . Soit x ∈ E.Posons y =
(ei /x)ei et z = x − y.
i=1
y ∈ F et ∀i0 ∈ [[1, p]]
(z/ei0 ) = (x/ei0 ) − (y/ei0 ) = (x/ei0 ) − (ei0 /x) = 0, donc z ∈ F ⊥ .
On vient de prouver que tout vecteur de E s’écrit sous la forme de la somme d’un vecteur de F et d’un vecteur de F ⊥ .
Comme F ∩ F ⊥ = {~0}, ces deux espaces sont donc supplémentaires.
Conséquences :
⊥
1. Dans un espace hermitien, on a E = F ⊕F ⊥ pour tout sous-espace vectoriel F .
En particulier, dim E = dim F + dim F ⊥ .
2. Toute famille orthonormale d’un espace hermitien se complète en une base orthonormale.
3. Dans un espace hermitien, pour tout sous-espace vectoriel F , F = (F ⊥ )⊥ .
. Proposition 14
Si H est un hyperplan d’équation
n
P
ai xi = 0, a =
i=1
2.2
n
P
ai ei est un vecteur normal à H
i=1
Projections orthogonales sur un sous-espace vectoriel de dimension finie
Soit E un espace préhilbertien complexe de dimension quelconque.
Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie.
On note pF la projection orthogonale sur F .
. Proposition 15
p
P
Soit (e1 , . . . , ep ) une bon de F . ∀x ∈ E pF (x) =
(ej /x)ej .
i=1
. Proposition 16
k x − pF (x) k représente la distance de x à F , cad
k x − pF (x) k= inf k x − y k.
y∈F
pF (x) est l’unique vecteur de F réalisant ce minimum.
∀x ∈ E k x k2 =k x − pF (x) k2 + k pF (x) k2
. Proposition 17 Inégalité de Bessel
Soit (e1 , . . . , ep ) une famille orthonormale de E.
∀x ∈ E
p
P
| (ei /x) |2 6k x k2
i=1
Expressions de pF (x) lorsque F est une droite, un hyperplan.
~u
k ~u k2
◦ Si H est un hyperplan de E de vecteur normal ~n, alors ∀x ∈ E pH (x) = x − (~n/x) ~n 2
k ~n k
◦ Si D est une droite de E dirigée par le vecteur ~u, alors ∀x ∈ E pD (x) = (~u/x)
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Application Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
Soit (ui )16i6q une famille libre de vecteurs de E. Il existe une famille orthogonale de vecteurs de E 2 à
2 orthogonaux non nuls (ei )16i6q telle que ∀j ∈ [[1, q]] V ect(u1 , . . . , uj ) = V ect(e1 , . . . , ej ).
Démonstration : même démonstration de l’existence que celle faite dans le cas euclidien en faisant attention aux conjugués
. Comme V ect(u1 ) = V ect(e1 ), choisissons e1 = u1 .
. Soit p ∈ N∗ .Supposons construits les vecteurs e1 , · · · , ep vérifiant les conditions demandées.
p
P
Comme ep+1 ∈ V ect(e1 , . . . , ep+1 ) = V ect(e1 , . . . , ep , up+1 ), posons ep+1 = up+1 +
λi ei , λi ∈ C.
i=1
Pour j ∈ [[1, p]], (ep+1 /ej ) = (up+1 /ej ) +
p
P
λi (ei /ej ) = (up+1 /ej ) + λj (ej /ej ). Donc ep+1 ⊥ej ⇐⇒ λj = −
i=1
On prend alors ep+1 = up+1 −
p
P
(up+1 /ej )
i=1
(up+1 /ej )
.
(ej /ej )
p
P
ej
ej
= up+1 −
= up+1 − PFp (up+1 ) où Fp est l’esapce vectoriel
(ej /up+1 )
2
k ej k
k ej k2
i=1
engendré par (uj )16j6p .
ep+1 est non nul car sinon up+1 ∈ V ect(e1 , . . . , ej ) = V ect(u1 , . . . , uj ), ce qui contredit le caractère libre de la famille des (ui ).
On construit ainsi par récurrence les vecteurs (ei )16i6q demandés.
Pour obtenir une famille orthonormale, il suffit de normaliser chacun des vecteurs.
2.3
Symétries orthogonales
Définition d’une symétrie orthogonale, d’une réflexion comme dans le cas réel.
Expressions de sF (x) lorsque F est une droite, un hyperplan.
~u − x
k ~u k2
◦ Si H est un hyperplan de E de vecteur normal ~n, alors ∀x ∈ E sH (x) = x − 2(~n/x) ~n 2
k ~n k
◦ Si D est une droite de E dirigée par le vecteur ~u, alors ∀x ∈ E sD (x) = 2(~u/x)
Table des matières
1 Produit scalaire hermitien
1.1 Formes sesquilinéaires hermitiennes associées .
1.2 Produit scalaire hermitien . . . . . . . . . . . .
1.3 Exemples et contre-exemples . . . . . . . . . .
1.4 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski .
1.5 Norme hermitienne . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Projections et symétries orthogonales . . . . . .
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1
1
1
2
2
2
3
4
2 Espace hermitien
2.1 Bases orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Projections orthogonales sur un sous-espace vectoriel de dimension finie . . . . . . . . . . . .
2.3 Symétries orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
6
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