FICHE N 19 CPUS 2013-2014 ESPACES HERMITIENS EXERCICE

FICHE N◦ 19
CPUS 2013-2014
ESPACES HERMITIENS
EXERCICE 1.
Z
1
On définit ψ sur Cn [X] × Cn [X] par ψ(P, Q) =
P (x)Q(−x) dx. Vérifier que ψ est une forme sesquilinéaire
−1
hermitienne. Est-elle positive ? définie positive ?
EXERCICE 2.
Z
Soit ψ : Cn [X] × Cn [X] → C définie par ψ(P, Q) =
1
P (t)Q(t) dt On a déjà vu (Ex5 Feuille 18) que ψ est une forme
0
sesquilinéaire hermitienne. Notons alors q sa forme quadratique hermitienne associée.
1) Montrer que q est définie positive et donc que (E, ψ) est un espace hermitien.
2) Soit P (X) = 1 le polynôme constant sur Cn [X]. Dans le cas où n = 2, déterminer l’orthogonal de {P }.
EXERCICE 3.
Soit E = C3 muni du produit scalaire hermitien usuel. Soit F le sous-espace vectoriel de E défini par
F = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ C3 | x1 − x2 + ix3 = 0}.
1) Déterminer l’orthogonal de F .
2) Déterminer la matrice de la projection orthogonale sur F .
3) Trouver une base orthonormale de F .
EXERCICE 4.
Soit E un espace hermitien. On suppose que l’endomorphisme f est tel que pour tout x ∈ E, on ait (f (x) | x) = 0.
1) Montrer que pour tout x, y ∈ E, on a (f (x) | y) = 0.
2) En déduire que f est l’endomorphisme nul.
3) Peut-on démontrer le même résultat dans le cas euclidien ?
EXERCICE 5.
Z
Soit ψ : Cn [X] × Cn [X] définie par ψ(P, Q) =
π
P (eiθ )Q(eiθ ) dθ.
−π
1) Montrer que ψ est un produit scalaire hermitien sur Cn [X].
2) Montrer que la famille (X k )06k6n est une base orthonormée de Cn [X].
3) Posons Q = X n + an−1 X n−1 + . . . + a0 . Calculer kQk2 .
4) Posons M = sup|z|=1 |Q(z)|. Montrer que M > 1, et étudier le cas d’égalité.
1
FICHE N◦ 19 - SUITE
CPUS 2013-2014
ESPACES HERMITIENS
EXERCICE 6.




1 i 0
4 i −i
Diagonaliser les matrices suivantes dans des bases orthonormées : A =  −i 0 1  et B =  −i 4 1 .
0 1 1
i 1 4
EXERCICE 7.
On munit C2 [X] du produit scalaire hermitien tel que la base canonique B = (1, X, X 2 ) soit orthonormale.
1) Si P = a0 + a1 X + a2 X 2 et Q = b0 + b1 X + b2 X 2 , calculer (P | Q).
On considère l’endomorphisme D de C2 [X] défini par ∀P ∈ C2 [X], D(P ) = iP 0 + P .
2) Ecrire la matrice de D dans la base B.
3) Déterminer l’adjoint de D.
EXERCICE 8.
Soit M ∈ Mn (C). Montrer qu’il existe un unique couple de matrices hermitiennes (H, K) telles que M = H + iK.
EXERCICE 9.
Soit E un espace hermitien et u ∈ L(E). Montrer que u est autoadjoint si et seulement si ∀x ∈ E, (u(x) | x) ∈ R.
EXERCICE 10.
Soit E un espace hermitien, et u un morphisme unitaire de E
1) Si λ est une valeur propre de u, montrer que |λ| = 1.
2) Montrer que u admet un vecteur propre.
3) Montrer que si F est un sous-espace vectoriel de E stable par u, alors F ⊥ est stable par u.
4) Montrer, par récurrence sur la dimension de E, que tout morphisme unitaire de E est diagonalisable dans une base
orthonormée.
5) Donner un exemple d’isométrie de R2 qui ne soit pas diagonalisable.
2