CCP 2010

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Enoncés
CCP 2010
1
c) En déduire qu’il existe c ∈ [a, b] tel que
Z
Exercice 1 CCP MP [ 03160 ] [correction]
I) Résolvez sur ]1, +∞[ l’équation différentielle
y0 +
b
Z
f (t)g(t) dt = f (a)
a
x
y = 2x
1 − x2
c
g(t) dt
a
d) Application : déterminer
II) Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie n > 2.
a) Indiquer des endomorphismes de E dont la représentation matricielle est la
même dans toutes les bases de E.
b) Soit (e1 , . . . , en ) une base de E. Montrer que pour tout i ∈ {2, . . . , n}, la
famille (e1 + ei , e2 , . . . , en ) est une base de E.
c) Déterminer tous les endomorphismes de E dont la représentation matricielle est
diagonale dans toutes les bases de E.
d) Quels sont les endomorphismes de E dont la représentation matricielle est la
même dans toutes les bases de E ?
Exercice 2 CCP MP [ 03187 ] [correction]
I) Soit E un espace euclidien et A un sous-espace vectoriel de E.
a) Démontrez que
E = A ⊕ A⊥
(indice : on admettra que toute famille orthonormale de E peut être complétée en
une base orthonormale de E.)
b) Démontrez que
⊥
A⊥ = A
II) Soit f une fonction réelle de classe C 1 positive et décroissante sur I = [a, b].
Soit g une fonction continue sur I. On définit G : I → R par la relation
Z x
G(x) =
g(t) dt
1
lim
x→+∞ x2
Z
1
1/x
sin t
dt
t2
Exercice 3 CCP MP [ 03191 ] [correction]
I) Soit h une fonction continue et positive de [a, b] dans R.
a) Démontrez que :
Z b
h(x) dx = 0 ⇒ h = 0
a
b) Soit E le R-espace vectoriel des fonctions continue de [a, b] dans R. On pose
pour tout f et tout g de E
Z
(f | g) =
b
f (x)g(x) dx
a
Démontrez que l’on définit ainsi un produit scalaire sur E.
c) Majorez
Z 1
√ −x
xe dx
0
en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
II) Soient α ∈ R\Z et f : R → R la fonction 2π périodique définie par
f (t) = cos(αt) sur ]−π, π]
a) Montrer que f admet une série de Fourier convergente sur R.
Quel type de convergence est-ce ?
b) Expliciter les coefficients de Fourier de f .
c) Pour tout x ∈
/ πZ, montrer l’égalité
a
a) Montrer qu’il existe m, M ∈ R tels que
G ([a, b]) = [m, M ]
∞
b) Montrer que
cotanx =
Z
b
Z
f (t)g(t) dt = f (b)G(b) −
a
b
1 X
2x
+
2
x n=1 x − (nπ)2
f 0 (t)G(t) dt
a
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Enoncés
Exercice 4 CCP MP [ 03192 ] [correction]
I) Ces fonctions sont-elles intégrables ?
2
a) x 7→ ln x sinx2x sur ]0, +∞[
x
b) x 7→ x−2
e−x sur ]2, +∞[
II) On considère l’espace vectoriel Rn muni de son produit scalaire usuel noté
h. | .i. Soit f un endomorphisme symétrique de Rn dont toutes les valeurs propres
sont strictement positives.
a) Montrer que
∀x ∈ Rn \ {0} , hf (x) | xi > 0
b) Soit u un vecteur de Rn et g : Rn → R l’application définie par
g(x) =
1
hf (x) | xi − hu | xi
2
Montrer que g admet des dérivées partielles selon tout vecteur de Rn et les
expliciter.
c) Montrer que g admet un unique point critique noté z.
d) Montrer que g admet un minimum global en z.
2
a) Calculer I(−b, −a), I(1/a, 1/b) et I (1/a, a) en fonction I(a, b).
b) Pour a, b > 1, calculer I(a, b) via changement de variables v = x + 1/x puis
v = 1/t.
c) Montrer que la relation ainsi obtenue est valable pour tout a, b tels que ab > 0.
Exercice 6 CCP MP [ 03194 ] [correction]
I) N.B. : les deux questions sont indépendantes
a) Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et soit f un endomorphisme de E.
On notenL(E) l’espace des
o endomorphismes de E. Démontrez que, dans L(E), la
2
famille IdE , f, . . . , f n est liée et déduisez-en que f admet un polynôme
annulateur non identiquement nul.
b) Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie et λ une
valeur propre de f .
Démontrez que si P est un polynôme annulateur de f alors P (λ) = 0.
II) Définition, continuité et classe C 1 de
x 7→
Exercice 5 CCP MP [ 03193 ] [correction]
I) Soient F(R, R) l’espace vectoriel des applications de R dans R, E le sous-espace
vectoriel engendré par les cinq applications :
√
f1 : x 7→ 1/ 2, f2 : x 7→ cos x, f3 : x 7→ sin x, f4 : x 7→ cos(2x) et f5 : x →
7 sin(2x)
et F le sous-espace vectoriel par f1 , f2 et f3 :
F = Vect(f1 , f2 , f3 )
a) Démontrez que
1
(f, g) 7→ hf | gi =
π
Z
π
f (x)g(x) dx
−π
est un produit scalaire sur E.
b) Montrer que f4 et f5 sont unitaires et orthogonaux.
On admettra dans la suite que B = (fi )i=1,...,5 est une base orthonormée de E.
c) Déterminez le sous-espace vectoriel F ⊥ , orthogonal de F pour ce produit
scalaire.
II) Pour a et b des réels tels que ab > 0, on considère
Z
I(a, b) =
a
b
1 − x2
√
dx
(1 + x2 ) 1 + x4
Exercice 7 CCP MP
I) On considère
[ 03212 ]
∞
x
X
(−1)n
sin
n
n
n=1
[correction]
f : t 7→
ln t
(1 + t)2
a) Etudier l’intégrabilité de f sur ]0, 1] et [1, +∞[.
b) Calculer
Z 1
Z +∞
ln t
ln t
dt et
dt
2
(1
+
t)
(1
+ t)2
0
1
II) Soient b = (i, j) et B = (I, J) deux bases d’un R-espace vectoriel de dimension
2 et P la matrice de passage de b à B.
Pour x ∈ E, notons
v = Matb x et V = MatB x
a) Retrouver la relation entre v et V .
b) Soient f ∈ L(E) et
m = Matb f et M = MatB f
Retrouver la relation entre m et M .
c) Par quelle méthode peut-on calculer mn lorsqu’on connaît deux vecteurs
propres non colinéaires de f .
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Enoncés
Exercice 8 CCP MP [ 03293 ] [correction]
I) a) Démontrez que si A et B sont deux matrices carrées d’ordre alors AB et BA
ont même trace.
b) Déduisez-en qu’en dimension finie toutes les matrices d’un même
endomorphisme ont même trace.
c) Démontrez que si A et B sont semblables alors, pour tout k ∈ N, Ak et B k ont
même trace.
II) Résoudre l’équation différentielle
(1 − x2 )y 00 − 3xy 0 − y = √
(on pourra vérifier que l’application x 7→
homogène associée)
√ 1
1−x2
x
1 − x2
est solution de l’équation
Exercice 9 CCP MP [ 03295 ] [correction]
I) On définit dans M2 (R) × M2 (R) l’application ϕ(A, A0 ) = tr(t AA0 )
On note
a b
2
F=
/(a, b) ∈ R
−b a
On admet que ϕ est un produit scalaire sur M2 (R)..
a) Démontrez que F est un sous-espace vectoriel de M2 (R).
b) Déterminez une base orthonormée de F ⊥ .
d) Déterminez le projeté orthogonal de
1 1
J=
1 1
sur F ⊥ .
II) Montrer
Z
lim n
n→+∞
+∞
−xn
e
1
Z
dx =
1
+∞
e−x
dx
x
3
b) Une série entière converge-t-elle normalement sur son disque ouvert de
convergence ?
Exercice
P 11 n[ 03299 ] [correction]
I) Soit
an z une série entière de rayon de convergence R > 0.
a) Démontrez que cette série converge uniformément sur tout disque fermée de
centre 0 et de rayon r tel que 0 6 r < R.
+∞
P
b) Démontrer que la fonction z 7→
an z n est continue en tout point du disque
n=0
ouvert de convergence.
II) Soient n > 2, A et B des matrices de Mn (Z) de déterminants non nuls et
premiers entre eux.
Montrer qu’il existe U et V dans Mn (Z) telles que
U A + V B = In
(on pourra écrire χA (X) = XQA (X) + det A)
On donnera un exemple pour n = 2.
Exercice 12 CCP MP [ 03301 ] [correction]
I) a) Montrer que si P est un polynôme annulateur d’un endomorphisme f alors
P (λ) = 0 pour toute valeur propre λ de f .
b) Montrer que si f vérifie
f 3 + 2f 2 − f − 2Id = 0
alors f est bijectif.
II) On note E l’espace des fonctions réelles définies et continues sur [0, 1].
On note E∞ cet espace muni de la norme
k . k∞ : f 7→ sup |f (t)|
t∈[0,1]
Exercice 10 [ 03298 ] [correction]
I) Soient θ ∈ R et n ∈ N? . Décomposez en produit de polynômes irréductibles
dans C [X], puis dans R [X] le polynôme
P (X) = X 2n − 2X n cos(nθ) + 1
II) a) Déterminer les rayons de convergence des séries entières
X n + 1
X
ln
xn et
sin(e−n )xn
n
et E1 cet espace muni de la norme
1
Z
k . k1 : f 7→
|f (t)| dt
0
Soit u l’endomorphisme de E défini par
Z
u(f )(x) =
x
tf (t) dt
0
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Enoncés
a) Montrer que l’application v de E∞ vers E1 qui à f associe u(f ) est continue et
déterminer sa norme.
b) Montrer que l’application w de E1 vers E∞ qui à f associe u(f ) est continue et
déterminer sa norme.
Exercice 13 CCP MP [ 03307 ] [correction]
I) Soient E un espace euclidien et u un endomorphisme de E. On note (x | y) le
produit scalaire de deux vecteurs x et y de E.
a) Soit u un endomorphisme tel que
∀x ∈ E, ku(x)k = kxk
Démontrez que
Démontrez que u est bijectif
b) Démontrer que l’ensemble des endomorphismes orthogonaux de E, muni la loi
◦, est un groupe.
II) Soit (fn ) la suite des fonctions donnée par
+∞
X
n+1
(−1)
n=1
P
+∞
X
n=1
(−1)
n+1
φ(M ) = M X et ψ(M ) = P −1 M P
1
ln 1 +
n
lim
!
1 × 3 × · · · × (2n − 1) √
1
n= √
2 × 4 × · · · × (2n)
π
!
d) Calculer la limite ci-dessus en utilisant la formule de Wallis
n→+∞
a) Soient X fixé dans Cp et P fixé dans GLp (C) ; montrer que
fn .
1
ln 1 +
n
Exercice 15 CCP MP [ 03361 ] [correction]
I) On munit E = Mp (C) de la norme
16i,j6p
c) En déduire que S admet une limite en 1− et que
1
lim S(x) =
2
x→1−
a) Justifiez que In est bien définie.
n
b) Démontrez
P que la suite ((−1) In ) décroît et déterminer sa limite.
c) La série
In est-elle convergente ?
II) Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E sur R ou C
vérifiant f ◦ g = Id.
a) Montrer que ker(g ◦ f ) = ker f et Im(g ◦ f ) = Img.
b) Montrer
E = ker f ⊕ Img
kM k = max |mi,j |
∀n > 2, ∀x ∈ R, fn (x) = (−1)n ln(n)xn
1
∀x ∈ ]−1, 1[ , S(x) =
1+x
Exercice 14 CCP MP [ 03359 ] [correction]
I) Pour tout n > 1, on pose
n
Z +∞ −1
In =
dt
1 + t2
0
c) Dans quel cas peut-on conclure g = f −1 ?
d) Calculer (g ◦ f ) ◦ (g ◦ f ) et caractériser g ◦ f
∀(x, y) ∈ E 2 , (u(x) | u(y)) = (x | y)
a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière
On note S sa somme.
b) Montrer que
4
x
n+1
définissent des applications continues.
b) Montrer que
f (M, N ) = M N
définit une application continue.
c) Soit A ∈ Mp (C) telle que la suite (kAn k) soit bornée ; montrer que les valeurs
propres de A sont de module inférieur à 1.
d) Soit B ∈ Mp (C) telle que la suite (B n ) tende vers une matrice C. Montrer que
C 2 = C ; que conclure à propos du spectre de C ?
Montrer que les valeurs propres de B sont de module au plus égal à 1
II) Soit C un cercle de centre F et de rayon r.
a) F 0 étant un point intérieur à C ; trouver le lieu des centres des cercles passant
par F 0 et tangents à C.
b) Même question pour F 0 extérieur à C.
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Enoncés
Exercice 16 CCP MP [ 03362 ] [correction]
I) Tracer la courbe paramétrée
u2
u−1
et y(u) =
x(u) =
u
u−1
II) Pour n ∈ N et x ∈ ]0, 1[, on pose
fn (x) =
x2n+1 ln x
x2 − 1
a) Montrer que fn est intégrable sur ]0, 1[. On pose
Z 1
Jn =
fn (x) dx
0
b) Montrer que la suite (Jn )n∈N est convergente et déterminer sa limite.
c) Montrer que
+∞
1 X 1
Jn =
4
k2
5
a) Calculer l’intégrale double
ZZ
(x2 + y 2 ) dx dy
I=
D
(on posera x = ar cos θ et y = br sin θ)
b) Calculer l’intégrale curviligne
Z
J=
(y 3 dx − x3 dy)
Γ
c) Quelle relation existe-t-il entre I etJ ?
Exercice 18 CCP MP [ 03365 ] [correction]
I) a) Décomposer en éléments simples
f (x) =
1
(1 + x)(2 − x)
k=n+1
Exercice 17 CCP MP [ 03363 ] [correction]
I) Soit A ∈ M2 (Z) telle que det A = 1 et qu’il existe p ∈ N? pour lequel
Ap = In
a) Montrer que A est diagonalisable dans C.
On note α et β les deux valeurs propres de A.
b) Montrer que |α| = |β| = 1, que α = β̄ et
|Re(α)| ∈ {0, 1/2, 1}
c) Montrer que A12 = I2
d) Montrer que l’ensemble G = {An /n ∈ N} est un groupe monogène fini pour le
produit matriciel.
II) Soit (a, b) ∈ R2 , a > 0, b > 0. On note Γ l’ellipse d’équation
y2
x2
+
−1=0
a2
b2
et D la partie de R2 définie par
x2
y2
+
−160
a2
b2
b) Montrer que f est développable en série entière puis donner son développement
et son rayon de convergence.
c) Donner un développement limité à l’ordre 3 de f .
II) Montrer
1
n
n − 1 . . . 2 ..
2
.
1
3 n−1
..
.. = (−1)n+1 (n + 1)n
..
..
..
Dn = .
.
.
.
.
2
..
n−1
.
1 n n
n−1
...
2 1 Exercice 19 CCP MP [ 03367 ] [correction]
I) Soient E un espace euclidien et A un sous-espace vectoriel de E.
a) Démontrez que
E = A ⊕ A⊥
(indice : on admettra que toute famille orthonormale de E peut être complétée en
une base orthonormale de E.)
b) Démontrez que
⊥
A⊥ = A
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Enoncés
II) a) Montrer que la forme différentielle
ω(x, y) = (xy − y 2 + 1) dx + (x2 − xy − 1) dy
n’est pas fermée.
b) Déterminer les fonctions f : R → R dérivable telle que la forme différentielle
6
II) a) Déterminer la limite de la suite définie par :
u0 > 0 et ∀n ∈ N, un+1 =
b) Déterminer la limite de la suite définie par
vn = nun
ω(x, y)f (xy)
soit exacte et déterminer ses primitives.
e−un
n+1
c) Donner la nature de la série
P
un et celle de la série
P
(−1)n un
Exercice 20 CCP MP [ 03369 ] [correction]
I) a) Soit X une partie de R, (fn )n∈N une suite de fonctions de X dans R ou C
qui convergeant simplement vers une fonction f . On suppose qu’il existe une suite
(xn )n∈N d’éléments de X telle que la suite (fn (xn ) − f (xn ))n∈N ne tend pas vers 0.
Démontrez que la suite de fonctions (fn )n∈N ne converge pas uniformément vers f
sur X.
b) Pour x ∈ R. On pose
sin(nx)
fn (x) =
1 + n2 x2
Etudiez la convergence simple de la suite (fn )n∈N .
Etudiez la convergence uniforme de la suite (fn )n∈N sur [a, +∞[ (avec a > 0) puis
sur ]0, +∞[.
II) Soit f définie sur R2 par
f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy − 1
a) Montrer que la condition f (x, y) = 0 définit au voisinage de (0, 1) une fonction
implicite x 7→ y = φ(x).
b) Donner un développement limité à l’ordre 3 de φ au voisinage de 0.
Exercice 21 CCP MP [ 03371 ] [correction]
I) On considère la courbe C définie paramétriquement par :

2

x = u − 1

u ,u>0
2

u
+1

y =
u+1
Donnez l’allure de la courbe C, précisez la (ou les) asymptote(s) éventuelle(s)
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Corrections
Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
I) C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 définie sur ]1, +∞[.
La solution générale est
p
y(x) = C x2 − 1 + 2(x2 − 1) avec C ∈ R
II) a) Les endomorphismes λIdE ont la propriété voulue.
b) Les familles (e1 , . . . , en ) et (e1 + ei , e2 , . . . , en ) engendrent le même espace
vectoriel. Etant toutes deux formées de n vecteurs, si l’une est libre, l’autre aussi.
c) Soit u un endomorphisme de E dont la matrice est diagonale dans toutes les
bases de E.
La matrice de u dans la base (e1 , . . . , en ) est de la forme diag(λ1 , λ2 , . . . , λn ).
Puisque la matrice de u dans la base (e1 + ei , e2 , . . . , en ) est aussi diagonale, il
existe α ∈ R tel que
u(e1 + ei ) = α(e1 + ei )
Or par linéarité
u(e1 + ei ) = u(e1 ) + u(ei ) = λ1 e1 + λi ei
Par liberté de la famille (e1 , ei ) on identifie les scalaires et on peut affirmer
λ1 = α = λi
Ainsi, si un endomorphisme à une représentation matricielle diagonale dans toutes
les bases de E, sa matrice est de la forme λIn et donc cet endomorphisme est de
la forme λIdE .
d) Soit u un tel endomorphisme. Si A = (ai,j ) est sa matrice dans une base
(e1 , . . . , en ) alors sa matrice dans la base (e1 , 2e2 , . . . , nen ) a pour coefficient
général
j
ai,j
i
et comme cette matrice doit être égale à la précédente, on obtient
∀i, j ∈ {1, . . . , n} , i 6= i ⇒ ai,j = 0
Ainsi, cet endomorphisme a une matrice diagonale dans toute base de E et en
vertu de ce qui précède, il est de la forme λIdE avec λ ∈ R.
Exercice 2 : [énoncé]
I) a) Posons n = dim E, p = dim A.
7
Soit (e1 , . . . , ep ) une base orthonormale de A. On peut la compléter en en
(e1 , . . . , en ) base orthonormale de E.
Puisque A = Vect(e1 , . . . , ep ), on a l’équivalence
x ∈ A⊥ ⇔ ∀i ∈ {1, . . . , p} , (ei | x) = 0
et donc A⊥ = Vect(ep+1 , . . . , en ) puis
E = A ⊕ A⊥
⊥
b) On a dim A⊥ = n − dim A et donc dim A⊥ = dim A.
Or on a aussi
⊥
A ⊂ A⊥
car
∀x ∈ A, ∀y ∈ A⊥ , (x | y) = 0
donc par inclusion et égalité des dimensions, on obtient
⊥
A⊥ = A
II) a) La fonction G est continue donc l’image par celle-ci d’un intervalle est
intervalle et l’image d’un compact est un compact. On en déduit que l’image d’un
segment est un segment.
b) Il suffit de procéder à une intégration par parties.
c) Puisque la fonction −f 0 est positive, on a
Z b
m (f (a) − f (b)) 6 −
f 0 (t)G(t) dt 6 M (f (a) − f (b))
a
et donc
b
Z
mf (a) + [G(b) − m] f (b) 6
f (t)g(t) dt 6 M f (a) + [G(b) − M ] f (b)
a
puis
Z
mf (a) 6
b
f (t)g(t) dt 6 M f (a)
a
Ainsi, que f (a) soit nul ou non, il existe c ∈ [a, b] tel que
Z b
f (t)g(t) dt = f (a)G(c)
a
d) Découpons l’intégrale en deux
Z 1
Z 1/√x
Z 1
sin t
sin t
sin t
dt
=
dt
+
dt
2
2
2
√
t
1/x
1/ x t
1/x t
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Corrections
√
Considérons a = 1/x, b = 1/ x, f (t) = 1/t2 et g(t) = sin t.
√
Par ce qui précède, on peut affirmer l’existence d’un c ∈ [1/x, 1/ x] vérifiant
Z 1/√x
Z c
sin t
2
dt
=
x
sin t dt = x2 × o(1)
2
t
1/x
1/x
8
et en posant x = απ on obtient
+∞
cos x =
sin x X 2x sin x
+
x
x2 − (nπ)2
n=1
ce qui fournit la relation demandée.
et alors
√
1
x2
1/ x
Z
1/x
sin t
dt −−−−−→ 0
x→+∞
t2
√
1/t2 et g(t) = sin t.
Considérons a = 1/ x, b = 1/x, f (t) = √
on peut affirmer l’existence d’un c ∈ [1/ x, 1] vérifiant
Z 1
Z c
sin t
dt = x
sin t dt = x × O(1)
2
√
√
1/ x
1/ x t
et alors
1
x2
Z
1
√
1/ x
sin t
dt −−−−−→ 0
x→+∞
t2
Exercice 3 : [énoncé]
I) a) Soit H une primitive de la fonction h, celle-ci existe car h est continue.
Puisque la fonction h est positive, la primitive H est croissante.
Si l’intégrale de h sur [a, b] est nulle alors H(a) = H(b) et la croissance de H
entraîne sa constance. On en déduit que la fonction dérivée h est nulle.
b) On vérifier que l’on a bien défini une forme bilinéaire symétrique définie
positive.
c) On a
s
s
√
Z 1
Z 1
Z 1
√ −x
1 − e−2
xe dx 6
x dx
e−2x dx =
2
0
0
0
II) a) La fonction f est continue et de classe C 1 par morceaux sur R car elle l’est
sur [−π, π]. On en déduit que la série de Fourier de f converge uniformément vers
f.
b) Après calculs, pour n ∈ N,
2α sin απ
an = (−1)n−1
et bn = 0
π(n2 − α2 )
c) Pour tout t = π, la convergence de la série de Fourier de f donne
Exercice 4 : [énoncé]
I) a) La fonction est intégrable car on a
√
xf (x) −−−→ 0 et x3/2 f (x) −−−−−→ 0
x→+∞
x→0
b) La fonction n’est pas intégrable car
f (x) ∼ +
x→2
2e−2
x−2
II) a) Soit (e1 , . . . , en ) une base orthonormée de vecteurs propres de f .
Pour
x = x1 e1 + · · · + xn en
on a
f (x) = λ1 x1 e1 + · · · + λn xn en
avec λi > 0 valeur propre associée au vecteur propre ei .
Ainsi, pour x 6= 0,
hf (x) | xi = λ1 x21 + · · · + λn x2n > 0
b) Par opérations, la fonction g est de classe C 1 donc admet des dérivées partielles
relatives à n’importe quelle base.
Dans la base (e1 , . . . , en ), ses dérivées partielles sont
Di g(x) = λi xi − ui
en notant u1 , . . . un les composantes de u.
c) Il est alors immédiat que g admet un unique point critique qui est
z=
u1
un
e1 + · · · +
en = f −1 (u)
λ1
λn
Tout ceci serait plus simple, en parlant de différentielle plutôt que de dérivées
partielles.
d) Pour h ∈ E,
+∞
cos(απ) =
sin απ X 2α sin(απ)
+
απ
π(α2 − n2 )
n=1
g(f −1 (u) + h) =
1
(u + f (h) | f −1 (u) + h) − (u | f −1 (u) + h)
2
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Corrections
donc
1
g(f (u) + h) = g(f (u)) + (f (h) | h) > g(f −1 (u))
2
car (f (h) | f −1 (u)) = (h | u) par adjonction.
−1
9
alors que par échange des bornes
−1
I(1/a, a) = −I(a, 1/a)
On en déduit
I(1/a, a) = 0
Exercice 5 : [énoncé]
I) a) On vérifie aisément que l’on a bien défini une forme bilinéaire symétrique sur
E.
Pour f ∈ E, on a évidemment hf | f i > 0 par intégration bien ordonnée d’une
fonction positive.
Si hf | f i = 0 alors, puisque la fonction f 2 est continue et positive sur [−π, π], on
peut affirmer que f 2 , et donc f , est nulle sur [−π, π]. Enfin, puisque f est
2π-périodique, on peut conclure que f est la fonction nulle.
b) On a
Z
1 π 1
hf4 , f5 i =
sin(4x) dx = 0
π −π 2
Par périodicité et translation
Z π
Z
cos2 (2x) dx =
−π
sin2 (2x) dx
−π
π
cos2 (2x) dx +
−π
Z
π
sin2 (2x) dx =
−π
Z
π
dx = 2π
−π
On en déduit
2
2
kf4 k = kf5 k = 1
c) F = Vect(f1 , f2 , f3 ) donc F ⊥ = Vect(f4 , f5 ) car on a admit la famille
(f1 , . . . , f5 ) orthonormée.
II) a) Par parité de la fonction intégrée, on a
I(1/a, 1/b) =
a
a+1/a
et donc
− dv
√
=
v v2 − 2
Z
b/(b2 +1)
√
a/(a2 +1)
dt
1 − 2t2
√ ib/(b +1)
1 h
I(a, b) = √ arcsin 2t
a/(a2 +1)
2
2
c) Le changement de variable v = x + 1/x n’est pas bijectif quand x parcourt
]0, +∞[ mais dans les calculs précédents, il était possible de l’exploiter sans
exprimer x en fonction de v. L’hypothèse a, b > 1 n’a donc pas été utilisée dans
l’étude qui précède et donc le résultat proposé se généralise immédiatement.
1 − t12
q
1 + t12
1+
1
t4
En particulier
I(1/a, a) = I(a, 1/a)
Exercice 6 : [énoncé]
2
I) a) (IdE , f, . . . , f n ) est une famille de n2 + 1 vecteurs de l’espace L(E) qui est
de dimension n2 ; cette famille est nécessairement liée. Une relation linéaire sur les
2
éléments de la famille (IdE , f, . . . , f n ) fournit un polynôme annulateur non nul de
f , polynôme dont les coefficients sont les coefficients de la relation linéaire écrite.
b) Soit x 6= 0E vecteur propre de f associé à la valeur propre λ. On a f (x) = λx
et par récurrence f n (x) = λn x pour tout n ∈ N. Par linéarité, on obtient
∀P ∈ K [X] , P (f )(x) = P (λ)x
Pour P annulateur de f , on obtient
donc nécessairement P (λ) = 0.
II) Posons
Par le changement de variable u = 1/t, on obtient
b
b+1/b
P (λ)x = 0E avec x 6= 0E
I(−b, −a) = I(a, b)
Z
Z
I(a, b) =
π
et en sommant
Z
b) En procédant aux changements de variable proposés
− dt
= I(a, b)
t2
x
(−1)n
sin
n
n
Puisque les fonctions fn sont toutes impaires, on limite l’étude à x ∈ [0, +∞[.
A partir d’un certain rang Nx , on a x/n 6 π/2 et alors
fn : x 7→
sin (x/n) ∈ [0, 1]
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Corrections
10
P
La série numérique
fn (x) vérifie alors les hypothèses du critère spécial des
séries alternées à partir duP
rang Nx et par conséquent cette série converge.
Ainsi la série de fonctions
fn converge simplement sur R et donc sa fonction
somme, que nous noterons S, est définie sur R.
Les fonctions fn sont de classe C 1 et
x
(−1)n
cos
fn0 (x) =
n2
n
donc
de sorte que
Ainsi si les matrices A et B sont semblables, alors elles ont même trace.
Les matrices d’un même endomorphisme étant semblables entres elles, on peut
conclure.
c) Ak et B k représentent le même endomorphisme donc ces matrices sont
semblables et ont même trace.
II) L’équation étudiée est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 définie sur
]−1, 1[ d’équation homogène
1
kfn0 k∞,R = 2
n
P 0
On en déduit que la série de fonctions
fn converge normalement sur R et donc
la fonction S est de classe C 1 sur R, a fortiori cette fonction est continue.
Exercice 7 : [énoncé]
I) a) La fonction√f est continue par morceaux sur ]0, +∞[.
Quand t → 0+ , tf (t) → 0 et quand t → +∞, t3/2 f (t) → 0 donc f est intégrable
sur ]0, 1] et [1, +∞[.
b) Par une intégration par parties où l’on choisit judicieusement une primitive
s’annulant en 0
1 Z 1
Z 1
1
ln t
1
dt = ln t −
+1
−
dt = − ln 2
2
(1
+
t)
1
+
t
1
+
t
0
0
0
Par le changement de variable u = 1/t
Z 1
Z +∞
ln u
ln t
dt
=
−
du = ln 2
2
2
(1 + t)
0 (u + 1)
1
II) a) P est la matrice de l’application IdE dans les bases B au départ et b à
l’arrivée.
La relation x = IdE (x) donne matriciellement v = P V .
−1
mP .
b) La relation f = Id−1
E ◦ f ◦ IdE donne matriciellement M = P
c) Dans une base de vecteurs propres, la matrice de f est diagonale et ses
puissances sont alors faciles à calculer. Par changement de base, on en déduit mn .
Exercice 8 : [énoncé]
I) a) A = (ai,j ), B = (bi,j ), AB = (ci,j ) et BA = (di,j ) avec
ci,j =
n
X
k=1
ai,k bk,j et di,j =
n
X
k=1
tr(AB) =
n X
n
X
ai,k bk,i et tr(BA) =
i=1 k=1
n X
n
X
bi,k ak,i
i=1 k=1
En réorganisant les deux sommes, on obtient tr(AB) = tr(BA).
b) Si B = P −1 AP alors
trB = tr P −1 (AP ) = tr (AP )P −1 = trA
(1 − x2 )y 00 − 3xy 0 − y = 0
On vérifie par le calcul que la fonction
ϕ : x 7→ √
1
1 − x2
est solution de cette équation homogène et qu’elle ne s’annule pas.
Par la méthode de Lagrange, on cherche une deuxième solution indépendante de
la forme
ψ : x 7→ λ(x)ϕ(x) avec λ fonction deux fois dérivable
On parvient à l’équation
x
λ0 (x)
1 − x2
La fonction λ : x 7→ arcsin x convient ce qui donne
λ00 (x) =
arcsin x
ψ : x 7→ √
1 − x2
Pour trouver une solution particulière de l’équation complète, on applique la
méthode de variation des constantes et on cherche cette solution de la forme
y(x) = λ(x)ϕ(x) + µ(x)ψ(x)
avec λ, µ fonctions dérivables vérifiant
bi,k ak,j
λ0 (x)ϕ(x) + µ0 (x)ψ(x) = 0
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On parvient au système
 0
0
 λ (x)ϕ(x) + µ (x)ψ(x) = 0
 λ0 (x)ϕ0 (x) + µ0 (x)ψ 0 (x) =
Corrections
11
La suite de fonctions (fn ) converge simplement vers la fonction
x
(1 − x2 )3/2
f : t 7→
et pour tout n ∈ N
|fn (t)| 6 e−t = ϕ(t)
Après résolution
p
p
λ(x) = − 1 − x2 et µ(x) = 1 − x2 arcsin x − x conviennent
et donc
y(x) = − √
x
1 − x2
est solution particulière.
Finalement la solution générale est
y(x) =
λ + µ arcsin x − x
√
1 − x2
e−t
t
avec ϕ fonction continue par morceaux et intégrable puisque t2 ϕ(t) −−−−→ 0.
t→+∞
On peut alors appliquer le théorème de convergence dominée et affirmer que les
intégrales étudiées existent et
Z +∞ −t
Z +∞
Z +∞ −t
e
e 1/n
−xn
t
dt −−−−−→
dt
n
e
dx =
n→+∞
t
t
1
1
1
Exercice 10 : [énoncé]
I) Les racines du polynôme X 2 − 2 cos(nθ)X + 1 sont einθ et e−inθ donc
X 2n − 2X n cos(nθ) + 1 = (X n − einθ )(X n − e−inθ )
Exercice 9 : [énoncé]
I) a) F = Vect(I, K) avec K =
0
−1
1
0
donc F est un sous-espace vectoriel
de M2 (R).
b) Puisque dim F = 2, dim F ⊥ = 4 − 2 = 2.
Les matrices
1
1
1 0
0
et B = √
A= √
0 −1
1
2
2
X 2n − 2X n cos(nθ) + 1 =
1
0
sont deux éléments unitaires, orthogonaux entre eux et orthogonaux à I et K.
On peut alors affirmer que la famille (A, B) est une base de F ⊥ .
c) On peut écrire
√
J = I + 2B
√
et donc le projeté orthogonal de J est 2B.
II) Par le changement de variable t = xn , on a formellement
Z
n
1
Posons pour n > 1
+∞
n
e−x dx =
Z
1
+∞
Les racines de X n − einθ sont les eiθ+2ikπ/n avec k ∈ {0, . . . , n − 1} et celles de
X n − e−inθ s’en déduisent par conjugaison.
Ainsi
e−t 1/n
t
dt
t
e−t 1/n
fn : t 7→
t
t
Les fonctions fn sont définies et continues par morceaux sur [1, +∞[.
n−1
Y
(X − eiθ+2ikπ/n )
k=0
n−1
Y
(X − e−iθ−i2kπ/n )
k=0
dans C [X] puis en regroupant les facteurs conjugués entre eux
X
2n
n
−2X cos(nθ)+1 =
n−1
Y
iθ+2ikπ/n
(X − e
−iθ−2ikπ/n
)(X − e
)=
k=0
n−1
Y
2
X − 2X cos θ +
k=0
Cette décomposition dans R [X] se comprend comme la décomposition en facteurs
irréductibles sauf s’il y a la présence d’un facteur
2kπ
X 2 − 2X cos θ +
+ 1 = X 2 − 1 = (X − 1)(X + 1)
n
II) a) On a
ln
n+1
n
∼
1
n
donc le rayon de convergence de la première série entière vaut 1.
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Corrections
Aussi
sin e−n ∼ e−n
donc le rayon de convergence de la deuxième série entière vaut e.
b) On sait qu’une série entière converge normalement sur tout compact inclus
dans son disque ouvert de convergence, maisP
en revanche elle ne converge pas
normalement sur ce disque. La série entière
z n est un contre-exemple car
12
était sans doute plus simple. . .
Pour
1
A=
0
0
1
et B =
2
0
0
2
les matrices
U=
3
0
0
3
et V =
−1
0
0
−1
n
R = 1 et kz 7→ z k∞,D(0,1) = 1
Exercice 11 : [énoncé]
I) a) Posons fn : z 7→ an z n définie sur D(0, r).
On a
kfn k∞ = sup |fn (z)| = |an | rn
z∈D(0,r)
P
n
Or la série
an r est absolument convergente et donc la série de
Pnumérique
fonction
fn converge normalement et donc uniformément.
+∞
P
b) La fonction z 7→
an z n est définie sur le disque ouvert de convergence et y
conviennent. . .
Exercice 12 : [énoncé]
I) a) cf.cours.
b) Le polynôme X 3 + 2X 2 − X − 2 est annulateur de f et 0 n’en est pas racine
donc 0 ∈
/ Spf . Cela suffit pour conclure si l’espace est de dimension finie. Sinon,
on exploite
1 2
1 2
f ◦ (f + 2f − Id) =
(f + 2f − Id) ◦ f = Id
2
2
n=0
est continue par convergence uniforme sur tout compact inclus d’une série de
fonctions continues.
II) Puisque les entiers det A et det B sont premiers entre eux, on peut écrire par
l’égalité de Bézout
u. det A + v. det B = 1 avec u, v ∈ Z
pour conclure.
II) a) Pour f ∈ E,
On écrit χA (X) = XQA (X) + det A et de même χB (X) (ces écritures sont
possibles car le déterminant est le coefficient constant d’un polynôme
caractéristique).
Posons alors
U = −uQA (A) et V = −vQB (B)
donc
Z
|u(f )(x)| 6
0
Z
kv(f )k1 6
0
1
x
t kf k∞ dt =
1 2
x kf k∞
2
1 2
1
x kf k∞ dx = kf k∞
2
6
On en déduit que l’application linéaire v est continue et
Puisque χA et χB sont à coefficients entiers, on a U, V ∈ Mn (Z).
Puisque χA et χB sont annulateurs, on a
kvk 6 1/6
En prenant f = 1̃, on a
QA (A)A = − det A.In et QB (B)B = − det B.In
kf k∞ = 1, u(f ) : x 7→
On observe alors
U A + V B = (u. det A + v. det B)In = In
On en déduit kvk = 1/6.
b) Pour f ∈ E,
Remarquons que prendre
Z
t
t
U = u comA et V = v comB
1 2
x et kv(f )k1 = 1/6
2
|u(f )(x)| =
x
Z
t |f (t)| dt 6
0
0
x
|f (t)| dt 6 kf k1
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Corrections
13
b) Pour x ∈ ]−1, 1[, on a
donc
kw(f )k∞ = sup |u(f )(x)| 6 kf k1
x∈[0,1]
(1 + x)S(x) =
On en déduit que l’application linéaire w est continue et kwk 6 1.
Pour fn (t) = tn , on a
kfn k1 = 1/(n + 1), u(fn )(x) =
+∞
X
+∞
X
(−1)n ln(n)xn+1
n=2
n=2
Après décalage d’indice et réunion des deux sommes
1
1
xn+2 et kw(fn )k∞ =
n+2
n+2
(1 + x)S(x) =
Puisque
+∞
X
(−1)n+1 (ln(n + 1) − ln(n)) xn+1
n=1
kw(fn )k∞
n+1
=
→1
kfn k1
n+2
ce qui conduit à la relation demandée.
c) Posons
on obtient kwk = 1.
1
xn+1
gn (x) = (−1)n+1 ln 1 +
n
Exercice 13 : [énoncé]
I) a) Soient x, y ∈ E. On a
2
2
2
2
ku(x + y)k = kx + yk = kxk + 2(x | y) + kyk
et d’autre part
2
(−1)n ln(n)xn +
2
2
ku(x + y)k = ku(x) + u(y)k = ku(x)k + 2(u(x) | u(y)) + ku(y)k
2
ce qui définit gn : [0, 1] → R continue.
A
Pl’aide du critère spécial des séries alternées, on montre que la série de fonctions
gn converge uniformément sur [0, 1] ce qui assure que sa somme est continue.
On en déduit par opérations sur les limites
!
+∞
1
1 X
(−1)n+1 ln 1 +
lim S(x) =
2 n=1
n
x→1−
d) En regroupant les termes d’indices impairs et pairs consécutifs
On en déduit
(u(x) | u(y)) = (x | y)
2n
X
Si x ∈ ker u alors
2
2
0 = ku(x)k = kxk
donc ker u = {0E }.
Puisque E est de dimension finie, on peut conclure que u est bijectif.
b) Montrons que l’ensemble O(E) des endomorphismes étudiés est un sous-groupe
de (GL(E), ◦).
On a O(E) ⊂ GL(E) en vertu de ce qui précède.
On a aussi évidemment IdE ∈ O(E).
Soient u, v ∈ O(E). Pour tout x ∈ E,
u ◦ v −1 (x) = u(v −1 (x)) = v −1 (x) car u ∈ O(E)
k=1
X
n
1
1
1
(−1)k+1 ln 1 +
=
ln 1 +
− ln 1 +
k
2k − 1
2k
k=1
et donc
2n
X
k=1
(−1)k+1 ln 1 +
1
k
= ln
n
Y
k=1
2k
2k
2k − 1 2k + 1
!

= ln 
1
2n + 1
n
Y
k=1
2k
2k − 1
!2 

Enfin par la formule du Wallis, on obtient
lim− S(x) =
x→1
1 π
ln
2 2
et
−1 −1
v (x) = v(v (x)) = kxk car v ∈ O(E)
Donc u ◦ v −1 ∈ O(E).
II) a) R = 1.
Exercice 14 : [énoncé]
I) a) La fonction intégrée est définie et continue sur [0, +∞[ et dominée par
t 7→ 1/t2 en +∞.
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Corrections
14
avec kXk∞ = max |xj | =
6 0.
b) Pour tout t ∈ [0, +∞[,
16j6p
1
1
6
(1 + t2 )n+1
(1 + t2 )n
donc en intégrant
(−1)n+1 In+1 6 (−1)n In
La suite des fonctions intégrées converge simplement vers la fonction nulle sur
]0, +∞[ et est dominée par
1
t 7→
1 + t2
intégrable sur ]0, +∞[ donc par convergence dominée
(−1)n In → 0
c) Par application du critère
P spécial des séries alternées, on peut affirmer la
convergence de la série
In .
II) a) Evidemment ker f ⊂ ker(g ◦ f ) et Im(g ◦ f ) ⊂ Img.
Pour x ∈ ker(g ◦ f ), on a f (x) = f (g(f (x)) = f (0) = 0 donc x ∈ ker f .
Pour y ∈ Img, il existe x ∈ E tel que y = g(x) et alors
y = g(f (g(x)) = g(f (a)) ∈ Im(g ◦ f ).
b) Si x ∈ ker f ∩ Img alors on peut écrire x = g(a) et puisque f (x) = 0,
a = f (g(a)) = 0 donc x = 0.
Pour x ∈ E, on peut écrire x = (x − g(f (x))) + g(f (x)) avec x − g(f (x)) ∈ ker f et
g(f (x)) ∈ Img.
c) Si f est inversible alors f ◦ g = Id entraîne g = f −1 .
Cette condition suffisante est aussi évidemment nécessaire.
d) (g ◦ f ) ◦ (g ◦ f ) = g ◦ (f ◦ g) ◦ f = g ◦ f et donc g ◦ f est un projecteur.
Exercice 15 : [énoncé]
I) a) Les applications φ et ψ sont linéaires au départ d’un espace de dimension
finie donc continues.
b) L’application f est bilinéaire au départ d’un produit d’espaces de dimensions
finies donc continue.
c) Soit λ une valeur propre de A et X un vecteur propre associé
AX = λX avec X 6= 0
On a alors
An X = λ n X
donc
|λn | kXk∞ = kAn Xk 6 p kAn k kXk∞
On en déduit que la suite (λn ) est bornée et donc |λ| 6 1.
d) B n → C donc par extraction B 2n → C. Or B 2n = B n × B n → C 2 donc par
unicité de la limite C = C 2 . On en déduit que SpC ⊂ {0, 1} car les valeurs propres
figurent parmi les racines du polynôme annulateur X 2 − X.
Puisque la suite (B n ) converge, elle est bornée et donc les valeurs propres de B
sont de modules inférieurs à 1.
II) a) Soit Γ un cercle passant par F 0 , tangent à C , M son centre et R son rayon.
Notons P le point de contact de C et Γ.
Puisque Γ passe par F 0 intérieur à C, le cercle Γ est aussi intérieur à C.
Par suite les points F , M et P sont alignés dans cet ordre.
Puisque M P = R = M F 0 et M F + M P = F P = 2a on a
MF + MF0 = r
Inversement, un point M de l’ellipse défini par M F + M F 0 = r est le centre du
cercle Γ de rayon R = M F 0 qui est tangent à C et passe par F 0 .
b) Cette fois-ci Γ est à l’extérieur du cercle et les points F , M et P sont alignés
dans l’ordre F , P , M ou M , F , P . On a alors resp. M F − M F 0 = r ou
M F 0 − M F = r d’où
|M F − M F 0 | = r
Inversement, un point de l’hyperbole déterminée par |M F − M F 0 | = r est le
centre du cercle Γ de rayon R = M F 0 qui est tangent à C et passe par F 0 .
Exercice 16 : [énoncé]
I) Les fonctions et sont définies et de classe sur , et .
Il n’y a pas de réduction remarquable du domaine d’étude.
On obtient le tableau des variations simultanées suivant
Branches infinies :
En , la droite d’équation est asymptote, courbe à droite.
En , la droite d’équation est asymptote, courbe à gauche.
En , la droite d’équation est asymptote, courbe en dessous.
En , la droite d’équation est asymptote, courbe en dessous.
En , la droite d’équation est asymptote, courbe à gauche.
En , la droite d’équation est asymptote, courbe à droite.
Puisque,
la courbe étudiée est aussi le graphe de la fonction
plot([(u-1)/u,uˆ2/(u-1),u=-5..5],view=[-3..3,-2..6],numpoints=200) ;
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Corrections
15
c) Selon la valeur de Re(α) et sachant |α| = 1, les valeurs possibles de α sont
−1, j, i, −j 2 , 1
et leurs conjuguées.
Dans tous les cas, on vérifie α12 = 1 et on a aussi β 12 = 1.
Puisque A est semblable à la matrice diagonale D = diag(α, β) et que celle-ci
vérifie D12 = I2 , on a A12 = I2 .
d) On vérifie aisément que G est un sous-groupe du groupe (GL2 (C), ×) et puisque
G = I2 , A, A2 , . . . , A11
G est un groupe monogène fini.
II) a) Le changement de variables proposé a pour jacobien
D(x, y) a cos θ −ar sin θ = abr
=
b sin θ
br cos θ D(r, θ)
Ce changement de variable donne
Z 2π Z 1
I=
a2 r2 cos2 θ + b2 r2 sin2 θ × |abr| dr dθ
r=0
0
La courbe donnée par et II) a) Considérons
La fonction est définie et continue par morceaux sur .
Quand , et quand ,
Puisque se prolonge par continuité en et en 1, est intégrable sur .
Puisque
la fonction est elle aussi intégrable sur .
b) La suite de fonctions converge simplement vers la fonction nulle et est dominée
par la fonction intégrable donc par convergence dominée
c) On a
A l’aide d’une intégration par parties justifiée par deux convergences
et donc
puis par translation d’indice
et donc
I=
πab(a2 + b2 )
4
b) Par le paramétrage direct
(
x(t) = a cos t
y(t) = b sin t
on obtient
Z
J =−
avec t ∈ [0, 2π]
2π
ab3 sin4 θ + a3 b cos4 θ dθ
0
puis au terme des calculs
J =−
3πab(a2 + b2 )
4
c) On observe
Exercice 17 : [énoncé]
I) a) La matrice A annule le polynôme X p − 1 qui est scindé simple dans C [X]
donc A est diagonalisable dans M2 (C).
b) Les valeurs propres α et β sont racines du polynôme annulateur donc
αp = β p = 1. En particulier |α| = |β| = 1.
2
Puisque det A = αβ = 1, on a α = 1/β = β̄/ |β| = β̄.
Enfin, trA = 2Re(α) ∈ Z et 2Re(α) ∈ [−2, 2] car |α| 6 1 donc |Re(α)| ∈ {0, 1/2, 1}.
J = −3I
ce qui est conforme à la formule de Green Riemann puisque
y 3 dx − x3 dy = P (x, y) dx + Q(x, y) dy
avec
∂Q
∂P
(x, y) −
(x, y) = −3(x2 + y 2 )
∂x
∂y
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Corrections
Exercice 18 : [énoncé]
I) a) La fraction rationnelle est de degré strictement négatif et de pôles −1 et 2,
pôles simples. On obtient la décomposition
f (x) =
1/3
1/3
+
1+x 2−x
+∞ 1X
1
n
∀x ∈ ]−1, 1[ , f (x) =
(−1) + n+1 xn
3 n=0
2
c) Ce développement en série entière donne la série de Taylor de f et permet donc
de former le développement limité à tout ordre de f en 0. En particulier
1 1
3
5
f (x) = − x + x2 − x3 + o(x3 )
2 4
8
16
sur la première
1
n
1
..
.
..
.
1
1
2
..
.
n−1
n−1
..
.
..
..
...
.
.
...
avec a = 1 − n et b = 1. La poursuite du calcul donne alors
Dn =
n(n + 1)
(−1)n−1 nn−2
2
d’où la formule proposée.
b) f est la somme d’une fonction développable en série entière de rayon de
convergence 1 et d’une autre de rayon de convergence 2. Puisque 1 6= 2, f est
développable en série entière de rayon de convergence 1 et
II) En sommant toutes les colonnes
n(n + 1) Dn =
2
16
..
.
2
2 3 .. . n 1 En retranchant à chaque ligne la précédente (en commençant par la fin)
1
n
n − 1 ...
2 0 1−n
1
...
1 ..
..
n(n + 1) ..
.
.
1
.
Dn =
2
.
.
.
.
..
..
..
..
1 0
1
...
1 1−n On développe selon la première colonne et on se ramène à
a
(b) n(n + 1) ..
Dn =
.
2
(b)
a [n−1]
Exercice 19 : [énoncé]
I) a) Posons n = dim E, p = dim A.
Soit (e1 , . . . , ep ) une base orthonormale de A. On peut la compléter en en
(e1 , . . . , en ) base orthonormale de E.
Puisque A = Vect(e1 , . . . , ep ), on a l’équivalence
x ∈ A⊥ ⇔ ∀i ∈ {1, . . . , p} , (ei | x) = 0
et donc A⊥ = Vect(ep+1 , . . . , en ) puis
E = A ⊕ A⊥
⊥
b) On a dim A⊥ = n − dim A et donc dim A⊥ = dim A.
Or on a aussi
⊥
A ⊂ A⊥
car
∀x ∈ A, ∀y ∈ A⊥ , (x | y) = 0
donc par inclusion et égalité des dimensions, on obtient
A⊥
⊥
=A
II) a) Posons
P (x, y) = xy − y 2 + 1 et Q(x, y) = x2 − xy − 1
Puisque
∂P
∂Q
6=
∂x
∂y
la forme différentielle ω n’est pas fermée.
b) La forme différentielle
θ(x, y) = ω(x, y)f (xy)
est de classe C 1 sur l’ouvert étoilé R2 , elle est donc exacte si, et seulement si, elle
est fermée. Cela équivaut à la satisfaction pour tout (x, y) ∈ R2 de l’équation
(2x − y)f (xy) + y(x2 − xy − 1)f 0 (xy) = (2y − x)f (xy) + x(xy − y 2 + 1)f 0 (xy)
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Corrections
Après simplification, on obtient
(x + y) (f (xy) − f 0 (xy)) = 0
Par suite f est solution du problème posé si, et seulement si, f est solution de
l’équation différentielle
y 0 (t) = y(t)
Après résolution de cette équation différentielle linéaire d’ordre 1, on obtient la
solution générale
f (t) = λet avec λ ∈ R
On obtient alors une primitive U de la fonction forme différentielle étudiée en
résolvant le système

∂U


(x, y) = λexy (xy − y 2 + 1)

∂x
∂U


(x, y) = λexy (x2 − xy − 1)

∂y
17
qui ne tend pas vers 0.
On en déduit que la suite de fonctions (fn ) ne converge pas uniformément sur
]0, +∞[.
II) a) La fonction f est de classe C 1 , f (0, 1) = 0 et
∂f
(0, 1) = 3 6= 0
∂y
donc on peut appliquer le théorème des fonctions implicites définissant φ au
voisinage de 0.
b) Puisque f est de classe C ∞ , le théorème des fonctions implicites assure que φ
est aussi de classe C ∞ au voisinage de 0. En particulier φ est de classe C 3 et donc
admet un développement limité à l’ordre 3. Puisque φ(0) = 1, ce développement
est de la forme
φ(x) = 1 + ax + bx2 + cx3 + o(x3 )
Puisque f (x, φ(x)) = 0 au voisinage de 0, on a
Au terme des calculs, on obtient
x3 + (1 + ax + bx2 + cx3 + o(x3 )) − 3x(1 + ax + bx2 + o(x2 )) = 1
xy
U (x, y) = λ(x − y)e
+C
et donc
Exercice 20 : [énoncé]
I) a) Par contraposée, si (fn ) converge uniformément vers f alors pour n assez
grand kfn − f k∞ existe et kfn − f k∞ → 0.
On a alors
|fn (xn ) − f (xn )| 6 kfn − f k∞ → 0
et donc fn (xn ) − f (xn ) → 0.
b) Pour tout x > 0, fn (x) → 0 donc la suite (fn ) converge simplement vers la
fonction nulle sur ]0, +∞[.
Pour x > a,
1
|fn (x)| 6
1 + a2 n2
donc
1
→0
kfn k∞,[a,+∞[ = sup |fn (x)| 6
1 + a2 n2
x∈[a,+∞[
On en déduit que la suite (fn ) converge uniformément vers la fonction nulle sur
[a, +∞[ (avec a > 0).
Pour xn = π/2n, on a
1
fn (xn ) =
2
1 + π4
x3 + (1 + ax + bx2 + cx3 + o(x3 ))3 − 3x(1 + ax + bx2 + o(x2 )) = 1
ce qui donne
3(a − 1)x + (3a2 − 3a + 3b)x2 + (1 + a3 + 6ab − 3b + 3c)x3 + o(x3 ) = 0
Par unicité des coefficients d’un développement limité, on obtient
a = 1, b = 0 et c = −2/3
Exercice 21 : [énoncé]
I) Les fonctions et sont définies et de classe sur l’intervalle .
Il n’y a pas de réduction remarquable du domaine d’étude
Le tableau des variations simultanées est
En , et La droite d’équation est asymptote, courbe au dessus.
En , et La droite d’équation est asymptote, courbe en dessous.
plot([(uˆ2-1)/u,(uˆ2+1)/(u+1),u=0..5],view=[-8..3,6..6],numpoints=200) ;
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Corrections
18
Courbe donnée par II) a) La suite est bien définie et à termes tous positifs. On en
déduit
et donc .
b) .
c) Puisque , la série diverge par équivalence de séries à termes positifs.
On a aussi
donc
donc la série converge car son terme général est la somme d’un terme vérifiant le
critère spécial et d’un terme sommable.
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