Les nombres réels

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édité le 27 avril 2017
Enoncés
1
Les nombres réels
Exercice 1
Soit
[ 02099 ]
f: R→R
[Correction]
une application telle que :
∀(x, y) ∈ R2 ,f (x + y) = f (x) + f (y);
∀(x, y) ∈ R2 ,f (xy) = f (x)f (y);
∃x ∈ R,f (x) 6= 0.
(a) Calculer
f (0), f (1)
(b) Déterminer
f (x)
(c) Démontrer que
(d) Conclure que
Exercice 2
Soient
et
pour
f (−1).
x∈Z
puis pour
∀x ≥ 0, f (x) ≥ 0.
x ∈ Q.
En déduire que
f
est croissante.
f = IdR .
[ 03404 ]
n ∈ N∗
et
[Correction]
x 1 , . . . , x n ∈ R.
On suppose
n
X
k=1
Montrer que pour tout
xk =
n
X
x2k = n
k=1
k ∈ {1, . . . , n}, xk = 1.
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Corrections
Corrections
2
puis
b(nx)c
b(nx)c + 1
≤ f (x) <
n
n
Exercice 1 : [énoncé]
(a)
f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0)
donc
f (0) = 0.
n → +∞,
f = IdR .
À la limite, quand
Finalement,
on obtient
x ≤ f (x) ≤ x
i.e.
f (x) = x.
∀x ∈ R, f (x) = f (1.x) = f (1)f (x)
Comme f est non nulle, on a f (1) = 1.
f (1) + f (−1) = f (0) = 0 donc f (−1) = −1.
(b) Par récurrence sur
Exercice 2 : [énoncé]
On a
n ∈ N : f (n) = n.
De plus
k=1
f (−n) = f ((−1) × n) = f (−1) × f (n) = −f (n) = −n
(xk − 1)2 =
n
X
k=1
x2k − 2
n
X
xk +
k=1
n
X
1=0
k=1
et puisqu'une somme de quantités positives n'est nulle que si chaque quantité est
nulle, on obtient
donc
∀x ∈ Z, f (x) = x
Pour
n
X
x ∈ Q, x =
p
q
avec
∀1 ≤ k ≤ n, xk = 1
p ∈ Z, q ∈ N∗ ,
1
1
f (x) = f (p × ) = f (p) × f ( )
q
q
Or
f (p) = p
et
1
1
1
1 = f (1) = f (q × ) = f (q) × f ( ) = q × f ( )
q
q
q
donc
f ( 1q ) =
1
q.
Par suite
(c)
f (x) = x.
√ √
√ 2
∀x ≥ 0, f (x) = f ( x x) = f ( x) ≥ 0
Pour
x, y ∈ R,
si
x≤y
alors
f (y) = f (x + y − x) = f (x) + f (y − x) ≥ f (x)
Ainsi
(d) Pour
f
est croissante.
x∈R
et
n∈N
:
b(nx)c
b(nx)c + 1
≤x<
n
n
Comme
f
est croissante :
f(
b(nx)c
b(nx)c + 1
) ≤ f (x) < f (
)
n
n
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