TP Physique 10 Chutes verticales TS I. Chute verticale d`une

TP Physique 10
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Objectifs :
-
Chutes verticales
TS
Savoir appliquer la deuxième loi de Newton
Utiliser un logiciel de pointage vidéo Avimeca
Utiliser un tableur grapheur Regressi pour visualiser l’évolution de la vitesse lors de la chute libre d’un objet
Savoir établir l’équation différentielle traduisant le mouvement d’un objet en chute verticale freinée
Savoir résoudre l’équation différentielle par la méthode numérique d’Euler
Comparer l’évolution de la vitesse de chute déterminée expérimentalement avec celles trouvées par la méthode d’Euler
Trouver l’expression de la force de frottement avec la méthode d’Euler
I. Chute verticale d’une bille dans l’air
1. Pointage vidéo dans le logiciel de traitement vidéo Aviméca
Démarrage du logiciel et ouverture de la vidéo
Ouvrir le logiciel Avimeca dans le répertoire indiqué par le professeur
Pour ouvrir la vidéo, cliquer sur Fichiers puis Ouvrir un clip vidéo… puis
choisir la vidéo « bille_1 _air.avi »
Adapter la taille de la vidéo en cliquant sur Clip puis Adapter (choisir OK)
Lire le clip avec les boutons de lecture, d’avance du bas de l’écran
Choix de l’origine des dates
Si la première image de la vidéo ne correspond pas à la première image que vous
souhaitez pointer, il est possible de choisir artificiellement une première image choisie
comme origine des dates (t = 0) en modifiant le curseur en bas à droite de l’écran
Choisir l’image origine des dates
Etalonnage
Cette étape est essentielle pour préciser l’échelle choisie ainsi que le sens des axes.
Cliquer sur l’onglet Etalonnage en haut à droite
Placer l’origine des axes sur la vidéo grâce à la souris : centrer l’origine sur le premier pointage de la première image choisie
Choisir un des 4 sens proposés pour les axes : choisir le sens de l’axe (Oy) vers le bas
Préciser ensuite l’échelle choisie en cliquant sur Echelle et suivre les 3ères étapes de la consigne donnée (en précisant la
distance entre les 2 repères de la vidéo) : ici, la longueur de la règle suspendue est de d = 0,507 m
Pointage
Revenir sur l’onglet Mesures et effectuer le pointage image par image avec la souris.
Le tableau se remplit automatiquement des valeurs de x et y pour chaque image (date t déjà déterminée).
Exportation du tableau de mesures vers le tableur Regressi
Cliquer sur l’icône
2. Exploitation des mesures dans le tableur Regressi
Appeler le professeur avant d’imprimer les courbes suivantes
a. Graphe y = f(t)
Visualiser la courbe y = f(t).
Modéliser cette courbe par le modèle mathématique le plus adapté.
Imprimer le graphe obtenu.
Analyser le
problème et
rester ZEN…
1.1. Quel est le type de modèle obtenu ? Ecrire son équation. Quel est l’écart relatif entre
les valeurs expérimentales et le modèle mathématique ?
b. Graphe v = f(t)
Créer la grandeur dérivée v, vitesse qui se détermine selon la relation : v =
dy
dt
(car vx≈ 0)
Visualiser la courbe v = f(t).
Modéliser cette courbe par le modèle mathématique le plus adapté.
Imprimer la courbe obtenue.
2.1. Quel est le type de modèle obtenu ? Ecrire son équation. Quel est l’écart relatif entre
les valeurs expérimentales et le modèle mathématique ?
3. Etude théorique de la vitesse de chute de la bille : v = f(t)
3.1. En utilisant la deuxième loi de Newton, après avoir défini le référentiel d’étude et avoir fait le bilan des forces qui s’exercent sur la bille
(on négligera les frottements de l’air et la poussée d’Archimède), écrire l’équation différentielle régissant la vitesse v de la bille.
3.2. Résoudre cette équation pour en déduire l’expression théorique de la fonction v = f(t).
3.3. Cette expression est-elle cohérente avec l’étude expérimentale précédente ? Justifier précisément.
3.4. Pourquoi peut-on parler de chute libre de la bille ?
3.5. La vitesse de la bille va-t-elle cependant augmenter indéfiniment ?
II. Chute verticale d’une bille dans un fluide visqueux
1. Pointage vidéo dans le logiciel de traitement vidéo Aviméca
Procéder comme l’étude précédente avec la vidéo « Bille_glycerol_dilue.avi »
Exporter les mesures dans Regressi.
2. Exploitation des mesures dans le tableur Regressi
a. Graphe y = f(t)
Visualiser la courbe y = f(t).
1.1. Quelle différence y a-t-il entre cette courbe et celle de la partie I.2.a. ?
b. Graphe v = f(t)
Créer la grandeur dérivée v, vitesse qui se détermine selon la relation : v =
dy
dt
Visualiser la courbe v = f(t).
2.1. Quelle différence y a-t-il entre cette courbe et celle de la partie I.2.b. ? Est-ce conforme à votre prévision ? De combien de parties se
composent le mouvement ? Comment les qualifieriez-vous ?
.
2.2. Estimer la vitesse limite atteinte : vlim ≈
rester ZEN…
3. Etude théorique de la vitesse de chute de la bille : v = f(t)
a. Mise en équation
Dans cette partie, la poussée d’Archimède ainsi que les frottements ne sont pas négligés.
La norme de la force de frottement f est du type
f = k.vn où k est une constante et n un nombre compris entre 0,85 et 1,85.
3.1. En utilisant la deuxième loi de Newton, après avoir défini le référentiel d’étude et avoir fait le bilan des forces qui
s’exercent sur la bille, montrer que l’équation différentielle régissant la vitesse v de la bille peut se mettre sous la forme :
dv
= a + b.v n
dt
(1) avec
a=
m − ρ.V
.g
m
et
b=−
k
m
3.2. Avec les données de l’expérience, calculer a (on prendra g = 9,8 m.s-2).
3.3. Exprimer b en fonction de a et de la vitesse limite vlim (équation différentielle lorsque v = vlim).
b. Résolution analytique pour n = 1
3.4. Résoudre analytiquement l’équation (1) lorsque n = 1 : donner l’expression de v = f(t).
c. Résolution par la méthode d’Euler
Pour les autres valeurs de n, on ne sait pas résoudre cette équation (1) : c’est alors que la méthode d’Euler se révèle particulièrement utile.
Principe : la méthode d’Euler est une méthode numérique itérative (un peu comme pour trouver les valeurs consécutives d’une suite
numérique) permettant de donner une solution approchée de l’équation différentielle dans le cas où l’on connaît les conditions initiales.
Elle consiste à approcher les valeurs de la solution recherchée par son approximation affine. On fixe un pas de calcul (suffisamment petit), que
l’on note
∆t . L’approximation affine de la solution permet d’écrire : v(ti+1 ) = v(ti ) +
Ce qui peut également s’écrire :
Puisque
v( ti+1 ) = v( ti ) + [a + b.v n ( ti ) ]. ∆t
[
]
[
]
dv
(ti ) . ∆t
dt
avec
n
n
v(t0 ) = 0 , on a : v(t1 ) = v( t0 ) + a + b.v ( t0 ) . ∆t = 0 + a + b.0 . ∆t = a.∆t =
À partir de
v(t1 ) , on peut établir de la même manière, la valeur v(t2 )
puis
ti+1 = ti + ∆t
…………………………….
v(t3 ) …
Cette méthode numérique itérative permet d’établir un tableau des valeurs successives de v et de tracer point par point la courbe recherchée.
Modélisation à l’aide du tableur OpenOffice Calc ou Excel :
Ouvrir le fichier « bille_glycerol_dilue.xls ». Une feuille de calcul comme ci-dessous s’ouvre alors :
Compléter d’abord les cellules encadrées :
-
en H3, noter la valeur de a calculée à la question 3.2.
-
en K5, noter la valeur de vlim calculée à la question 2.2. ; la valeur de b, en K3, s’affiche automatiquement selon la formule trouvée à la
-
en G7, choisir un pas de calcul ∆t = 0,040 s (plus simple pour comparer avec les valeurs expérimentales).
-
en C7, la valeur de n est initialement fixée à n = 1,5. Il est possible de changer cette valeur avec le bouton à côté.
question 3.3.
Compléter ensuite la colonne « temps » du tableau de valeurs :
-
en B10, pour t0, écrire 0 (si ce n’est pas déjà fait)
-
en B11, pour t1 = t0 + ∆t, écrire : = B10+$G$7 (ne pas oublier le « = » et les $ qui indique l’emplacement absolu d’une cellule).
-
pour t2… : copier la formule en B11 dans les cellules ci-dessous en étirant avec la souris le bas droit de la cellule B11.
Compléter ensuite la colonne « vexp » du tableau de valeurs :
-
recopier à la main les valeurs des vitesses calculées dans Regressi aux différents instants ti (laisser vexp(t0) = 0)
Compléter ensuite la colonne « vEULER » du tableau de valeurs :
-
en D10, pour v(t0), écrire 0 (si ce n’est pas déjà fait)
-
en D11, pour v(t1), écrire : = D10+($H$3+$K$3*D10^$C$7)*$G$7 (attention au « = » et aux $)
Rappels :
-
v( ti+1 ) = v( ti ) + [a + b.v n ( ti ) ]. ∆t
pour v(t2)… : copier la formule en D11 dans les cellules ci-dessous en étirant avec la souris le bas droit de la cellule D11.
Les courbes représentant vexp et VEULER en fonction du temps se tracent alors automatiquement.
Remarque : il est important de savoir tracer une courbe à partir d’un tableau de données avec Open Office ou Excel. Ici, la démarche
est déjà faite mais il faut s’entraîner sur d’autres exemples chez soi !
3.5. Comparer la courbe expérimentale à la courbe obtenue par la méthode d’Euler. Si les courbes ne coïncident pas tout à fait, c’est
certainement que le coefficient n des frottements dans f = k.vn ne convient pas. Modifier le alors pour que les courbes se superposent au mieux :
relever alors la valeur de n, réécrire l’expression de la force de frottements ainsi que l’équation différentielle.
Appeler le professeur avant d’imprimer la feuille de calcul
Imprimer la feuille de calcul ainsi obtenue.
Finalement,
on est plutôt
satisfait d’avoir
été au bout de
son travail…