P4TP3 RESOLUTION DE L`EQUATION DIFFERENTIELLE D`UNE

P4TP3
RESOLUTION DE L’EQUATION DIFFERENTIELLE D’UNE CHUTE
PAR LA METHODE D’EULER
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Objectifs :
Etablir l’équation différentielle d’un mouvement de chute verticale, la force de frottement
étant donnée
Connaître e principe de la méthode d’Euler pour la résolution de l’équation différentielle
Utiliser un tableur pour appliquer la méthode d’Euler
I. Expérience
Une bille d'acier tombe verticalement dans de l'huile. Une vidéo de l'expérience est réalisée.
Les données de l’expérience sont :
 Masse de la bille : m = 4,08 g ;
 Diamètre de la bille : d = 10,0 mm ;
 Volume de la bille V ;
 Masse volumique de la bille : ρ = 7563 kg.m-3 ;
 Masse volumique de l'huile : ρh = 920 kg.m-3 .
 Constante gravitationnelle à la surface de la Terre (intensité de la pesanteur) : g = 9,81 m.s-2
 Entre les graduations 50mL et 500mL de l’éprouvette il y a une distance de 242 mm
II.
Etude de la chute
 Réaliser le pointage vidéo de la chute de la bille avec Latis : le fichier vidéo est « chute bille
huile.avi »
 Représenter v=f(t) et déterminer la vitesse limite.
III.
Modélisation de la chute
Selon le type de force de frottement f que l'on considère, l'équation différentielle du
mouvement sur la vitesse s'écrit :
¿
¿
IV.
Calculer la valeur de la constante B
Calculer, à partir des équations différentielles, les valeurs de A1 et A2 en prenant pour
valeur de v la vitesse limite trouvée en II.
¿ En déduire l’expression l'expression des deux équations différentielles (modèles 1 et
2)
Résolution par la méthode d’Euler
1) Principe de la méthode
Pour des intervalles de temps ∆t "petits" on peut faire l'approximation suivante :
¿ En déduire l’expression de
en fonction de a(t).
∆t est appelé pas d’itération de la méthode d’Euler.
On choisira pour toute l’étude suivante :
La notation t0 = 0s, t1=t0+∆t, t2=t1+∆t , ...
un pas de ∆t = 0,020s ;
une vitesse initiale v0 = v(t0) =0ms-1
2) Résolution du modèle 1
¿ Écrire l’expression de a0 = a(t0), la calculer
¿ Écrire l’expression de v1 = v(t1), la calculer
¿ Écrire l’expression de a1=a(t1), la calculer
¿ Écrire l’expression de v2 = v(t2), la calculer
¿ Écrire l’expression de a2, la calculer
t(en s)
t0 = 0s
v(t) en (ms-1)
v0 = v(t0) =0ms-1
a(t) (en ms-2)
a0 =
t1 = 0 + 0,020
v1 =
a1=
t2=
v2
a2 =
 Ces calculs peuvent être réalisés avec un ordinateur et un tableur
Ouvrir le tableur d’open office « Euler.ods » se trouvant dans l’atelier
 Entrer la valeur du pas ∆t et les valeurs des constantes A1 et B dans les cellules
correspondantes
 Glisser dans le tableur de Latis la vourve v=f(t) et recopier les valeurs des
variables t et Vpointage dans les colonnes correspondantes de la feuille de calcul
d’Open office.
 Écrire la formule de calcul pour calculer la vitesse du modèle 1 VMod_1 dans la cellule
D11 (Utiliser la syntaxe $N°colonne$N°ligne pour fixer la cellule lors des recopies)
 Tirer la formule jusqu’à lacelluleD31 incluse. Vérifier les valeurs de VMod_1
affichées avec celles calculées "à la main".
¿ Le modèle en
pour la force de frottement est-il satisfaisant ? Pourquoi ?
3) Reprendre le même travail sur le tableur pour le modèle 2 (utiliser la fonction PUISSANCE
(nombre ; puissance) comme syntaxe pour calculer v2
¿ Le modèle en
pour la force de frottement est-il satisfaisant ? Pourquoi ?
4) Modèle 3
¿ A partir des deux études précédentes, quelles inégalités peut-on envisager pour
la valeur de n ?
¿ Exprimer puis calculer, à partir de l’équation différentielle, la valeurs de A3 en
fonction de n et de vlim
¿ Écrire la formule de calcul pour calculer v3 et la recopier vers le bas
¿ Chercher la valeur de n donnant la meilleure modélisation
¿ Quelle est alors l’expression de la force de frottement ? calculer sa valeur en
régime permanent
¿ Comparer le poids P de la bille à la valeur f + en régime permanent. Le résultat
était il prévisible ?
V.
Equation différentielle
 Etablir le bilan des forces agissant sur la bille quelque soit t
 En appliquant la relation de la dynamique, retrouver les équations différentielles de la vitesse
v de la bille en fonction du modèle des forces de frottements