d ` homologie d ` intersection

SINGULARITIES AND DIFFERENTIAL EQUATIONS
BANACH CENTER PUBLICATIONS , VOLUME 3 3
INSTITUTE OF MATHEMATICS
POLISH ACADEMY OF SCIENCES
WARSZAWA 1 9 9 6
VARI ÉTÉS
HOMOLOGIQUES
CARACTÉRISATIONDES
ÀL0 AIDE DES INVARIANTS
D ’ HOMOLOGIE D ’ INTERSECTION
J EAN - P AUL
BRA S S E L ET
SiGmA , CIRM - Luminy
Case 91 6 , 1 3288 Marseille Cedex 9 , France
E - mail : jpb @ cirm . univ - mrs . fr
KARL - HEIN Z
F I E S ELER et LUDGER KAUP
Fakult ä t f ü r Mathematik ,
Universit ä t Konstanz
Postfach 5560 , 7750 Konstanz , Germany
E - mail : ba r − t hel @ cauchy . mathe . uni - konstanz . de
La conf é rence de J . P . Brasselet au Symposium de Varsovie a eu pour th è me les probl è
mes
actuels de l ’ homologie d ’ intersection . Nous en pr é sentons ici l ’ un des aspects , r é sultat
d ’ un travail commun r é alis é dans le cadre du programme Procope et pendant lequel le second
auteur a é t é chercheur associ é au CNRS .
1.
Le probl è me . Dans toute la suite les homologies et cohomologies seront prises
à supports lo calement ferm é s et à coefficients dans un anneau R principal , sans diviseur
de zero . On renvoie à[ GoMcP ] et [ KaFi ] pour les d é finitions et notations utilis é es .
Dans leur article sur l ’ homologie d ’ intersection , [ GoMcP , §6 . 4 ] , M . Goresky et R .
Mac - Pherson ont fait la conjecture suivante :
Conjecture . Soit X une pseudovari é t é normale .
Si Ip H∗ (X) → Iq H∗ (X)
est un
is omorphisme , pour toutes perversit é s p < q , alors X est une vari é t é homologique .
H . C . King [ Ki ] , a donn é un contre - exemple à cette conjecture et a montr é qu ’ elle
devient vraie si l ’ on permet des perversit é s plus gé n é rales que celles de M . Goresky
00
et R . MacPherson , appel é es
“ loose perversities
.
Une autre approche consiste à montrer que la conjecture de M . Goresky et R . Mac Pherson est vraie pour les seules perversit é s portant leur nom mais en aj outant une hypoth
è se suppl é mentaire . C ’ est par exemple le cas des pseudovari é t é s normales telles
1 9 9 1 Mathematics Subject Classification : Primary 55 N 33 ; Secondary 57 N 65 . The paper is in
final form and no version of it will be published elsewhere .
[19]
20
J . - P . BRASSELET ET AL .
que les voisinages tubulaires des strates n ’ ont pas de “ monodromie homologique ”
( voir
[ BraSa ] ) . Dans ce travail , nous utilisons les invariants de l ’ homologie d ’ intersection intro
duits dans [ KpFi ] et [ FiKp 1 ] pour donner un crit è re lo cal pour lequel la conjecture est
vraie .
Soit X une pseudovari é t é normale de dimension r é elle n. Nous noterons Pp• le complexe
de Deligne , à coefficients dans R et correspondant à la perversit é( ou tol é rance ) p .
De fa cedilla − c on à comparer l ’ homologie d ’ intersection pour les perversit é s p et q
, on introduit le triangle distingu é :
Pp•
→
-
Pq•
.
Q•
On en d é duit une suite exacte longue de faisceaux d é riv é s
... → Hj Pp• → Hj Pq• → Hj Q• → Hj+1 Pp• → ...
et une suite exacte longue de modules d ’ hypercohomologie
... → Hj (X; Pp• ) → Hj (X; Pq• ) → Hj (X; Q• ) → Hj+1 (X; Pp• ) → ...
dans laquelle le module Hj (X; Pp• ) s ’ identifie àIp Hn−j (X).
R e m a r q u e . Un isomorphisme Ip Hj (X) → Iq Hj (X), c ’ est à dire un isomorphisme
Hj (X; Pp• ) → Hj (X; Pq• ) n ’ implique pas un isomorphisme de faisceaux Hj Pp• → Hj Pq• .
Ainsi , si l ’ on cherche un crit è re global de caract é risation des vari é t é s homologiques
, King montre que l ’ on doit utiliser les “ loose perversities ” . Dans ce qui suit , on donne un
crit è re lo cal , à l ’ aide des seules perversit é s de Goresky et MacPherson .
2.
Rappels sur les invariants de l ’ homologie d ’ intersection . Etant donn
é e une filtration de X :
X = Xn ⊃ Σ = Xn−2 ⊃ · · · ⊃ Xn−k ⊃ · · · ⊃ X0 ⊃ X−1 = ∅
on note Sn−k = Xn−k \ Xn−k−1 et Uk = X \ Xn−k = Uk−1 ∪ Sn−(k−1) .
D é finition [ KaFi , §3 . 1 ] . Soit p une perversit é, on pose pour chaque ouvert
U ⊂X:
aU ( p ) := sup {i ∈ N ∪{∞} : Hj (Pp• ) | U = 0, 1 ≤ j ≤ i}
et a( p ) := aX ( p ) .
R e m a r q u e . Si on a deux perversit é s p et q telles que p ≤ q , alors a( p ) ≥ a( q ) .
R e m a r q u e . X est une vari é t é homologique si et seulement si on a a( p ) = ∞
pour
toute perversit é p .
D é finition [ KaFi , §3 . 3 ] . Soit p une perversit é, on pose :
e • (Pp• ) | Sn−i 6= 0}
k( p ) := min {i ∈ N ∪{∞} : H
e • (Pp• ) = H• (τ ≥1 Pp• ).
oùH
R e m a r q u e . Si on a deux perversit é s p et q telles que p ≤ q , alors k( p ) ≥ k( q ) .
D é finition [ KaFi , §6 ] . On dit que la pseudovari é t éX est exceptionnelle ou de
type
E ( exceptionnel par rapport à R ) si et seulement si :
HOMOLOGIE D ’ INTERSECTION
21
1)k = k( t ) est pair ,
k
− 1.
2
Remarquons qu ’ une pseudovari é t é exceptionnelle X satisfait :
(
0 sij 6= k/2,
j
•
H (Pt ) | Sn−k =
estdetorsionetnonnul sij = k/2.
2)aUk+1 (t) =
En effet , [ KaFi , §5 . 22 ] implique , pour k = k( t ) ,
e j • =∼ Ext (Hk−j P • ; R )⊕ Hom (Hk−j−1 P • ; R )
H
t,X
t,X
Pt ,X
∈
−k
nk
et j
k/2 •
pouraU x(t ) S=
Pt,x est de torsion et non nul , puisque
2 − 1. ≤ k − 2. Par cons é quent , H
k+1
Remarque.
Il n ’ existe é videmment pas de pseudovari é t é exceptionnelle par
rapport à un corps K . Si l ’ anneau R contient un sous - corps K , en particulier si la caract
é ristique
de R est non nulle , alors l ’ homologie d ’ intersection Ip H• (X; R ) , de m ê me que l ’
homologie
locale H•R satisfont à la formule covariante des coefficients universels , R é tant consid é r é
comme espace vectoriel K . Dans ce cas , X est une vari é t é homologique par rapport à R
si et seulement s ’ i l en est ainsi par rapport à K . On pourrait alors , en cherchant les vari é
t é s homologiques , ne pas consid é rer les espaces de type E .
D ’ autre part , si X est une vari é t é homologique par rapport àZp , pour tout p premier ,
alors X est une vari é t é homologique par rapport àZ, puisque l ’ homologie lo cale satisfait
la formule des coefficients universels , m ê me si R n ’ est pas un corps .
Proposition [ KaFi , §6 . 2 ] . Si X n ’ est pas de type E , e t s i p est une
perversit é satis faisant p (k( t )) ≥ n (k( t ) ) , o ù n est la perversit é moiti é supé rieure , alors on
a a( p ) = a( t ) .
Corollaire .
Si X n ’ est pas
de
type E , e t s i la perversit é p
satisfait
l ’ in é galit é
p (k( p )) ≥ n (k( p ) ) , alors on a :
2aUk+1 (p) + 3 ≤ k(p).
La d é monstration du corollaire utilise celle de la proposition ( cf . [ KaFi , §6 . 2 ] ) .
R e m a r q u e . Si on a une stratification d ’ une vari é t é complexe ( en fait , si on a
une
stratification en strates de codimensions paires ) , on peut remplacer , dans la formule du
00
corollaire , “ +3 ” par “ +4
.
Proposition [ KaFi , §6 . 1 ] . Si X n ’ est pas de type E , alors i l vient : k( t ) =
min (k( p ) ,
k(t − p)).
3.
R é sultats et cons é quences sur les vari é t é s homologiques
R é sultat 1.X est une vari é t é homologique s i e t seulement s i X n ’ est pas
de type
E
e t i l existe une perversit é p
t e l le que , en posant k := k( p ) , on a p
]
et
(k) ≥ [ k−1
2
+
2 ≥ k.
2aUk+1 (p)
R é sultat 2.X est une vari é t é homologique s i e t s eulement s i i l existe une
perversit é
p t e l le que , si k := k( p ) , alors p (k) ≥ [ k2 ] e t 2aUk+1 ( p ) + 1 ≥ k.
Comme on a toujours l ’ in é galit éa( p ) ≤ aUk+1 ( p ) , les r é sultats 1 et 2 entra ı̂ nent :
22
J . - P . BRASSELET ET AL .
R é sultat 3.X est une vari é t é homologique s i e t s eulement s i X n ’ est pas de
type E e t s ’ i l existe une perversit é p ≥ n t e l le que 2a( p ) + 2 ≥ n.
R é sultat 4.X est une vari é t é homologique s i e t s eulement s ’ i l existe une
perversit é p ≥ m +1 t e l le que 2a( p ) + 1 ≥ n.
R e m a r q u e . Si k est pair , on peut remplacer “ +2 ” par “ +3 ” dans le r é
sultat 1 .
De m ê me dans le r é sultat 3 , si les strates de la stratification de X sont de codimensions
paires .
En effet , si k est pair , la remarque suivant le corollaire ci - dessus entra ı̂ ne que
2aUk+1 ( p ) + 4 ≤ k, donc 2aUk+1 ( p ) + 3 ≤ k implique aUk+1 ( p ) = ∞.
R e m a r q u e . Si k0 est la codimension maximale des strates , on peut remplacer n
par k0 dans les é nonc é s 3 et 4 .
Exemple 1 ( Cas o ùn = 3). Dans ce cas , la perversit é n = t est la seule perversit
é diff é rente de zero . Pour X normale , le lieu singulier Σ est de codimension k = 3 ou est
vide . Donc , X est une vari é t é homologique si et seulement si a( n ) 6= 0. Comme exemple
singulier , on peut prendre le c ô ne ouvert c̊(L) sur une surface de Riemann compacte L non
rationnelle . Cette construction est à la base du contre - exemple de King ( avec pour L, un
tore ) .
Exemple 2 ( Cas o ùn = 4). Dans ce cas , nous obtenons les r é sult ats suivants :
Si k = 3, et si p (3) ≥ 1, alors , si X n ’ est pas une vari é t é homologique , a( p ) doit ê
tre 0 . Si k = 4, et si X n ’ est pas de type E , alors X n ’ est pas une vari é t é homologique
si et seulement s ’ il existe une perversit é p telle que p (4) ≥ 1 et a( p ) = 0.
Si k = 4, et si X est de type E , alors H1 (Pt• ) | S0 = 0 et H2 (Pt• ) | S0 6= 0, a( t ) = 1.
R e m a r q u e .
Jusqu ’ àpré sent , on a comparé les perversit é s p et 0 .
Il
semble plus int é ressant de comparer p avec des perversit é s moins distantes : Pour un
espace complexe X, topologiquement lo calement intersection compl è te , on peut remplacer
a( p ) = a(0, p ) par a( q , p ) , quel que soit q telle que q (k) ≤ m (k) − 1 pour k ≥ 2.
En utilisant [ FiKp 1 ] et [ FiKp 2 ] , on a un r é sultat analogue dans le cas complexe gé n é
ral , moyennant l ’ invariant tab(X), qui mesure la “ distance ” à une intersection compl è te
lo cale .
R é f é rences
[ BraSa ]
J . - P . B r a s s e l e t et M . S a r a l e g i ,
Vari é t é s homologiques et
homologie d ’ intersec tion , C . R . Acad . Sci . Paris S é r . I 314 ( 1 9 92 ) , 847 – 850 .
[ FiKp 1 ]
K . - H . F i e s e l e r and L . K a u p ,
The vanishing invariants in intersection
homology of complex spaces , dans : S ingularities , Banach Center Publ . 20 , 1 988 , 22 5 – 235 .
[ FiKp 2] − − − , − − − , Quasi - isomorphic perversities and obstruction theory for pseudomanifolds , ibid . , 1 99 – 223 .
[ GoMcP ]
M . G o r e s ky and R . M a c P h e r s o n , Intersection homology theory ,
Topology 1 9 ( 1 9 80 ) , 1 35 – 1 62 .
[ KaFi ]
L . K au p and K . - H . F i e s e l e r , Singular Poincar é duality and intersection
homology , in :
Proc .
1 984 Vancouver Conf .
in Algebraic Geometry , Amer .
Math
.
Soc . , Providence , 1 986 , 1 1 3 – 1 61 .
[ Ki ]
H . K i n g , Intersection homology and homology manifolds , Topology 2 1 ( 1 982 ) , 22
9 – 234 .