4 heures février 2014 Sujet : mathématiques (Obligato

BAC BLANC DE MATHEMATIQUES DU LYCEE SAINT SERNIN
Terminale S Durée : 4 heures février 2014
Sujet : mathématiques (Obligatoire)
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.
Les exercices 1, 3 et 4 sont communs aux spécialistes et non-spécialistes.
Exercice 1 (4 points)
Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième.
Partie A
Un grossiste achète des bouteilles de vins chez deux fournisseurs. Il achète 70 % de ses bouteilles chez le
fournisseur A et 30 % chez le fournisseur B.
10 % des bouteilles provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20 % de celles provenant
du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.
On prélève au hasard une bouteille du stock du grossiste et on considère les évènements suivants :
- évènement A : « la bouteille provient du fournisseur A » ;
- évènement B : « la bouteille provient du fournisseur B » ;
- évènement P : « la bouteille présente des traces de pesticides ».
1) Traduire l’énoncé sous forme d’un arbre pondéré.
2)
a) Quelle est la probabilité de l’événement B ∩ P ?
b) Justifier que la probabilité que la bouteille prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale
à 0, 87.
3) On constate que la bouteille prélevée présente des traces de pesticides.
Quelle est la probabilité que cette bouteille provienne du fournisseur B ?
Partie B
Le gérant d’un restaurant achète 10 bouteilles chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce
dernier est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de 10 bouteilles
avec remise.
On considère la variable aléatoire X qui associe à ce prélèvement de 10 bouteilles, le nombre de bouteilles sans
traces de pesticides.
1) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2) Calculer la probabilité que les 10 bouteilles soient sans trace de pesticides.
3) Calculer la probabilité qu’au moins 8 bouteilles ne présentent aucune trace de pesticides.
4) Combien le gérant peut-il espérer avoir de bouteilles sans traces de pesticides en moyenne ?
Bac Blanc Mathématiques 2014
Page 1
Exercice 2 (5 points)
Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d’elles est vraie ou fausse, en justifiant la
réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Le plan est rapporté au repère orthonormal direct (O ; u, v ) .
1) Soit j le nombre complexe de module 1 et d’argument
2) On considère pour tout z≠2i, z’ =
i+ z
z + 2i
2π
. Affirmation 1 : 1+j+j² = 0.
3
Affirmation 2 : si z = 3 + 4i alors z’ = 1+i.
3) Soit Δ l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant z + i = z − i . Affirmation 3 : Δ est une droite.
π
4) On désigne par F et G deux points du plan dont les affixes respectives f et g vérifient l’égalité
i
f
= 2e 4 .
g
Affirmation 4 : Le triangle OFG est isocèle et rectangle en G.
5) Soit (E) l’équation (z - 4)(z² - 4z +8) où z désigne un nombre complexe. Affirmation 5 : Les points dont les
affixes sont les solutions, dans ℂ, de (E) sont les sommets d’un triangle d’aire 8.
Exercice 3 (5 points)
1
un + n −1.
2
A l’aide de votre calculatrice, donner les premiers termes de la suite jusqu’à u6 à 10-3 près.
La suite (un) est définie par u0 = 1 et ∀n ∈N, un+1 =
1)
2)
a) Démontrer par récurrence que pour tout n ≥ 3, un ≥ 0.
b) En déduire que pour tout n ≥ 4, un ≥ n −2.
c) En déduire la limite de la suite (un).
3)
a) Recopier et compléter cet algorithme permettant de trouver le plus petit entier n0 tel que :
pour tout n ≥ n0, un ≥ 100.
Initialisation
Affecter à U la valeur 1
Affecter à N la valeur 0
Traitement et sortie
Tant que ……
Affecter à U la valeur ……
Affecter à N la valeur ……
Fin du Tant que
Afficher ……
b) Quelle valeur obtient-on avec cet algorithme ? On ne demande pas de justification.
4) On définit la suite (vn) par vn = 4un −8n +24.
a) Démontrer que (vn) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
n
1
b) En déduire que ∀n ∈ N, un = 7   + 2n − 6.
2
c) Déduire du 4b), la limite de la suite (un) et vérifier la cohérence avec la question 3c).
Bac Blanc Mathématiques 2014
Page 2
Exercice 4 ( 6 points)
Partie A : Restitution organisée de connaissances
1) Démontrer que, pour tout réel x, ex > x.
En déduire lim ex.
x →+∞
Partie B :
Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) =
1
[x(1 - e2x) + e2x]
2
On note Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O; i;j ).
1) Déterminer lim f(x).
x →−∞
1 x
x
e [(1 - x)ex +
] et en déduire lim f(x).
x →+∞
2
ex
1
3) Démontrer que f est dérivable sur ℝ et que : f’(x) = [1 + (1 - 2x)e2x]
2
4) Soit u la fonction définie sur ℝ par : u(x) = 1 + (1 - 2x)e2x
a) Déterminer les limites en –∞ et +∞ de u.
b) Etudier le sens de variation de u.
c) Montrer que l'équation u(x) = 0 possède une solution unique α dans l'intervalle [0; 1].
Donner une valeur décimale approchée de α à 10-2 près.
d) Déterminer le signe de u(x) suivant les valeurs de x.
2) Vérifier que, pour tout réel x, f(x) =
5) En déduire le sens de variation de f
1
.
2
Déterminer les coordonnées exactes du point N d'intersection entre T et l'axe des ordonnées.
6) Soit T la tangente à Cf au point d'abscisse
Bac Blanc Mathématiques 2014
Page 3