Probabilités et statistique

DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES
ET DE GÉNIE INDUSTRIEL
MTH2302B - PROBABILITÉS ET STATISTIQUE
TD no 6 : séance du 21 octobre 2016
Exercices du manuel de référence :
7.5 7.6 7.10 7.17 7.26 7.31 7.38 7.42
Exercices supplémentaires
Exercice no 1 Une machine est utilisée pour le remplissage automatique de bouteilles d’un breuvage. La quantité de breuvage versée dans une bouteille est distribuée selon une loi normale (ou
gaussienne) de moyenne ajustable et d’écart type fixe 1, 07 ml. On considère qu’une bouteille est
correctement remplie si elle contient entre 747 et 753 ml de breuvage ; autrement, elle n’est pas
correctement remplie.
a) Supposons que la moyenne soit ajustée à 750 ml. Quel est alors le pourcentage de bouteilles
qui ne sont pas correctement remplies par la machine ?
b) Sous les conditions de a), parmi les bouteilles correctement remplies, quel est le pourcentage
de celles qui contiennent moins de 752 ml ?
c) Sous les conditions de a), quelle est la probabilité qu’un lot de 10 bouteilles en contienne
au moins 2 qui ne soient pas correctement remplies ? Justifier votre réponse et préciser vos
hypothèses.
Exercice no 2 Une ville compte 10 000 unités d’habitation et 2 usines. La demande quotidienne en
eau potable (mesurée en litres) est fonction des informations données par le tableau suivant
Habitation
Usine 1
Usine 2
Notons par QD =
10P
000
variable
Qi , i = 1, . . . , 10 000
U1
U2
moyenne
250
45 000
115 000
écart type
50
5 000
20 000
distribution (loi)
inconnue
normale
normale
Qi la demande domestique, et par QT = QD + U1 + U2 la demande totale.
i=1
a) Calculer la moyenne et l’écart type de la demande domestique et de la demande totale.
b)
c)
Déterminer la valeur de a pour laquelle P (QD ≥ a) = 0, 01.
Déterminer la capacité minimale C (en litres) de l’usine de filtrage si on veut satisfaire la
demande quotidienne totale avec une probabilité d’au moins 0, 999.
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Séance no 6
Exercice no 3 On considère des objets de formes géométriques rectangulaires et planes (voir le
schéma ci-dessous). On suppose que les longueurs (en cm) des côtés X1 et X2 sont des variables
aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon une loi lognormale de paramètres µY =
1 et σY2 = 4.
X2
X1
a)
b)
Quelle est la probabilité que la longueur du côté X1 d’un objet soit supérieure à 8 cm ?
On s’intéresse à l’aire A de la face supérieure des objets considérés. Quelle est la proportion
d’objets ayant une aire inférieure à 45 cm2 .
Exercice no 4 On considère le poids X et la taille Y des individus d’une population forment un
vecteur aléatoire [X, Y ] de loi binormale de paramètres µX = 75 kg, µY = 178 cm, σX = 10 kg,
σY = 12 cm, ρ = 0,9.
a) Si un individu de cette population pèse 80 kg, quelle est la probabilité qu’il mesure plus de
178 cm ?
b) Si un individu de cette population mesure 160 cm, quelle est la probabilité qu’il pèse moins
de 75 kg ?
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Séance no 6