Arithmétique - Alain Troesch

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
2014/2015
A. Troesch
Algèbre 3 – Arithmétique
Exercice 1 – Soit a et b tels que 7 divise a2 + b2 . Montrer que 7 divise a et 7 divise b. Comment généraliser ?
Exercice 2 – Soit (a, b, c) ∈ N3 tel que 9 divise a3 + b3 + c3 . Montrer que 3 divise a, b ou c.
Exercice 3 – (CCP)
Déterminer la valuation 2-adique de
2n
Y
k.
k=n+1
Exercice 4 – (CCP)
Quel est le reste de la division euclidienne de
10
X
k
1010 par 7 ?
k=1
Exercice 5 –
n
1. Soit, pour tout n ∈ N, Fn = 22 + 1, le n-ième nombre de Fermat. Montrer que pour tout (m, n) ∈ N2 tel que
m 6= n, Fm ∧ Fn = 1.
2. Donner une preuve, basée sur la question 1, du fait qu’il existe une infinité de nombre premiers.
Exercice 6 – Démontrer que pour tout n ∈ N∗ :
1. 106n + 103n − 2 ≡ 0 [111]
2. 72n+1 − 48n − 7 ≡ 0 [288]
Exercice 7 – Démontrer que pour tout n ∈ N :
n
n
1. 42 + 22 + 1 ≡ 0 [7]
2. 22n + 15n − 1 ≡ 0 [9].
Exercice 8 – Soit (a, b, c) ∈ (N∗ )3 , tel que a > 1.
1. Montrer que (ab − 1) ∧ (ac − 1) = ab∧c − 1.
2. En déduire que si b ∧ c = 1, alors (ab − 1)(ac − 1) divise (a − 1)(abc − 1).
Exercice 9 – Déterminer {(m, n) ∈ N2 | 2m − 3n = 1}
Exercice 10 – Soit a1 , . . . an ∈ N∗ , n > 2 et M = a1 . . . an , µ = a1 ∨ a2 ∨ · · · ∨ an , Mi =
M
ai
(1 6 i 6 n) et
∆ = M1 ∧ M2 ∧ · · · ∧ Mn .
1. Montrer que M = µ∆
2. Soit R = M1 ∨ M2 ∨ · · · ∨ Mn et D = a1 ∧ a2 ∧ · · · ∧ an . Prouver que M = RD.
Exercice 11 – Soit a et b dans N∗ , deux nombres premiers entre eux. Soit S = {ax + by, (x, y) ∈ N2 }. Montrer qu’il
existe un entier m0 tel que pour tout entier m > m0 , m ∈ S. Quelle ets la valeur minimale de m0 ?
Exercice 12 – Montrer que pour tout n ∈ N, n7 ≡ n [42].
Exercice 13 – Soit, pour tout n ∈ N, pn le n-ième nombre premier. En considérant p2 · · · pn − 2, montrer que pour tout
n ∈ N,
n
Y
pi > pn+1 + pn+2 .
i=1
1
Exercice 14 –
1. Soit n un nombre impair. Montrer que n2 ≡ 1 [8] et n4 ≡ 1 [16].
2. Généraliser.
3. Soit p un nombre premier strictement supérieur à 17. Montrer que p16 − 1 ≡ 0 [16320].
Exercice 15 – Soit m, n et k des entiers strictement supérieurs à 1 tels que m = nk. Montrer que (n!)k ∨ (k!)n divise
m!.
Exercice 16 – Montrer que pour tout (m, n) ∈ N2 ,
(2m)!(2n)!
est un entier.
m!n!(m + n)!
Exercice 17 – (Olympiades 1975) Soit A la somme des chiffres de 44444444 et B la somme des chiffres de A. Trouver
la somme des chiffres de B ; la numération est la numération décimale.
Exercice 18 – Critères de divisibilité
1. Montrer qu’un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
2. Montrer qu’un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
3. (a) Montrer qu’un nombre est divisible par 11 si et seulement si ses chiffres cn , . . . , c0 (c0 étant le chiffre des unités)
n
X
(−1)i ci ≡ 0 [11].
vérifient
i=0
(b) 978381778401775 est-il divisible par 11 ?
4. (a) Trouver de même un critère de divisibilité par 7.
(b) Le nombre 231442433142493650563 est-il divisible par 7 ?
5. Justifier que pour tout nombre N > 1 premier avec 10, on peut trouver une suite (an )n∈N , k périodique (k ∈ N∗ ),
telle qu’un nombre dont les chiffres sont cn , cn−1 , . . . , c0 est divisible par N si et seulement si
n
X
ak ck ≡ 0 [N ].
k=0
Exercice 19 – Nombres de Fibonacci
Soit pour tout n ∈ N, Fn le n-ième nombre de Fibonacci. Montrer que pour tout (m, n) ∈ N2 , Fm∧n = Fm ∧ Fn .
Exercice 20 – (Formule d’inversion de Möbius)
On définit la fonction de Möbius par :



0
si n est divisible par un carré non égal à 1


∀n ∈ N∗ , µ(n) = 1
si n est le produit d’un nombre pair de facteurs premiers



−1 si n est le produit d’un nombre impair de facteurs premiers
1. Montrer que pour tout (m, n) ∈ (N∗ )2 , si m ∧ n = 1, alors µ(mn) = µ(m)µ(n).
P
2. Montrer que pour tout n ∈ N∗ , d|n µ(d) = δ1,n , où δi,j est le symbole de Kronecker, égal à 1 si i = j et 0 sinon.
3. Montrer que réciproquement, si ν est une fonction vérifiant l’identité de la question précédente, alors ν = µ.
4. Soit f et g deux fonctions telles que pour tout n ∈ N∗ ,
g(n) =
X
f (d).
d|n
Montrer (formule d’inversion de Möbius) :
∀n ∈ N∗ , f (n) =
X
g(d)µ
d|n
2
n
d
=
X
d|n
µ(d)g
n
d
.
5. Soit ϕ l’indicatrice d’Euler. En effectuant un tri des éléments de Z/nZ, montrer que pour tout n ∈ N∗
ϕ(n) X
µ(d)d.
=
n
d|n
Exercice 21 – Étudier l’inversibilité modulo n de k, et le cas échéant, trouver les inverses modulo n des entiers k.
1. k = 1685, n = 1759
2. k = 1770, n = 1827
3. k = 1882, n = 1971
4. k = 1809, n = 1847
5. k = 1911, n = 1940
6. k = 1810, n = 1849
Exercice 22 – Trouver les solutions entières de l’équation en (x, y) :
1955x + 1981y = 2.
Exercice 23 – Résoudre a ∧ b = 42 et a ∨ b = 1680.
Exercice 24 – Montrer que si a ≡ b [n] alors an ≡ bn [n2 ].
Exercice 25 – Combien l’équation x2 = 1 admet-elle de solutions dans Z/nZ ? Déterminer les valeurs de n pour lesquelles
il y a exactement 2 racines.
Exercice 26 – (Théorème de Wilson)
1. Montrer que si p est premier, alors (p − 1)! ≡ −1 [n] (théorème de Wilson).
2. Montrer que si n n’est pas premier, n > 4, alors (n − 1)! ≡ 0 [n]. En déduire que le théorème de Wilson fournit une
caractérisation des nombres premiers.
3. Montrer plus généralement que dans tout corps fini K,
Y
x = −1.
x∈K ∗
Exercice 27 – On admet dans cet exercice qu’un polynôme de degré n à coefficients dans un corps K admet au plus n
racines dans K. Soit p un nombre premier
1. Montrer que F∗p contient autant de carrés que de non carrés.
2. Montrer que pour tout a ∈ Fp :
a
p−1
2

1
si a est un carré
=
−1 sinon.
3. En déduire que pour que −1 soit un carré dans Fp , il faut et il suffit que p ≡ 1 [4].
Exercice 28 –
1. Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers p vérifiant p ≡ 3 [4] (on pourra considérer αp1 · · · pn − 1, où
α est convenablement choisi)
2. Soit a et d deux entiers. À l’aide du petit théorème de Fermat, montrer que si d divise a2 + 1, alors d ≡ 1[4].
3. En déduire qu’il existe une infinité de nombres premiers p tels que p ≡ 1[4].
Ceci est un cas particulier du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet, stipulant que si a et b sont premiers
entre eux, il existe une infinité de nombres premiers congrus à b modulo a.
Exercice 29 – Considérons 1789 entiers dont la somme est nulle. Montrer que la somme de leurs puissances 37-ièmes est
divisible par 399.
3