Projet de fin d`étude. Filière SMA

L’espace des fonctions continues
Projet de fin d’étude.
Filière SMA – Licence
Faculté de Sciences Semlalia
Auteur : Youssef BOUCHAMA
Catégorie : Sciences Mathématique
Myprojectz,
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destinée aux étudiants et aux chercheurs.
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L’espace des fonctions continues
Youssef BOUCHAMA
0
2
0
TABLE DES MATIÈRES
Table des matières
1
Convergence simple et convergence uniforme
2
Théorème d‘Ascoli
2.1 Équicontinuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Théorème d‘Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
12
3
Théorème de Stone Weierstrass
3.1 l’algèbre C(E, K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 théorème de Stone Weierstrass cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 théorème de Stone Weierstrass cas complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
15
15
18
4
Propriétés algébriques de C(K)
4.1 Idéaux maximaux de C(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Automorphisme de C(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
21
22
3
7
0
TABLE DES MATIÈRES
REMERCIEMENTS
J0exprime ma profonde reconnaissance à mon encadrant le professeur M.LALAOUI
qui a assuré avec beaucoup d’intérêt l’encadrement de ce mémoire. Je le remercie
pour ses remarques, ses conseils et de m’avoir tracé le bon itinéraire pour avancer
avec succès dans ce travail.
Je remercie également les membres de jury :les Professeurs Mohamed AKKOUCHI et Houcine BENABDELLAH qui ont bien accepté de faire partie du jury de ce
mémoire.
Mes remérciements vont également au Professeur M.HOUIMDI qui nous a initié
au logiciel de traitement de texte scientifique LATEX et à tous les Professeurs du
département de Mathématiques qui nous ont assurés les cours de cycle de LICENCE.
J’exprime mes sincères remerciements et ma profonde gratitude à toute ma famille qui m’a soutenue et encouragée tout au long de mes études en l’occurrence
durant cette période de travail intense et difficile. Je remercie aussi tous mes camarades de la filière SMA qui m’ont aidés et soutenus durant toute l’année.
4
Introduction
Dans ce mémoire, on étudie quelques propriétés topologiques des espaces de
fonctions continues sur des compacts. Ce mémoire est formé de quatre chapitres :
Dans le chapitre 1, on donne quelques rappels sur la notion de convergence simple
et convergence uniforme.
Le chapitre 2, fera l’objet de l’étude du théorème d’Ascoli qui par l’introduction
de la notion d’équicontinuitè , nous servira à illustrer la puissance du formalisme
topologique sur des espaces abstraits comme les espaces de fonctions.
Dans le chapitre 3, on démontre le théorème de Stone-Weierstrass, qui donne des
critères de densités pour les sous espaces des fonctions continues.
Enfin, dans le chapitre 4, on traite quelques propriétès algébriques de l’espace
des fonctions continues, plus précisément on caractérise les idéaux maximaux et les
automorphisme de C(K) où K est un compact.
Dans tout ce mémoire étant donné deux espaces métriques X et Y, on note par
B(X,Y )l’ensemble des applications bornées de X dans Y , par C (X,Y ) l’ensemble
des applications continues de X dans Y .
5
0
TABLE DES MATIÈRES
6
Chapitre
1
Convergence simple et convergence uniforme
Contexte
Soit X une partie non vide .
Soit fn une suite d’application de (X, d) dans un espace métrique (Y, d 0 ).
Définition 1
1 On dit que la suite d’application ( fn )n∈N converge simplement sur X vers une
application f si :
∀x ∈ X, ∀ε > 0, ∃N(x, ε) ∈ N (n > N(x, ε) ⇒ d 0 ( fn (x), f (x)) < ε).
On note alors :
CS
fn −→ f sur X.
2 On dit que la suite d’application ( fn )n∈N converge uniformément sur X vers
une application f si :
∀ε > 0, ∃N(ε) ∈ N, ∀n ∈ N (n > N(ε) ⇒ ∀x ∈ X d 0 ( fn (x), f (x)) < ε).
On note alors :
CU
fn −→ f sur X.
Remarque
La convergence uniforme entraine la convergence simple.
Définition 2
La topologie définie par d∞ sur B(X,Y ) est dite topologie de la convergence
uniforme :
d∞ ( f , g) = sup d 0 ( f (x), g(x)).
x∈ X
7
1
CHAPITRE 1. CONVERGENCE SIMPLE ET CONVERGENCE UNIFORME
Proposition 1
Soit fn une suite de fonctions continues sur un espace métrique (X, d) à valeurs
CU
dans un métrique (Y, d 0 ) on suppose que fn −→ f sur X. Alors la fonction limite
f est continue sur X.
Démonstration
On suppose que la suite fn converge uniformément sur X vers une application f .
Soit a ∈ X.
Montrons que f est continue en a :
CU
Soit ε ∈ R∗+ , on a fn −→ f .
Alors :
ε
∃N ∈ N ∀n ∈ N (∀n > N =⇒ ∀x ∈ X d 0 ( fn (x), f (x)) < ).
3
On sait que fN est continue en a :
Donc :
ε
∃η ∈ R∗+ ∀x ∈ X d(x, a) < η =⇒ d 0 ( fN (x), fN (a)) < .
3
Pour un tel η ,on a alors :
d(x, a) < η =⇒ d 0 ( f (x), f (a)) < d 0 ( fN (x), f (x))+d 0 ( fN (x), fN (a))+d 0 ( fN (a), f (a)) < ε
On en déduit que f est continue sur X. Remarque
La proposition précèdante permet de dire que l’ensemble Cb (X,Y )de fonctions continues bornées d’un espace métrique X dans un espace métrique Y est une partie fermée de B(X,Y ).
Proposition 2
Soient X un ensemble et Y un espace métrique. Si Y est complet alors l’espace
métrique (B(X,Y ), d∞ ) est lui aussi complet.
Démonstration
Soit fn une suite de Cauchy dans B(X,Y ).
Donc :
∀ε > 0 ∃Nε ∈ N telque ∀n > Nε ∀m > Nε on a : d∞ ( fn , fm ) < ε.
Soit x fixé ,donc on a :
d 0 ( fn (x), fm (x)) < ε.
Alors pour chaque x ∈ X,la suite fn (x) est de Cauchy dans l’espace complet Y, notons
f (x) sa limite.
8
1
Montrons que f est bornée :
Soit y ∈ Y .
On a :
∀ε > 0 ∃Nε ∈ N tel que ∀n > Nε ∀m > Nε on a : d∞ ( fn , fm ) < ε
Soit x fixé :
∀ε > 0 ∃Nε ∈ N telque ∀n > Nε ∀m > Nε
on a : d 0 ( fn (x), fm (x)) < ε.
Pour ε = 1, m = N1 on a :
d 0 ( fn (x), y) 6 d 0 ( fn (x), fN1 (x))+d 0 ( fN1 (x), y) 6 1+d 0 ( fN1 (x), y) 6 1+d∞ ( fN1 , y) 6 1+M
avec d∞ ( fN1 , y) = M.
Par passage à la limite quand n tend vers l’infini montre que f est bornée.
CU
Montrons que fn −→ f :
On a :
∀ε > 0 ∃Nε ∈ N tel que ∀n > Nε ∀m > Nε on a : d∞ ( fn , fm ) < ε.
En faisant tendre m vers l’infini
Donc on a :
d∞ ( fn , f ) < ε.
CU
Alors fn −→ f .
Donc (B(X,Y ), d∞ ) est complet. Théorème 1 ( Théorème de Dini)
Soit K un espace métrique compact .Soit ( fn )n∈N une suite d’applications continues sur K et à valeurs réelles on suppose que :
– ∀x ∈ K la suite ( fn (x))n∈N est croissante.
– la suite fn converge simplement sur K vers une fonction f .
– la fonction limite f est continue sur K.
alors fn converge uniformément sur K vers f .
Démonstration
Soit ε ∈ R∗+ . Pour montrer que ( fn )converge uniformément sur K vers f , il faut trouver N tel que :
n > N =⇒ ∀x ∈ K | fn (x) − f (x) |< ε.
Posons : gn (x) = f (x) − fn (x).
On a f et fn sont continues sur K donc gn est continue sur K.
9
1
CHAPITRE 1. CONVERGENCE SIMPLE ET CONVERGENCE UNIFORME
CS
De plus fn −→ f et fn est croissante.
Donc f (x) − fn (x) ≥ 0.
Alors gn est positive et décroissante
Considérons pour chaque entier n > 0 :
Un = {x ∈ K/ gn (x) < ε}.
La suite Un est une suite croissante d’ouverts qui recouvrent K.
Puisque K est compact il existe une partie finie J de N telle que :
[
Uj = K
j∈J
Or Un est croissante ,ilexiste N(ε) telque
[
U j = UN(ε) avec N(ε) = maxJ.
j∈J
D’où :∀n > N(ε) ∀x ∈ K
0 6 gn (x) 6 gN(ε) (x) < ε.
D’où :∀x ∈ K f (x) − fn (x) < ε.
CU
Alors : fn −→ f . Remarque
Le théorème de Dini reste vrai si :∀x ∈ K la suite ( fn (x))n∈N est décroissante.
Exemples 1
On définit un par u1 = 0 et pour n > 1 :
1
un+1 (t) = un (t) + (t − u2n (t))
2 √
Démontrons par récurrence que un+1 > un et un (t) 6 t dans [0, 1].
On a :
√
√
1
t − un+1 (t) = t − un (t) − (t − u2n (t))
2
Soit :
√
√
1 √
(2)
t − un+1 (t) = ( t − un (t))(1 − ( t + un (t))).
2
√
√
On a : u1 = 0 6 t, et, si t > un (t), alors pour t ∈ [0, 1] on a :
√
1 √
( t + un (t)) 6 t 6 1.
√2
√
Et d’après
(2),
on
a
donc
:
t
−
u
(t)
>
0
et
u
(t)
6
t pour t ∈ [0, 1].
n+1
n+1
√
On a : t > un (t) pour tout n et tout t ∈ [0, 1] .
La relation (1) montre que un (t) 6 un+1 (t) , la suite (un (t)) est croissante et bornée
donc converge vers une limite v(t).
D’après la relation (1) la fonction v doit vérifier :
√
1
v(t) = v(t) + (t − v2 (t)) =⇒ v(t) = t.
2
Comme v est continue et la suite (un ) est croissante, le théorème de Dini prouve que
(un )n∈N converge uniformément vers v.
(1)
10
Chapitre
2
Théorème d‘Ascoli
Le théorème d’Ascoli énoncé par le mathématicien italien GIULOI Ascoli est
un puissant résultat caractérisant les parties relativement compactes de l’espace des
fonctions continues définies sur un espace compact à valeurs dans un espace métrique.
2.1
Équicontinuité
Définition 3
Soient (X, d) et (Y, d 0 ) deux espaces métriques.
Soit H une partie de C(X,Y ) et soit x0 ∈ X on dit que H est équicontinue en x0
si :
∀ε > 0 ∃V ∈ ϑ(x0 ) ∀x ∈ V ∀ f ∈ H d 0 ( f (x), f (x0 )) < ε)
i.e :
∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x ∈ X d(x, x0 ) < η =⇒ ∀ f ∈ H
d 0 ( f (x), f (x0 )) < ε.
• H est dite équicontinue si elle est équicontinue en tout point de X.
• H est dite uniformément équicontinue si elle satisfait la condition suivante :
∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x, y ∈ X d(x, y) < η =⇒ ∀ f ∈ H
d 0 ( f (x), f (y)) < ε.
Remarque
∗ Si f désigne une application continue de X dans Y , l’ensemble { f } est équicontinue
mais n’est uniformément équicontinue que si f est uniformément équicontinue.
∗ Toute partie finie de C(X,Y ) est équicontinue.
∗ Toute partie d‘une partie équicontinue est équicontinue.
∗ Pour tout réel k > 0, l’ensemble des fonctions k − Lipschitzienne est uniformément
équicontinue.
11
2
CHAPITRE 2. THÉORÈME D‘ASCOLI
Exemples 2
πx
fn (x) = n sin( ) est équicontinue ∀x ∈ [−1, 1] en effet :
2n
∀x, y ∈ [−1, 1] on a : | fn (x) − fn (y) |6 π2 | x − y | donc elle est lipschitzienne et par
conséquent elle est équicontinue.
Proposition 3
Soit X un espace métrique compact et soit Y un espace métrique. Toute partie
équicontinue H de C(X,Y ) est uniformément équicontinue.
Démonstration
Soient H une partie équicontinue de C(X,Y ) ,ε un réel strictement positif et y dans X.
ε
Par hypothèse : ∀x ∈ X ∃ηx > 0 d(x, y) < ηx =⇒ ∀ f ∈ H d 0 ( f (x), f (y)) < .
2
Comme X est compact, par la propriété de Borel-Lebesgue, on peut choisir un nombre
fini de points x1 , · · · , xr tels que :
X=
[
B(x j , ηx j /2) avec j = 1, · · · , r
j
Soit η = inf (ηx j /2).
1≤ j≤n
Soient x et y deux points de X tel que d(x, y) < η.
Si x ∈ X alors il existe j ∈ {1, ..., r} tel que x ∈ B(x j , ηx j /2)
Alors x et y ∈ B(x j , ηx j ). Donc pour tout f ∈ H :
d 0 ( f (y), f (x)) 6 d 0 ( f (y), f (x j )) + d 0 ( f (x j ), f (x)) 6
2.2
ε ε
+ = ε.
2 2
Théorème d‘Ascoli
On rappelle tout d’abord la notion métrique de précompacité :
Définition 4
Un espace métrique (X, d) est dit précompact si pour tout ε > 0 il existe un
entier N et des éléments x1 ; ...; xN de X tels que :
X=
[
B(xi , ε)
16i6N
12
2
2.2. THÉORÈME D‘ASCOLI
Théorème 2 (Théorème d‘Ascoli)
soit X un espace compact et Y un espace métrique complet ,pour chaque partie
H de C(X,Y ) il y’a équivalence entre les conditions suivantes :
a H est relativement compact dans C(X,Y )(pour la distance de la conver
gence uniforme).
b (α) H est équicontinue sur X .
et
(β) Pour tout x ∈ X, H(x) est relativement compact sur Y.
Démonstration
Rappelons que C(X,Y) est complet pour la distance de convergence uniforme notèe
d∞
a =⇒ b : Supposons que H soit compact.
Pour chaque ε > 0 ,il existe des fonctions fi ∈ C(X,Y ) ( i ∈ J1, nK) en nombre fini
telles que :
H ⊂ H̄ ⊂
[
B( fi , ε).
16i6n
On en déduit immédiatement que pour chaque x ∈ X :
On a :
[
H(x) ⊂
BY ( fi (x), ε)
16i6n
comme l’adhérance d’une partie prècompacte est prècompacte.
Alors H(x) est prècompacte, et fermée dans Y.
Comme Y est complet alors H(x) est complète.
Et par conséquent H(x) est compacte.
=⇒ (β) est démontrée .
Montrons (α) : Pour chaque x ∈ X et chaque i ∈ J1, nK fi est continue en x.
Donc il existe un voisinage Ui (x) de x dans X tel que pour tout y ∈ Ui (x)
on ait :
d 0 ( fi (x), fi (y)) 6 ε.
Pour chaque x dans X posons U(x) =
\
Ui (x)
16i6n
Soit f ∈ H et soit i tel que f ∈ B( fi , ε), alors pour y ∈ U(x).
on a :
d( f (y), f (x)) ≤ d( f (y), fi (y)) + d( fi (y), fi (x)) + d( fi (x), f (x)) ≤ 3ε.
Ce qui montre que H est équicontinue en x pour tout x ∈ X.
réciproquement :
On va montrer que H est prècompacte , comme dans un espace métrique l’adhèrance
13
2
CHAPITRE 2. THÉORÈME D‘ASCOLI
d’un prècompacte est un prècompacte , on aura H est prècompacte et fermée dans
l’espace C(X,Y) donc H sera compacte et par conséquent H sera relativement compact.
Soit ε > 0 d’après (α) pour tout x ∈ X, il existe un voisinage ouvert U(x) de x tel
que pour tout y dans U(x) et toute f ∈ H, on ait :
(1) d( f (x), f (y)) ≤ ε.
Comme X est compact on peut recouvrir
X par un nombre fini d’ouverts U(x) ,et il
[
existe x1 . . . xn ∈ X tels que : X =
U(xi ).
16i6n
D’après (β) [
pour chaque entier i ∈ J1, nK , H(xi ) est relativement compact dans Y.
Donc K =
H(xi ) est relativement compact dans Y.
16i6n
Donc il existe un nombre fini de points de Y ,soient y1 . . . yn tels que :
K⊂
[
B(yi , ε).
16i6m
Soit φ l’ensemble de toutes les fonctions de {1, 2, . . . , n} dans {1, 2, . . . , m}
Pour chaque fonction ϕ ∈ φ , soitHϕ l’ensemble des fonctions f ∈ H telles que :
pour tout i ∈ J1, nK, on ait :
(2) d( f (xi ), yϕ(i) ) 6 ε
Par construction on a :H =
[
Hϕ .
ϕ∈φ
Montrons pour toute ϕ ∈ φ, on a : d∞ (Hϕ ) 6 4ε , ce qui terminera la preuve.
Soient f,g dans Hϕ ,soit x ∈ X et soit i ∈ J1, nK tel que x ∈ U(xi ) on a d’après (1) :
d( f (x), f (xi )) 6 ε et d(g(x), g(xi )) 6 ε
D’après (2) :
d( f (x), g(x)) 6 d( f (x), f (xi )) + d( f (xi ), yϕ(i) ) + d(yϕ(i) , g(xi )) + d(g(xi ), g(x))
Et il en résulte : d( f (x), g(x)) 6 4ε .
Comme x est quelconque dans X on obtient d∞ (Hϕ ) 6 4ε
Corollaire 1
Soient X un espace compact et Y un espace métrique complet. Si ( fn )n∈N est une
suite équicontine de C(X,Y ) telle que pour tout x ∈ X, l’ensemble des ( fn (x)) soit
relativement compact dans Y, alors on peut extraire de ( fn ) une suite convergeant
uniformément dans X.
14
Chapitre
3
Théorème de Stone Weierstrass
Dans toute la suite on munit, C(E, K)(K=R, ou C) de la topologie de la convergence uniforme.
3.1
l’algèbre C(E, K)
Pour tout espace métrique E ,le K-espace vectoriel C(E, K) peut être muni d’une
multiplication pour f et g dans C(E, K) et x ∈ E on pose :
( f g)(x) = f (x)g(x)
(1)
Il est facile de vérifier que ( f , g) −→ f g est une application K bilinéaire et associative , donc C(E, K) est muni d’une structure d’anneau dont l’élément neutre est la
fonction identiquement nulle et qui a pour élément unité la fonction constante égale
à 1.
Pour tout λ ∈ K et tout couple f,g de C(E, K) on a :λ( f g) = f (λg) = (λ f )g
On dit alors que C(E, K) est une K algèbre .
Lemme 1
Pour toute partie A de C(E, K) qui est une sous algèbre l’adhérence A de A est
encore une sous algèbre.
Démonstration
Découle du fait que dans C(E, K) la somme et le produit de deux suites uniformément
convergentes sont convergentes.
3.2
théorème de Stone Weierstrass cas réel
Définition 5
On dit qu’une partie A de C(E, K) sépare les points de E si pour tout couple (x,y)
de points distincts de E, il existe une fonction f de A telle que f (x) 6= f (y).
15
3
CHAPITRE 3. THÉORÈME DE STONE WEIERSTRASS
Théorème 3 (théorème de Stone Weierstrass cas réel)
Soit E un espace métrique compact si une sous algèbre A de C(E,R) contient les
fonctions constantes et sépare les points de E. Alors A est dense dans l’espace
de Banach C(E, R).
La démonstration va se faire en prouvant successivement plusieurs résultats intermédiaires :
Lemme 2
Il existe un suite de polynômes réels un définies
sur [0, 1] est croissante et
√
converge uniformément vers la fonction t −→ t.
Démonstration
On définit un par récurrence en posant u1 = 0 et pour n > 1 :
1
un+1 (t) = un (t) + (t − u2n (t))
2
√
Démontrons par récurrence que un+1 > un et un (t) 6 t dans [0, 1]. voir exemple 1
de théorème de Dini.
(1)
Lemme 3
Pour toute fonction f de A, la fonction | f | appartient à Ā.
Démonstration
Posons a =k f k = sup| f (x)|.
x∈E
Et considérons la suite de fonctions :
vn : x −→ un (
f 2 (x)
)
a2
On peut supposer a 6= 0, car sinon f = 0 et | f | = f ∈ A.
f 2 (x)
On a alors pour tout x ∈ E :
∈ [0, 1] et vn est bien définie.
a2
De plus comme A est une algèbre et comme un est un polynôme, donc vn ∈ A pour
tout n.
Soit ε > 0, il existe n0 tel que pour tout n > n0 , on ait :
√
sup |un (t) − t| 6 ε.
t∈[0,1]
( f (x))2
Soit n > n0 , pour tout x dans E on a :
∈ [0, 1] ; donc
a2
s
( f (x))2
| 6 ε.
sup|vn (x) −
a2
x∈X
16
3
3.2. THÉORÈME DE STONE WEIERSTRASS CAS RÉEL
Ceci montre que la suite (vn ) converge uniformément dans C(E,R) vers la fonction
s
( f (x))2 | f (x)|
x −→
=
a
a2
On a donc :
|f|
a
∈ A et comme A est une sous algèbre on a :
|f| = a
|f|
∈ A.
a
Lemme 4
Soient f1 , . . . , f p des fonctions de Ā avec p > 2 alors les fonctions inf( f1 , . . . , f p )
et sup( f1 , . . . , f p ) appartiennent à Ā.
Démonstration
Montrons-le pour p=2 en prenant f = f1 et g = f2 .
On a :sup( f , g) = 21 ( f + g + | f − g|) et in f ( f , g) = 21 ( f + g − | f − g|)
En utilisant lemme 2 pour la sous-algèbre Ā, on voit que sup( f , g) et inf( f , g) sont
dans Ā¯ = Ā.
Pour p > 2 on a :
in f ( f1 . . . f p ) = in f ( f1 , in f ( f2 . . . f p )) et sup( f1 , sup( f2 . . . f p )).
Donc par récurrence on montre que :inf( f1 . . . f p ) ∈ Ā et sup( f1 . . . f p ) ∈ Ā.
Lemme 5
Pour tout couple de points distincts x,y de E et tout couple de nombres réels
α , β il existe une fonction f de A telle que f (x) = β et f (y) = α.
Démonstration
Par hypothèse, il existe une fonction g de A telle que g(x) 6= g(y) comme A contient
les fonctions constantes, la fonction f de E dans R
z −→ β + (α − β)
g(z) − g(x)
g(y) − g(x)
appartient à l’algèbre A et vérifie f (x) = β et f (y) = α.
Lemme 6
Pour toute fonction f ∈ C(E, R), tout point x de E et tout ε > 0, il existe une
fonction g de Ā telle que : g(x) = f (x) et g(y) 6 f (y) + ε pour tout y dans E .
17
3
CHAPITRE 3. THÉORÈME DE STONE WEIERSTRASS
Démonstration
Soient f , x et ε > 0 montrons d’abord que pour chaque y dans E il existe hy tel que :
hy (x) = f (x) et hy (y) 6
ε
+ f (y)
2
(3)
Si y=x, il suffit de poser hx = f
Si y 6= x, l’existence de hy résulte de lemme 4 avec f (x) = β et f (y) + 2ε = α
Comme les fonctions hy et f sont continues en y , il existe un voisinage ouvert V(y) de
y tel que :
pour tout z dans V(y) on a :
hy (z) 6 f (z) + ε
(4)
comme E est compact , il existe y1 . . . , ym dans E tels que : E = V (y1 ) ∪ . . . ∪V (ym )
Posons g = inf(hy1 , . . . , hym )
D’après lemme 3 on a : g ∈ Ā.Et d’après (3) on a g(x) = f (x) .
Soit maintenant y dans E, il existe i tel que V (yi ) contienne y et d’après (4)on a :
g(y) 6 hyi (y) 6 f (y) + ε
Donc la fonction g convient.
Montrons maintenant : Ā = C(E, R)
Soient f dans C(E, R) et ε > 0. Pour chaque x dans E, soit g(x) la fonction de Ā
telle que gx (x) = f (x) et gx (y) 6 f (y) + ε pour tout y dans E.
La fonction gx − f est continue et nulle en x ,donc il existe un voisinage ouvert U(x)
de x tel que :
Pour tout y dans U(x)
−ε 6 gx (y) − f (y)
(5)
E est compact donc on a :E = U(x1 ) ∪ . . . ∪U(x p ) avec xi ∈ E
D’après lemme 3 la fonction h = sup(gx1 . . . , gx p ) appartient à Ā.
Soit maintenant y dans E ,il existe i tel que U(xi ) contienne y et avec (5)on a :
f (y) − ε 6 gx (y) 6 h(y) 6 f (y) + ε
Autrement dit ,k f − hk 6 ε ,on a donc f ∈ Ā¯ = Ā et Ā = C(E, R).
Le théorème correspondant pour C(E, C) est faux , on a seulement le résultat suivant.
3.3
théorème de Stone Weierstrass cas complexe
Théorème 4
Soit E un espace métrique compact si une sous C-algèbre A de C(E,C) contient
les fonctions constantes, sépare les points de E et est telle que pour toute f ∈ A
la fonction conjuguée f¯ appartient aussi à A ; alors A est dense dans C(E,C).
18
3
3.3. THÉORÈME DE STONE WEIERSTRASS CAS COMPLEXE
Démonstration
Soit A0 l’ensemble des fonctions de A qui sont à valeurs réelles .
Alors A0 est une sous R-algèbre de C(E,C) qui contient les fonctions constantes à
valeurs réelles , de plus pour f dans A les fonctions Re( f ) = 21 ( f + f¯) et Im( f ) =
1
¯
2i ( f − f ) sont dans A et à valeurs réelles ,donc appartiennent à A0 .
Montrons que A0 sépare les points de E :
Pour x 6= y dans E, il existe une fonction f de A telle que f (x) 6= f (y) ; donc l’une des
fonctions Re( f ) et Im( f ) prend des valeurs différentes en x et y .
Alors il résulte de (S.W cas réel)que A0 est dense dans C(E,R).
Soit maintenant f dans C(E,C) et ε > 0.Posons f = f1 + i f2 avec f1 et f2 à valeurs
réelles .
Il existe u et v dans A0 telles que pour tout x dans E :
| u(x) − f1 (x) |6 ε et | v(x) − f2 (x) |6 ε.
Donc la fonction g = u + iv ∈ A, et pour tout x dans E ,on a :
| g(x) − f (x) |2 =| u(x) − f1 (x) |2 + | v(x) − f2 (x) |6 2ε2
Ce qui montre que A est dense dans C(E,C). comme application on considère le théorème suivant :
Théorème 5
Soit E une partie compacte de Rn . Toute fonction continue de E dans R est limite
uniforme sur E d’une suite de fonctions polynômes à n variables.
Démonstration
Soit A l’ensemble des restrictions à E des fonctions polynômes à n variables. Alors A
est une sous algèbre de C(E; R) qui contient les fonctions constantes et les fonctions
(x1 , ..., xn ) −→ xi pour chaque i.
Donc A sépare les points de E et le théorème résulte de théorème de Stone Weierstrass cas réel .
19
3
CHAPITRE 3. THÉORÈME DE STONE WEIERSTRASS
20
Chapitre
4
Propriétés algébriques de C(K)
4.1
Idéaux maximaux de C(K)
On va déterminer les idéaux maximaux de l’anneau commutatif C(K) = C(K; R),
où K est un espace métrique compact.
Rappelons qu’un idéal d’un anneau commutatif (A, +, .) est une partie I de A vérifiant les propriétés suivantes :
N I est un sous-groupe additif .
N Pour tout a ∈ A, on a aI ⊆ I.
On dit qu’un idéal I ⊆ A est maximal si I 6= A et si I n’est strictement contenu dans
aucun idéal J 6= A. Soit K un espace métrique compact. Pour tout point a ∈ K, l’ensemble
Ia = { f ∈ C(K); f (a) = 0}
est visiblement un idéal de l’anneau C(K), et Ia 6= C(K). De plus Ia est également
maximal. En effet, si J est un idéal de C(K) contenant strictement Ia , alors il existe
une fonction g ∈ J telle que g(a) 6= 0. Pour toute fonction f ∈ C(K), la fonction
f (a)
f (a)
u = f − g(a) g appartient à Ia , donc à J, et par conséquent f = u + g(a) g ∈ J : ainsi on
a J = C(K)
Proposition 4
Tout idéal maximal de C(K) est de la forme Ia , pour un certain point a ∈ K.
Démonstration
Il suffit de montrer que tout idéal I 6= C(K) est contenu dans un certain Ia , autrement
dit que si I est un idéal de C(K) et I 6= C(K), alors il existe un point a ∈ K tel que
toutes les fonctions de I s’annulent en a.
Soit I un idéal de C(K). On raisonne par contraposée en supposant que pour tout
point x ∈ X, il existe une fonction fx ∈ I telle que fx (x) 6= 0 : on doit alors montrer
que I = C(K).
Pour tout x ∈ K, la continuité de fx permet de trouver un voisinage ouvert Vx de x
21
4
CHAPITRE 4. PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES DE C(K)
tel que fx ne s’annule pas sur Vx .
La famille (Vx )x∈K est un recouvrement ouvert [
du compact K
donc on peut trouver x1 , . . . , xm tels que K =
Vxi .
16i6m
Posons Vi = Vxi et fi = fxi , alors la fonction :
f=
∑
fi2
16i6m
appartient à I. De plus, f ne s’annule pas sur K : si x ∈ K, alors x est dans un
certain Vi , et on a donc f (x) > fi (x)2 > 0 car fi ne s’annule pas sur Vi . Ainsi, la
fonction f est inversible dans C(K) et appartient a l’idéal I : cela prouve que I =
C(K).
4.2
Automorphisme de C(K)
Pour x ∈ K ,δx est la masse de Dirac en x ,définie par :< δx , f >= f (x).
Soit T un automorphisme de C(K).
Lemme 7
Soit x dans K ,il existe un et un seul y de K tel que la forme linéaire δx ◦ T définie
sur C(K) ait pour noyau ker(δy ).
Démonstration
T induit une bijection de l’ensemble des idéaux maximaux dans lui même alors
d’après la proposition 4 :
∃!y tel que ker(δx ◦ T ) = ker(δy ).
Remarque
On pose dans ce cas y = ϕ(x).
Lemme 8
ϕ est un homéomorphisme de K sur lui-même.
Démonstration
Soient ψ une application associée à T −1 et ϕ une application associé à T.
On a : ϕ ◦ ψ = ψ ◦ ϕ = IdK , alors ϕ est bijective.
Montrons alors que ϕ est continue.
Soit (xn )n∈N une suite tendant vers x dans K .
Comme K est compact pour montrer que ((yn ) = ϕ(xn ))n∈N converge vers ϕ(x), il
suffit de montrer que la seule valeur d’adhérance de (yn )n∈N est ϕ(x).
Supposons que (yn )n∈N tende vers y 6= ϕ(x).
22
4
4.2. AUTOMORPHISME DE C(K)
la partie unicité de lemme 7 montre qu’il existe f ∈ C(K) telque T f (x) 6= 0 et f (y) =
0.
T étant un automorphisme de C(K) , T(1)=1.
Si on pose fn = f − T f (xn ) on a alors T fn (xn ) = 0 pour tout n ∈ N.
Ainsi,d’après lemme 7, fn (ϕ(xn )) = 0
c’est à dire : f (ϕ(xn ) = T f (xn ). f étant continue on obtient alors en passant à la
limite :
0 = f (y) = T f (x) 6= 0 ce qui est absurde.
Théorème 6
Les automorphismes de C(K) sont les opérateurs : f 7→ f ◦ ϕ, où ϕ est un homéomorphisme de K .
Démonstration
f 7→ f ◦ ϕ est un automorphisme de C(K) d’inverse g 7→ g ◦ ϕ−1 .
Réciproquement
Soit T un automorphisme de C(K). ∀x ∈ K ∃λx 6= 0 δx ◦ T = λx δϕ(x)
On déduit :
∀x ∈ K, ∀ f ∈ C(K), T f (x) = λx f ◦ ϕ(x)
Il reste alors á écrire T (1) = 1 pour obtenir que λx vaut 1 pour tout x de K, et ainsi
T est bien de la forme f 7→ f ◦ ϕ. 23
4
CHAPITRE 4. PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES DE C(K)
24
Conclusion
Il reste d’autres propriétés des espaces de fonctions continues qu’on n’a pas eu le
temps, ni l’espace de traiter dans ce mémoire, à savoir par exemple :
1. Isométries de C(K)
2. Séparabilité de C(K)
et qui peuvent faire l’objet d’éventuels projets de mémoire.
25
4
CHAPITRE 4. PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES DE C(K)
26
Les références :
1 G.CHOQUET,cours d’analyse tome 2 Topologie, Moisson, Paris 1973.
2 Makki. NACIRI, A.RAOUJ, S.SOUHAIL, Topologie, Licence mathématique.
3 L.SHWARTZ, Topologie génèrale et fonctionnelle, Hermann, Paris 1970.
4 C.WAGSHAL,Topologie et analyse fonctionnelle, Hermann, Paris 1995.
5 C.TISSERON, Notion de Topologie, Introduction aux espaces fonctionelles,
Hermann, Paris
6 G.COSTANTINI www.bacamaths.net
7 www.bibmath.net
8 fr.wikipedia.org
4
CHAPITRE 4. PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES DE C(K)
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Biographie :
Giulio Ascoli (20 janvier 1843 [Trieste] - 12 juillet 1896 [Milan]) .
On sait peu de choses de la vie du mathématicien juif italien Giulio Ascoli, si ce n’est qu’il
étudie à l’Ecole Normale Supérieure de Pise dont il est diplômé en 1868. Il enseigne ensuite à l’école
polytechnique de Milan.
Les contributions principales d’Ascoli concernent la théorie des fonctions et les séries de Fourier.
Avec son collègue italien Arzela, il est un précurseur de l’analyse fonctionnelle et est le premier à
considérer des espaces de fonctions continues. Il introduit notamment la notion d’équicontinuité.
Karl Theodor Weierstrass était, aux dires de son collègue Hermite,
le législateur de l’analyse. Ce qualificatif de législateur n’est pas associé aux études de droit que
Weierstrass a mené, mais à la rigueur nouvelle qu’il a imposé : qu’a-t-on, et que n’a-t-on pas le droit
de faire en analyse.
Karl Weierstrass est né le 31 octobre 1815 à Ostenfelde (en Allemagne). Son père était inspecteur
des impôts, et père de 4 enfants dont bizarrement aucun ne s’est marié. Au lycée, Weierstrass est très
brillant, et il acquiert des compétences en mathématiques déjà très intéressantes. En dépit de cela, son
père le contraint à suivre des études de droit et d’économie. Mais Weierstrass ne fréquente guère les
amphithéâtres, et au lieu de cela s’adonne à l’escrime, à la boisson et aux mathématiques. Après 4 ans
à l’université de Bonn, il ressort sans le moindre diplôme. Néanmoins, son père consent à financer
encore 2 ans d’étude à l’Académie théologique et philosophique de Munster, afin que Weierstrass
puisse obtenir les titres nécessaires au professorat dans le secondaire. A Munster, Weierstrass rencontre Guddermann, qui l’éveillera complètement aux mathématiques. Une grande estime mutuelle
caractérisa la relation entre les deux hommes.
Weierstrass contribue grandement à la théorie des fonctions analytiques, qu’il définit comme
somme de puissances convergentes à l’intérieur d’un disque (les séries entières). Il y démontre les
théorèmes de dérivation terme à terme, le principe du prolongement analytique.
La fin de la vie de Weierstrass est assez pénible. Dès 1850, il souffre de graves problèmes de
santé, qui sont peut-être conséquences de ses excès de jeunesse. En 1861, il est victime d’une attaque
qui l’éloigne de ses cours pendant un an. A compter de cette date, il se contentera de dicter ses cours
assis, en laissant le soin à un étudiant d’écrire au tableau. Puis, deux événements vont gravement le
marquer. D’abord, en 1877, il s’oppose assez violemment à son collègue et pourtant ami Kronecker au
sujet des découvertes troublantes de Georg Cantor. Ensuite, Sonia Kovaleskaya, qu’il avait tant aidé,
et avec qui il avait échangé une large correspondance, décède en 1891. Weierstrass est très affecté, et
brûle même toutes ses lettres. Il passe ses 3 dernières années dans un fauteuil roulant, et décède le 19
février 1897 à Berlin.
Marshall Harvey Stone
(8 avril 1903, New York City - Janvier 9, 1989,
Madras, Inde ) était un américain mathématiciens qui a contribué à l’analyse réelle , analyse fonctionnelle , et l’étude de l’ algèbre de Boole
4
4.2. AUTOMORPHISME DE C(K)
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