TD 3 : applications linéaires. 1 Exercices-type - IMJ-PRG

MM2, groupe 1M1ECO – TD 3
Applications linéaires
N. Laillet
[email protected]
TD 3 : applications linéaires.
1
Exercices-type
Exercice 1 On considère l’application u : R3 [X] → R3 [X] telle que : u(P ) = P 0 .
a. Montrer que u est une application linéaire.
b. Déterminer les sous-espaces vectoriels Ker u et Im u.
c. Même question pour l’application v : R3 [X] → R3 [X] telle que, v(P ) est le polynôme
P (X + 1) − P (X).
Exercice 2 Soit E l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 4. Soit ∆ :
E → E l’application définie par
∆(P )(X) = P (X + 1) + P (X − 1) − 2P (X).
a. Montrer que ∆ est une application linéaire de E dans E.
b. Calculer ∆(X p ) pour 1 ≤ p ≤ 4. Quel est son degré ? En déduire
textKer(∆), Im(∆) et le rang de ∆.
c. Soit Q un polynôme dans Im (∆). Montrer qu’il existe un polynôme unique P tel que :
∆(P ) = Q et X 2 |P .
Exercice 3 Parmi les applications de R3 dans R3 suivantes, déterminer celles qui sont linéaires :
f : (x, y, z) 7→ (x, xy, x − z)
g : (x, y, z) 7→ (x + y, 2x + 5z, 0)
h : (x, y, z) 7→ (x − 3y, x + y, z + 2)
Exercice 4
Soit (e1 ; e2 ; e3 ) la base canonique de R3 et f l’endomorphisme déterminé par
f (e1 ) = e1 + 2e2 ; f (e2 ) = 2e1 − e2 − e3 ; f (e3 ) = −e1 + e2 + 3e3
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Donner la matrice associée à f .
Déterminer l’image du vecteur u = (x, y, z). En déduire celle de (−1, 2, −3).
Déterminer Ker f et en donner une base. En déduire la dimension de Im f .
Déterminer f −1 (3, −1, 1) et f −1 (1, 0, 1).
Donner une base de Im f .
Donner un système d’équations caractérisant Im f .
Exercice 5
Soit f : R3 7→ R3 l’application linéaire définie par :
f (x, y, z) = (−12x − 15y − 3z, 8x + 10y + 2z, 8x + 10y + 2z)
a. Donner la matrice de f dans la base canonique.
b. Donner un système d’équations caractéristique et une base pour chacun des s-e-v Ker f et
Im f .
c. Montrer que Ker f ⊂ Im f . Y a-t-il égalité ?
d. Montrer que f ◦ f = 0.
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/
Une grande partie des exercices de cette feuille est inspirée de ceux de Sedki Boughattas.
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Exercice 6 Soit E un R-espace vectoriel et f un endomorphisme de E.
a. Montrer l’équivalence suivante :
Im f ⊂ Ker f si et seulement si f ◦ f = 0.
b. En déduire que, si f ◦ f = 0, alors l’endomorphisme IE + f est inversible et donner son
inverse.
Exercice 7
On considère f : R3 7→ R3 l’application linéaire définie par :
f (x, y, z) = (−2x + 3y + z, −2x + y − z, 3x − 2y + z)
Montrer que Ker f ⊕ Im f = R3 .
Exercice 8
Soit f : R4 7→ R4 l’application linéaire définie par :
f (x, y, z, t) = (x − y + z + 3t, −x + 3y + z − 3t, x − y + 2z + 4t, 2x + y − 3z − t)
f est-elle bijective ? Si oui, expliciter f −1 et en donner la matrice.
Exercice 9
Pour chaque réel a on considère fa : R3 7→ R3 l’application linéaire définie par :
fa (x, y, z) = (x − y − 2z, −x + ay + z, 2x + y − 3z)
a. Donner la matrice Ma de l’application linéaire fa .
b. Pour quelle valeurs du paramètre réel a l’application fa est-elle bijective ?
c. Lorsque fa est inversible, donner la matrice de fa−1 .
Exercice 10 Pour chaque réel t on considère l’application linéaire ft : R3 7→ R3 , dont la
matrice par rapport à la base canonique de R3 est :


1
1
t
 1
0
t 
t−1 t−2 1−t
a. Pour quelle valeurs du paramètre réel t l’application ft est-elle inversible ?
b. Lorsque ft est inversible, donner la matrice de ft−1 par rapport à la base canonique de R3 .
c. Le vecteur (1, −2, 0) appartient-il à Im f2 ? Résoudre le système :

 x + y + 2z = 1
x + 2z
= −2
(S)

x−z
= 0
Exercice 11
Soit f : R3 7→ R3 l’application linéaire définie par :
f (x, y, z) = (−14x + 5y + 8z, 4x − 3z, −24x + 8y + 14z)
a. Donner la matrice de f par rapport à la base canonique de R3 .
b. On considère les vecteurs suivants de R3 :
u1 = (−1, 1, −2), u2 = (3, 2, 4), u3 = (1, 1, 1)
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Montrer que B = (u1 , u2 , u3 ) est une base de R3 .
Exprimer f (u1 ) , f (u2 ) , et f (u3 ) en fonction des vecteurs de la base B.
Déterminer la matrice de f par rapport à la base B.
Déduire de la question c) la dimension de Ker f et Im f ;
Exercice 12
Soit f l’application linéaire de R3 dans R3 donnée par
f (x, y, z) = (6x − 2y + 2z, 10x − 3y + 4z, −2x + y).
Soit B la base canonique de R3 .
a. Ecrire la matrice A de f dans la base B.
b. Donner la dimension et une base de Ker(f ). Donner la dimension et une base de Im(f ).
c. Déterminer l’ensemble des vecteurs u tels que f (u) = u.
Exercice 13 On considère l’application linéaire f : R3 → R3 définie dans la base canonique
C3 = (e1 , e2 , e3 ) de R3 par :
f (x, y, z) = (2x + y − z, x + 2y + z, −x + y + 2z)
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Donner la matrice de f par rapport à la base canonique C3 .
Montrer que f ◦ f = 3f .
Donner une base et la dimension de Kerf et Imf .
Montrer que Imf ⊥ = Kerf .
Les s-e-v Kerf et Imf sont-ils supplémentaires ?
On pose :
u1 = (1, −1, 1), u2 = (1, 2, 1), u3 = (2, 1, −1).
Montrer que B = (u1 , u2 , u3 ) est une base de R3 , puis donner la matrice de f par rapport à cette
base.
Exercice 14
canonique est
On considère l’application linéaire f : R3 −→ R3 dont la matrice dans la base

0
M =  −1
−1

2 0
3 0 
1 2
a. Trouver des vecteurs 1 , 2 , 3 linéairement indépendants et tel que f (1 ) = 1 , f (2 ) = 2 2 ,
f (3 ) = 2 3 .
b. Ecrire la matrice de passage P de la base canonique de R3 à la base 1 , 2 , 3 . Déterminer
la matrice P −1 . Quelle est la matrice de f dans la base 1 , 2 , 3 ?
c. On pose g = f − 2 Id. Soit h : R3 −→ R3 une application linéaire tel que h(1 ) = 0. Montrer
que h ◦ g = 0.
Exercice 15 Soit f : R4 → R4 une application linéaire telle que Im(f ) = Ker(f ).
a. Montrer que dim Im(f ) = dim Ker(f ) = 2.
b. Montrer que pour tout vecteur v ∈ R4 on a (f ◦ f )(v) = 0.
c. Soit (u1 , u2 ) une base de Ker(f ). Soit u3 ∈ R4 un vecteur tel que f (u3 ) = u1 et soit u4 ∈ R4
un vecteur tel que f (u4 ) = u2 . Montrer que B = (u1 , u2 , u3 , u4 ) est une base de R4 .
d. Donner la matrice de f par rapport à la base B.
e. L’application f est-elle injective ? surjective ?
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Exercices avancés
Exercice 16 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N? , H un hyperplan de
E et D une droite vectorielle de E. A quelle condition H et D sont-ils supplémentaires dans E ?
Exercice 17 * Soit f ∈ L(E, F ) injective. Montrer que pour tout famille (~x1 , . . . , ~xp ) de vecteurs de E, on a
rg(f (~x1 ), . . . , f (~xp )) = rg(~x1 , . . . , ~xp ).
Exercice 18 ** Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie supérieure à 2.
Soit H1 et H2 deux hyperplans de E distincts.
Déterminer la dimension de H1 ∩ H2 .
Exercice 19 ** Soit f un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension finie.
Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) Imf et ker f supplémentaires dans E ;
(ii) E = Imf + ker f ;
(iii) Imf 2 = Imf ;
(iv) ker f 2 = ker f .
Exercice 20 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et f, g ∈ L(E) tels que f + g
bijectif et g ◦ f = 0̃. Montrer que
rgf + rgg = dim E.
Exercice 21 *** Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L(E) tel que
rg(f 2 ) = rg(f ).
a. Etablir Imf 2 = Imf et ker f 2 = ker f .
b. Montrer que Imf et ker f sont supplémentaires dans E.
Exercice 22 **** Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie. Déterminer les endomorphismes f de E tels que
∀g ∈ L(E), f ◦ g = g ◦ f.
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