corrigés

Maths Discrètes 1 ; exos du chapitre Dénombrement, combinatoire élémentaire Démontrer que pour tout entier naturel n on a l'égalité :
Exercice 1
n 2
X
n
k
k=0
=
2n
n
On peut utiliser la formule du binôme et calculer (x + y)2n de deux manières diérentes ; on
peut également utiliser un raisonnement combinatoire.
Indication :
Réponse.
On calcule (x + y)2n ; on a en appliquant directement la formule du binôme :
1ère méthode.
(x + y)
2n
!
2n
X
2n 2n−k k
=
x
y
k
k=0
Mais on a également :
`
´2
(x + y)2n = (x + y)n
!
!2
n
X
n n−k k
=
x
y
par la formule du binôme appliquée à (x + y)n
k
k=0
!
! n
!
!
n
X
X n n−j j
n n−i i
=
x
y
x
y
i
j
i=0
j=0
! !
n X
n
X
n
n n−i−j i+j
=
x
y
i
j
i=0 j=0
! !
X
n
n n−i−j i+j
=
x
y
i
j
0≤i≤n
0≤j≤n
=
2n
X
X
k=0 i+j=k
0≤i≤n
0≤j≤n
=
2n
X
X
k=0 i+j=k
0≤i≤n
0≤j≤n
! !
n
n n−i−j i+j
x
y
i
j
1
B
2n B X
X
B
=
B
B
k=0 @ i+j=k
! !C
C
n
n C n−k k
y
Cx
i
j C
A
0
2n
X
B
B
=
@
k=0
n
[
{(i, j) tel que i + j = k et 0 ≤ i, j ≤ n}
k=0
! !
n
n n−k k
x
y
i
j
0
0≤i≤n
0≤j≤n
car {(i, j) tel que 0 ≤ i, j ≤ n} =
X
0≤i≤n
0≤k−i≤n
en factorisant par xn−k y k
1
!
!
C n−k k
n
n
Cx
y
i
k−i A
par le changement de variable j 7→ k − i
On a donc pour tous nombres (naturels, relatifs, rationnels, réels, complexes...) x et y :
2n
X
k=0
0
!
2n
2n 2n−k k X B
B
x
y =
@
k
k=0
X
0≤i≤n
0≤k−i≤n
1
1
!
!
C n−k k
n
n
Cx
y
i
k−i A
On en déduit que :
!
2n
=
k
X
0≤i≤n
0≤k−i≤n
!
!
n
n
i
k−i
pour tout k compris entre 0 et 2n. En particulier pour k = n on a :
!
2n
=
n
X
0≤i≤n
0≤n−i≤n
!
!
n
n
i
n−i
!
!
n
X
n
n
=
car lorsque 0 ≤ i ≤ n on a aussi 0 ≤ n − i ≤ n
i
n−i
i=0
! !
!
!
n
X
n
n
n
n
=
car
=
i
i
n−i
i
i=0
!
2
n
X
n
=
i
i=0
On rappelle` que
´ la notation Pk (X) désigne l'ensemble des
parties à k éléments de l'ensemble X . Par dénition on sait que 2n
est le nombre de parties à n éléments d'un
n
ensemble à 2n éléments ; comme l'ensemble d'entiers [1, 2n] a 2n éléments, on a donc :
2ème méthode, la méthode combinatoire.
!
2n
= |Pn ([1, 2n])|
n
De même
`n´
k
est le nombre de parties à k éléments dans un ensemble à n éléments, donc :
!
n
= |Pk ([1, n])|
k
Donc
`n´2
k
est le nombre de couples de parties à k éléments d'un ensemble à n éléments, c'est à dire :
!2
n
= |Pk ([1, n]) × Pk ([1, n])|
k
Soit (A, B) un couple de parties à k éléments de [1, n], c'est à dire soit (A, B) ∈ Pk ([1, n]) × Pk ([1, n]). Alors pour
tout l 6= k on a (A, B) 6∈ Pl ([1, n]) × Pl ([1, n]) (sinon A et B auraient à la fois k éléments et l éléments). Autrement
dit quand 6= l les ensembles Pk ([1, n]) × Pk ([1, n]) et Pl ([1, n]) × Pl ([1, n]) sont disjoints si bien que l'on a :
˛
!2 ˛ n
n
˛[
˛
X
n
˛
˛
=˛
Pk ([1, n]) × Pk ([1, n])˛
˛
˛
k
k=0
Pour montrer l'égalité
k=0
!
!2
n
X
2n
n
=
n
k
k=0
il sut donc de montrer qu'il existe une bijection entre les ensembles Pn ([1, 2n]) et nk=0 Pk ([1, n]) × Pk ([1, n]).
Soit A une partie de [1, 2n] contenant n éléments, c'est à dire un élément de Pn ([1, 2n]) ; on note A1 et A2 les sousensembles de A constitués des éléments de A respectivements plus petits et strictement plus grand que n, c'est à
dire :
A1 = {p ∈ A tel que p ≤ n} = A ∩ [1, n],
A2 = {p ∈ A tel que p > n} = A ∩ [n + 1, 2n]
S
2
Soit k le nombre d'éléments de A1 ; alors, comme A a n éléments, le nombre d'éléments de A2 est n − k. On note A02
l'ensemble A2 − n (A2 translaté de −n) c'est à dire :
A02 = {p − n, p ∈ A2 }
L'ensemble A02 a également n − k éléments et comme A2 ⊂ [n + 1, 2n] on a A02 ⊂ [1, n]. Soit nalement B1 le
complémentaire de A02 dans [1, n] ; alors B1 a k éléments.
Pour résumer, partant d'une partie A de [1, 2n], on vient de construire un couple (A1 , B1 ) de parties de [1, n] tel que
|A1 | = |B1 | = k où k est le nombre d'éléments de A qui sont plus petits que n. On vient donc de dénir la fonction
ϕ : Pn ([1, n]) →
n
[
Pk ([1, n]) × Pk ([1, n])
k=0
A → (A ∩ [1, n], [1, n] \ (A ∩ [n + 1, 2n] − n))
Il est facile de vérier que cette fonction est bijective, en construisant sa fonction inverse :
ψ:
n
[
Pk ([1, n]) × Pk ([1, n]) → Pn ([1, 2n])
k=0
(A, B) → A∪ (([1, n] \ B) + n)
3