DM1

Mathématiques : DM 1
mp* 2016-2017
pour le 26 Septembre 2016
On sera très attentif à la rédaction et à la présentation
Problème 1 : Pour tous. C’est bien d’essayer de rendre au moins les quatre
premières parties.
Objectif : calculer avec les nombres complexes, travailler avec les structures
de base et avec les matrices. Faire un (petit) peu d’arithmétique.
Problème 2 : Supplément facultatif. Encore des matrices à coefficients entiers, mais c’est plus difficile.
1
Problème 1 : Homographies
Introduction
Cette introduction est purement « culturelle », et ne contient aucune notation
ou résultat utilisé dans l’énoncé.
Cet énoncé explore l’utilisation, dans deux contextes très différents, des homographies. Une homographie est une application de la forme
z 7−→
az + b
cz + d
et il est très remarquable qu’un objet mathématique aussi simple s’avère
aussi utile.
Les homographies ont d’abord été utilisées en géométrie ; elles ont la remarquable propriété de conserver le « birapport ». Cet aspect n’est pas abordé
dans le problème, la géométrie n’est d’ailleurs plus trop à la mode dans les
programmes actuels. Dommage, on aurait pu utiliser les homographies pour
montrer le théorème de Feuerbach, un des plus beaux théorèmes de la géométrie élémentaire : dans un triangle, le cercle des 9 points est tangent aux
cercles inscrit et exinscrits.
Les homographies interviennent aussi dans la théorie des fonctions elliptiques, et c’est plus long à expliquer. . .voici ce qu’en dit l’introduction du
problème Centrale 2004 Math II :
Dans la démonstration en 1994 du « dernier théorème » de
Fermat par Andrew Wiles, les « courbes elliptiques » jouent
un rôle central par le biais de l’action du groupe SL2 (Z) sur
le demi-plan ouvert
H = {z ∈ C : Im(z) > 0}.
En effet, il se trouve que l’ensemble des courbes elliptiques
sur le corps C est en bijection (à un C-isomorphisme près)
avec l’ensemble des réseaux de C (à une similitude près), luimême en bijection avec l’ensemble des orbites du demi-plan
H sous l’action de SL2 (Z).
2
Les parties I, II, III sont extraites de ce problème Centrale 2004.
Les homographies interviennent aussi dans le modèle de géométrie hyperbolique dit du « disque de Poincaré ». Pour résumer, on appelle géométrie
hyperbolique une géométrie ayant la propriété suivante : si D est une droite
et M un point qui n’est pas sur D, il y a beaucoup de droites parallèles
à D passant par M . C’est donc une géométrie non euclidienne. Le disque
de Poincaré est un modèle de géométrie hyperbolique, pour lequel certaines
homographies ont la propriété d’être des isométries. C’est ce qui est abordé
dans les parties V et VI.
Les parties V et VI sont indépendantes des parties I à IV.
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I
Matrices carrées d’ordre 2 à coefficients entiers
a b
Soit M2 (Z) l’ensemble des matrices carrées
d’ordre 2 à coefficients
c d
dans l’anneau Z des entiers relatifs.
Danscette partie, les lettres a, b, c, d désignent des éléments de Z. On pose
1 0
I2 =
.
0 1
1. Démontrer que l’ensemble M2 (Z) est un anneau.
2. (a) Démontrer que l’ensemble GL2 (Z) des éléments de M2 (Z) inversibles dans M2 (Z) est un groupe pour la multiplication, appelé
groupe des unités de l’anneau M2 (Z).
a b
∈ GL2 (Z) si et seulement si |ad − bc| = 1.
(b) Montrer que
c d
3. On pose
a b
SL2 (Z) = {
∈ M2 (Z) : ad − bc = 1}
c d
(a) Montrer que SL2 (Z) est un groupe pour la multiplication des
matrices.
(b) Déterminer
l’ensemble des couples (c, d) ∈ Z × Z tels que la ma
3 5
appartienne à SL2 (Z).
trice
c d
(c) Déterminer
l’ensemble des couples (c, d) ∈ Z × Z tels que la ma
3 5
appartienne à GL2 (Z).
trice
c d
(d) Quelle est la condition nécessaire et suffisanteportant
sur le couple
a b
(a, b) de Z × Z pour qu’il existe une matrice
appartenant
c d
à GL2 (Z) ?
II
Réseaux de C
On note H le demi-plan ouvert défini par H = {z ∈ C : Im(z) > 0}.
B = (α, β) étant une base de C considéré comme plan vectoriel réel, on
appelle réseau engendré par B l’ensemble
ΛB = Zα + Zβ = {uα + vβ ; (u, v) ∈ Z2 }
Pour simplifier les notations, un réseau sera généralement désigné par la
lettre Λ, sans préciser quelle base de B l’engendre.
4
1. (a) Démontrer que tout réseau Λ peut être engendré par une base
α
B = (α, β) de C telle que ∈ H.
β
(b) Démontrer que pour tout quadruplet (a, b, c, d) ∈ Z4 et pour tout
z ∈ C tel que cz + d 6= 0, on a
az + b ad − bc
Im
=
Im(z)
cz + d
|cz + d|2
2. Soit B = (ω1 , ω2 ) et B 0 = (ω10 , ω20 ) deux bases de C telles que
ω1
ω0
∈ H et 10 ∈ H. Montrer qu’elles engendrent le même réseau Λ
ω2
ω2
a b
∈ SL2 (Z) telle que
si et seulement si il existe une matrice
c d
0 ω1
a b
ω1
=
.
0
c d
ω2
ω2
3. Pour tout complexe τ ∈ C\R on note Λτ le réseau engendré par la base
(τ, 1) de C. On suppose que τ ∈ H. Trouver la condition nécessaire et
suffisante pour qu’un élément τ 0 ∈ H vérifie Λτ 0 = Λτ
III
Action du groupe Γ des homographies associées
à SL2 (Z) sur l’ensemble H
a b
de SL2 (Z) on associe l’application g : H → C
A toute matrice
c d
aτ + b
définie par ∀τ ∈ H g(τ ) =
.
cτ + d
1. (a) Montrer que l’on a g(H) ⊂ H. On identifie dorénavant g avec l’application de H dans H qu’elle induit. Lorsque la matrice A parcourt SL2 (Z), l’application correspondante g de H vers H décrit
un ensemble noté Γ. Dans la suite de cette question on s’intéresse
aux propriétés de la surjection
Φ :
SL2 (Z) −→ Γ
A
7−→ g
(b) Montrer que Φ(A) ◦ Φ(A0 ) = Φ(AA0 ). En déduire que la loi ◦ de
composition des applications est une loi interne sur Γ.
(c) Pour tout A ∈ SL2 (Z), montrer que Φ(A) est une bijection de H
sur H et que l’on a [Φ(A)]−1 = Φ(A−1 ). En déduire que (Γ, ◦) est
un groupe.
h
i
(d) Montrer que Φ(A) = idH ⇔ [A = ±I2 ].
(e)
i. Résoudre l’équation Φ(A) = Φ(A0 ).
5
0 −1
1 1
ii. En utilisant les matrices S =
et T =
,
1 0
0 1
vérifier que le groupe (Γ, ◦) n’est pas commutatif.
2. (a) Montrer que le cercle C(ω, R) de centre ω ∈ C et de rayon R > 0
a pour équation
|z|2 − (ωz + ωz) + |ω|2 = R2
A quelle condition nécessaire et suffisante ce cercle est-il inclus
dans H ?
(b) On appelle s l’application de
H vers
H associée à la matrice S
0 −1
définie précédemment (S =
), c’est-à-dire l’élément
1 0
s = Φ(S) de Γ. Déterminer l’image par s d’un cercle C(ω, R)
inclus dans H.
IV
Une preuve matricielle de hS, T i = Γ
On change les notations de la partie précédente : on note G le sous-groupe
de SL2 (Z) engendré par {S, T }. A part les définitions de S et T , cette partie
est indépendante de la précédente.
n
1. Calculer,
que, si
tout n ∈ Z, T . Montrer en utilisant ce résultat
pour
r b0
a b
où r
∈ M2 (Z), il existe M ∈ G telle que M A =
A=
c d
c d
est le reste de la division de a par c.
2. Calculer T ST . Puis, de
analogue à la question précédente,
manière
a b
∈ M2 (Z), il existe M ∈ G telle que
montrer que, si A =
c d
a b
M A = 0 0 où r est le reste de la division de c par a.
r d
3. En appliquant l’algorithme d’Euclide à a et c, montrer que si
a b
A=
∈ SL2 (Z), il existe une matrice M ∈ G telle que la prec d
1
0
mière colonne de M A soit
ou
. Vérifier que la multiplication
0
1
par S 3 ramène le deuxième cas au premier. Conclure que G = SL2 (Z).
V
Homographies du disque de Poincaré
On note D = {z ∈ C ; |z| < 1} et U = {z ∈ C ; |z| = 1}. On note enfin
K les bijections homographiques de D sur lui-même : une application φ est
élément de K si et seulement s’il existe quatre nombres complexes a, b, c, d
vérifiant
6
(i) ad − bc 6= 0,
(ii) Si c 6= 0, alors −d/c 6∈ D,
az + b
(iii) ∀z ∈ D
φ(z) =
,
cz + d
(iv) φ est une bijection de D sur lui-même.
Il n’est pas difficile de vérifier, et on l’admet, que (K, ◦) est un groupe.
1. On définit, si α ∈ D,
φα : z 7→
z−α
.
1 − αz
Montrer que φα ∈ K.
2. On définit K 0 = {φ ∈ K ; φ(0) = 0}. Soit ψ un élément de K 0 .
(a) Montrer qu’il existe deux nombres complexes β et γ tels que
∀z ∈ D
ψ(z) =
βz
γz + 1
βz
∈ U (on pourra considérer, pour
γz + 1
tout élément z de U, une suite d’éléments de D qui converge vers
z).
(b) Montrer que, si z ∈ U,
(c) En déduire que γ = 0.
(d) Montrer que K 0 est l’ensemble des applications z 7→ ωz, ω ∈ U.
3. Montrer que K est l’ensemble des applications
z 7−→ ω
z−α
1 − αz
où (ω, α) décrit U × D.
VI
Géodésiques du disque de Poincaré
On appelle arc tracé sur D toute application de classe C 1
γ : [a, b] 7−→ D
où [a, b] est un segment de R (on suppose a ≤ b). On définit la « longueur
hyperbolique » d’un tel arc :
Z
`(γ) =
a
b
|γ 0 (t)|
dt
1 − |γ(t)|2
7
1. Soit γ un arc tracé sur D, φ un élément de K (voir partie précédente).
Montrer que
`(φ ◦ γ) = `(γ)
2. On considère r ∈]0, 1[.
(a) Soit γ : [a, b] 7−→ D un arc tracé sur D tel que γ(a) = 0 et
γ(b) = r. On écrit, pour tout t ∈ [a, b], γ(t) = u(t) + iv(t) où
(u(t), v(t)) ∈ R2 . Montrer que
b
Z
`(γ) ≥
a
u0 (t)
dt
1 − u(t)2
(b) On note Γ0,r l’ensemble des arcs γ : [a, b] 7→ D de classe C 1 ,
tracés sur D, tels que γ(a) = 0 et γ(b) = r. Montrer que
inf (`(γ)) = `(γ0 )
γ∈Γ0,r
où γ0 est l’application définie sur [0, r] par γ0 (t) = t.
3. On considère x et y dans D, x 6= y. On note Γx,y l’ensemble des arcs
γ : [a, b] 7→ D tracés sur D tels que γ(a) = x et γ(b) = y
(a) Montrer l’existence et l’unicité d’un élément φ de K tel que
φ(x) = 0
et
φ(y) ∈]0, 1[
(b) Montrer que
x − y 
1+

1 
1
−
xy

inf ({`(γ) ; γ ∈ Γx,y }) = ln 
x − y 
2 
1 − 1 − xy 
8
Problème 2 : XLCR 2016 (Math A), première partie
Enoncé pas facile, mais les erreurs qui figuraient sur la version « concours »ont
été rectifiées.
Dans cet énoncé, on identifie comme souvent les éléments deRn 
et les max1
 .. 
trices colonnes de Mn (R) : on considère que (x1 , . . . , xn ) et  . , c’est la
xn
même chose.
On confond aussi une matrice M de Mn (R) et l’endomorphisme de Rn qui
lui est canoniquement associé. En pratique, si x ∈ Rn , si on le considère
comme une matrice colonne (cf ci-dessus), M x a un sens. C’est une colonne,
mais c’est donc aussi un vecteur de Rn . Et on note parfois M (x) au lieu de
M x.
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1. Ecrire
|φα (z)| < 1 ⇔ φα (z)φα (z)) < 1
⇔ ...
⇔ (z − α)(z − α) < (1 − αz)(1 − αz)
...
(développer, simplifier, factoriser. . .).
2. (a) repose sur le fait que ψ(0) = 0.
(b) On prend z ∈ U. On prend (zn ) une suite quelconque d’éléments de D
qui converge vers z. On vérifie assez simplement que la suite (ψ(zn )) converge
vers ψ(z). Et on en déduit que |ψ(z)| ≤ 1. Mais si |ψ(z)| < 1, comme ψ est
une bijection de D sur D, il existe un x ∈ D tel que ψ(z) = ψ(x). On aboutit
à x = z, contradiction.
(c) En prenant z = eiθ dans ce qui précède, l’identité
2
ψ eiθ = 1
pour tout θ montre après calculs que γeiθ + γe−iθ est constante, donc sa
dérivée est nulle, on conclut (il y a plusieurs manières de mener ce calcul).
3. Si ψ ∈ K, on peut considérer φψ(0) ◦ ψ.
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