MATHEMATIQUES TES 2011-2012 Corrigés des devoirs DS1 28/09/2011 page2-6 DV 06/10/2011 page 7 DV 13/10/2011 page 8-9 DV 10/11/2011 page 10-11 DS2 23/11/2011 page 12-17 DV 06/12/2011 page 18 DV 09/01/2012 page 20 Bac Blanc 13/01/2012 page 21-26 DS4 08/02/2012 page 27-32 DV 12/03/2012 page 33-34 DS5 28/03/2012 page 35-39 DV 30/04/2012 page 40 ( calcul intégral ) DS 09/05/2012 page 41 A.BERGER TES BLEUE année 2011-2012 Page 1 sur 46 TES Bleue et pervenche 28/09/2011 EXERCICE I : ( 3 points ) On considère la fonction 1° Calculer définie sur et montrer que pour par ∈ : = . = 2° Etudier les variations de la fonction, puis dresser le tableau de variations (les limites en −∞ et en +∞ non demandées). 3° Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 0. 1° Calcul de la dérivée : Pour tout de = =1 = ² + 1 =2 Avec = = 1× . . +1 −2 × +1 ² , on a : 2° Signe de la dérivée : −∞ + 1− − 1+ + +1 − ′ −1 0 + 0 = +1−2 +1 + + 1 0 + + 0 = − − 1− +1 + = +∞ 1² − +1 = 1− 1+ +1 Racine : 1 Racine : -1 Pas de racine On en déduit le sens de variation de la fonction ! La fonction est : strictement décroissante sur ] − ∞;−1], strictement croissante sur [−1; 1] et strictement décroissante sur [1;+∞[ Tableau de variation de la fonction ! −∞ −1 − 0 + ′ ½ 1 0 − +∞ -1/2 3° Equation de la tangente à la courbe &! au point d’abscisse 0 : 1−0 = 1 0 = 0 0 +1 (= 0 × − 0 + 0 ⟺ ( = Ainsi, une équation de la tangente à au point d’abscisse 0 est : ( = 0 = A.BERGER TES BLEUE année 2011-2012 Page 2 sur 46 EXERCICE II : ( 4,5 points ) La courbe (C) est la représentation graphique d’une fonction définie et dérivable sur [− 3; 3] dans un repère orthogonal. La courbe (C) vérifie les quatre conditions suivantes elle passe par l’origine O du repère et par le point A(−3 ; 9) ; elle admet au point B *; − y A + , une tangente horizontale et elle admet la droite (OA) pour tangente en O. 9 y (C) 2 1 schéma 1 8 7 -4 -3 -2 -1 6 5 4 1 2 3 x 1 2 3 y 4 3 2 1 3 2 0 -1 -2 -3 -4 schéma 2 1 O -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 x -3 -2 -1 B -2 Equation de la droite -. : ( = −3 -1 0 -1 -2 -3 x 1. Donner sans justifier une équation de la droite (OA) et de la tangente en B. Equation de la tangente en 1: ( = − 2. Donner sans justifier : 0 , Images : −3 , 2 attention à la différence d’unités 3 coefficient directeur : 0, l’énoncé donne l’ordonnée de B : 1 , ’ 0 56 ’ 1 . 0 = 0 −3 = 9 1 = − 2 3 Nombres dérivés : 0 = −3 c’est le coefficient directeur de la tangente à 1 = 0 2 3 au point O d’abscisse 0. c’est le coefficient directeur de la tangente en B d’abscisse 1 3. Recherche du schéma donnant la représentation graphique de la fonction dérivée ’ de la fonction . Sur la courbe donnée de la fonction , on lit le sens de variation de , on déduit le signe de sa dérivée ′ −3 ′ 1 − 3 Lu -5/3 0 + Déduit On élimine le schéma 1 qui ne représente pas une fonction positive sur [1; 3] Les schémas 2 et 3 représentent une fonction ayant le signe voulu . De plus, on a vu que 0 = −3 , or la courbe du schéma 2 ne passe pas par le point de coordonnées 0; −3 ; seule la courbe du schéma 3 passe par le point de coordonnées 0;−3 , Ainsi , par élimination et sachant que l’une des trois courbes représente ′ , c’est le schéma 3 qui représente !′ A.BERGER TES BLEUE année 2011-2012 Page 3 sur 46 est définie sur [−3; 3] par 4. On suppose que −3 = 956 1 = − 4.a. On a : Or 56 −3 = 1 = 3 −3 3 + 8 −3 = 2 3 3 3 +8 + 9 −3 = −9 + 98 − 39 +9 où 8 et 9 sont des réels. 1 1 × 13 + 8 × 1 + 9 × 1 = + 8 + 9 3 3 Donc on a le système : : 4.b. Résolvons −3 = 9 1 = 2 − 3 −9 + 98 − 39 = 9 98 − 39 = 18 38 − 9 = 6 2 2 ⟺: ⟺: ⟺< 8+9 =− − + 8 + 9 = − 8 + 9 = −2 3 3 3 3 38 − 9 = 6 48 = 4 8=1 38 − −2 − 8 = 6 ⟺< ⟺< ⟺< 8 + 9 = −2 9 = −2 − 8 9 = −3 9 = −2 − 8 < = La fonction étudiée est définie par 3 3 + EXERCICE III : (4.5 points ) On donne la courbe représentative d’une fonction y −3 définie sur [−2; 12] D:y=x 8 7 6 Cf 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x -1 -2 1° Par lecture graphique, sans justification : a) Dresser le tableau de variations de la fonction . On fera apparaître le signe de la dérivée −2 1 5 9 12 − 0 + 0 − 0 + ′ 9 7 7 1 b) Les solutions de l’équation = 4 sont les abscisses des points de ayant pour ordonnée 4, ces solutions sont −1; 3; 6,5; 11 c) L’intervalle image de [1; 5] est l’ensemble des ordonnées des points de ayant leur abscisse dans [1; 5]. L’intervalle image de [1; 5] est [0; 7] De même, l’intervalle image de [−2; 1] est [0; 9] Et l’intervalle image de [−1; 8] est [0; 7] 0 A.BERGER TES BLEUE année 2011-2012 Page 4 sur 46 d) Dresser le tableau de signe de −2 1 + 0 . 12 + = A où A est un réel quelconque. e) On cherche le nombre de solutions de l’équation Les solutions de l’équation ! B = C sont les abscisses des points de &! d’ordonnée C Valeurs de A A ∈] − ∞; 0[ A=0 A ∈]0; 1[ A=1 A ∈]1; 7[ A = 7 A ∈]7; 9] A ∈]9; +∞[ =A Nombre de solutions de l’équation 0 solution 1solution 2 solutions 3 solutions 4 solutions 3 solutions 1 solution 0 solution 2° L’affirmation « l’équation = admet exactement trois solutions dans [−2; 12] » est –elle vraie ? Les solutions de l’équation = sont les abscisses des points d’intersection de et de la droite d’équation ( = . Or la courbe coupe la droite d’équation ( = en exactement trois points. L’affirmation est donc vraie. EXERCICE IV : ( 8 points ) Une entreprise fabrique des vases en cristal à l’aide d’un moule. Elle limite sa production à 4000 vases par jour. 1° Le coût de production d’une quantité D de vases est donné, en euros, par : D = 0,02D² + 20D + 40000. a) Etudier les variations de la fonction sur [0; 4000]. Dresser le tableau de variation. Dérivée : pour tout D de E0; 4000F ′ D = 0,04D + 20 Racine : 0,04D + 20 = 0 ⇔ D = J,JK = −500 < 0 J (1er degré avec G > 0) 0 4000 D + MNOP5Q5 ′ D Donc la fonction coût de production est strictement croissante sur E0; 4000F 0 4000 D + MNOP5Q5 ′ D 440 000 D 40 000 D b) Recopier et compléter le tableau de valeurs. D Coût en milliers d’euros c) 0 40 000 40 500 55 000 55 1000 80 000 80 Tracer la courbe RS Unités : 2 cm pour 500 vases en abscisses 2000 160 000 160 3000 280 000 280 4000 440 000 440 1 cm pour 20 milliers d’euros en ordonnée. 2° On suppose que toute la production est vendue au prix unitaire de 110 € le vase. Exprimer la recette T D en euros, puis tracer RU dans le même repère que la courbe RS . T D = 110D en euros La représentation graphique RU est une droite ( à tracer à la règle !) qui passe par l’origine du repère et R(1000)=110 000= 110 milliers d’euros ; R(2000) = 220 000 = 220 milliers d’euros A.BERGER TES BLEUE année 2011-2012 Page 5 sur 46 1 D =T D − D = 110D − V0,02D + 20D + 40 000W = −0,02D² + 90D − 40 000. 3° a) Bénéfice, exprimé en euros : b) Quelle quantité doit-on produire pour faire un bénéfice égal à 50 000 € ? 1 D = 50 000 ⇔ −0,02D² + 90D − 40 000 = 50000 ⇔ −0,02D² + 90D − 90000 = 0 Second degré : ∆= 90 − 4 × −0,02 −90000 =900 ∆> 0 QYP9 Q5 ZG9NP5M : D = [J √[JJ J,JK J = J,JK = 3000 et D = [J √[JJ J,JK ]J = J,JK = 1500 Le bénéfice est égal à 50 000 € lorsque l’entreprise produit 1500 vases ou 3000 vases. c) Déterminer la plage de rentabilité de l’entreprise, c’est-à-dire les quantités à produire pour que l’entreprise ait un bénéfice positif ou nul. Expliquer comment retrouver ce résultat graphiquement. On résout pour q ∈ E0 ; 4 000F : 1 D ≥ 0 ⟺ −0,02D + 90D − 40 000 ≥ 0 Second degré : ∆= 90 − 4 × −0,02 −40000 = 4900 = 70 ∆> 0 QYP9 Q5 ZG9NP5M D = [J _J J,JK = 4000 et D = [J _J J,JK = 500 de plus G < 0 0 500 4000 D − 0 + 0 1 D 1 D ≥ 0 ⟺ D ∈ E500 ; 4 000F La plage de rentabilité de l’entreprise est une production comprise entre 500 et 4000 vases inclus. Graphiquement, le bénéfice 1 D est supérieur ou égal à 0 pour les abscisses D des points de la droite de la recette situés au dessus ou en contact avec la courbe du Coût. On retrouve D ∈ E500 ; 4 000F d) Tableau de variation de la fonction B. On calcule la dérivée du bénéfice : 1′ D = −0,04D + 90 (1er degré avec G < 0) [J Racine : −0,04D + 90 = 0 ⟺ −0,04D = −90 ⟺ D = J,JK = 2250 or 2250 ∈ E0 ; 4 000F D’où le tableau de variation du bénéfice 0 2250 D + 0 1 D 61250 1 D -40000 4000 − 0 e) Déduire la quantité à produire pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice maximal ? D’après le tableau de variation le bénéfice est maximal pour 2250 vases produits et il est égal à 61250 euros. 4° Durant l’année 2010, l’entreprise a fabriqué 2250 vases par jour et elle a travaillé durant 280 jours. a) Déterminer en millions d’euros le bénéfice réalisé en 2010. D’après 3° c’est le bénéfice maximal : 61250€ par jour soit pour 280 jours : 61250 × 280 = 17 150 000€ soit 17,150 millions d’euros de bénéfice pour l’année 2010. b) L’entreprise décide de réinvestir 40 % de ce bénéfice et de placer le reste. Calculer, en millions d’euros, la somme réinvestie et la somme placée. somme réinvestie : KJ JJ × 17,150 = 6,860 somme placée : 17,150 − 6,860 = 10,290 l’entreprise réinvestit 6,860 ANaaNYPM Q 5 ZYM et place 10,290 ANaaNYPM Q′5 ZYM A.BERGER TES BLEUE année 2011-2012 Page 6 sur 46 = TESB 06/10/2011 Limite de ! en 2 : aNA 2 → aNA 2 − → O = 056 … Limite de ! en +∞ : de plus haut degré 2 Ainsi aNA =− → g ℎ 3 2 = c =]2;+∞[ −5 +3 = −∞ 2− = 2 est asymptote à . est une fonction rationnelle, elle a même limite à l’infini que le quotient de ses termes −5 +3 2 = aNA = aNA −2 → h − → h 2− = −∞ → h + f QYP9aNA = −∞ et la droite d’équation → g → h 3 − 5 + 3 = 1 Ainsi aNA aNA 2 = −∞ Limite de i en 2 : ⋆ aNA − ⋆ → = −4 aNA 3 + 1 = 7 → aNA → − 2 = 056 … Q YùaNA l− → g + 3 +1 m = +∞ −2 Ainsi aNA O = +∞ et la droite d’équation ⋆ aNA − = −∞ → g f QYP9aNA Limite de i en +∞ : → h ⋆ aNA → h → g 3 +1 = +∞ −2 = 2 est asymptote à n . 3 +1 3 = aNA = aNA 3 = 3 → h → h −2 Q Yù aNA l− → h Ainsi aNA O → h + 3 +1 m = −∞ −2 = −∞ Limite deo en 2 : aNA ² = 4 → aNA → − 2 ² = 056 … Ainsi aNA ℎ → g f QYP9aNA = +∞ et la droite d’équation → h −2 ² Ainsi aNA ℎ → h A.BERGER = aNA → h ²−4 +4 = aNA → h = +∞ = 2 est asymptote à Limite de o en +∞ : ℎ est une fonction rationnelle aNA −2 ² → g = aNA 1 = 1 → h = 1 et la droite d’équation ( = 1 est asymptote à TES BLEUE p p . au voisinage de +∞ . année 2011-2012 Page 7 sur 46 La fonction est définie sur ]2; +∞[ par = 1.a. Dérivée . − . = = ² − 6 + 12 ] Corrigé devoir 13/10/2011 (1a : 2.5 - 1b : 2 - 1c : 1 - 2 : 3.5 - 3 : 4 - 4 : 1.5 -5 : 1.5 - 6 : 1.5 - 7 : 2.5) Pour tout de ]2; +∞[ on a : 2 −6 −2 −1× = −2 ² 1. b. Signe de la dérivée Pour r = ²−4 = Tableau de signe : ′ −4 −2 ² 2 0 = − 2 − 6 + 12 =⋯= =2 −6 =1 ²−4 = −2 ² −4 −2 − 4 , les racines sont évidentes : 0 et 4 de plus 0 ∉]2;+∞[ − + − 4 0 +∞ + + + 0 1.c. Sens de variation D’après le signe de sa dérivée, la fonction est strictement décroissante sur ]2; 4] et strictement croissante sur [4;+∞[ 2° a) Limite à l’infini : est une fonction rationnelle, donc elle a même limite à l’infini que le quotient de ses termes de plus haut degré. lim → h ² − 6 + 12 ² = lim = lim → h → h −2 Limite en w lim → = +∞Q Yù lim − 6 + 12 = 4 lim − 2 = 0566G8. → GNPMN lim → g = +∞ → h f QYP9 lim → g = +∞ ² − 6 + 12 = +∞ −2 On en déduit que la droite d’équation = 2 est asymptote à . 3. a. Asymptote oblique On calcule l’écart entre et la droite Q’ d’équation ( = − 4 4 4 − −4 =l −4+ m− −4 = −2 −2 On cherche la limite à l’infini lim → h − 2 = +∞ ⟹ lim -PG ∶ lim − → h −4 4 = 0 −2 = 0 Ainsi la droite c d’équation ( = − 4 est asymptote à 3. b. Position de &! et z → h On étudie le signe de 4 −2 4 −2 Pour 2 − 0 ∈]2;+∞[, on a : A.BERGER K au voisinage de +∞ . − 4 sachant qu’on a prouvé : + + + +∞ > 0 donc − TES BLEUE − 4 > 0 ainsi année 2011-2012 − −4 = K est au -dessus de cM Z]2;+∞[ Page 8 sur 46 4° Tableau de variation de ! 24 + ∞ −0 + +∞ +∞ 2 5° Equation de la tangente {| à &! au point A d’abscisse 3. (= 3 × − 3 + 3 ⟺ ( = −3 − 3 + 3 ⟺ ( = −3 + 12 6° Une tangente est parallèle à l’axe des abscisses si et seulement si son coefficient directeur est nul, or le coefficient directeur de la tangente en A d’abscisse G est le nombre dérivé ′ G . D’après le tableau de variations, on a : = 0 ⟺ = 4, donc il existe un point en lequel admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses, c’est le point } 4; 2 7° Tracé : ne pas oublier les asymptotes et la tangente horizontale y 10 D': x =2 9 Cf 8 7 6 D:y =x-4 5 4 A 3 S 2 1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x -1 T -2 Question complémentaire possible Discuter graphiquement, suivant les valeurs du réel A, le nombre et le signe des solutions de l’équation =A Valeurs de A Nb de solutions de =A 0 sol A ∈] − ∞; 2[ 1 sol positive A = −2 2 sol positives A ∈]2;+∞[ A.BERGER TES BLEUE année 2011-2012 Page 9 sur 46 TESB 10/11/2011 1h EX I : On donne le tableau de variation d’une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [−3; 12]. − -3 Signe de 6 Variations de 1 0 10 + 5 8 = 3 et que 8 = 2. 0 Soit O la fonction définie sur l’intervalle ]1; 10]par : O On suppose de plus que = a) Soit O la fonction définie sur l’intervalle ]1; 10] par : O N O= 1 1 x =N∘ b) Calculer : O 10 = J = =2 c) Calculer la limite de la fonction O en 1. 1 1 aNA = 056 > 0, Q5•a M aNA = +∞doncaNA = +∞ → €→J ~ → g GNPMN aNA O → g €gJ = +∞ . avec N: ~ ⟼ € g d) Sens de variations de O sur l’intervalle ]1; 10]: est croissante sur ]1; 10] • • ]1; 10] =]0; 5] • La fonction inverse N est décroissante sur ]0;+∞[,en particulier sur l’intervalle ]0; 5] Donc la fonction composée O = N ∘ est décroissante sur ]1; 10]. e) Déterminer O 8 . On applique O = V W donc O′ 8 = V ‡ ‡ W = = [ On considère la fonction définie sur [0;+∞[ par EXERCICE II : ( 12 points ) = 3 3 +2 + 2. 1° Justifier par les méthodes habituelles toutes les informations contenues dans ce tableau de variation : 0 4 ˆ +∞ Signe de Variations de A.BERGER 0 2 + 0 3‡ 3 TES BLEUE − 0 −∞ année 2011-2012 Page 10 sur 46 = ×3 3 de [0;+∞[ +4 =− Dérivée : pour tout Signe de la dérivée : 0 0 − +4 Signe de 0 +4 = − +4 4 + + + +∞ + − − 0 0 Sens de variation : Le signe de la dérivée permet de justifier : strictement croissante sur [0; 4] et strictement décroissante sur [4;+∞[ Limite en +∞ est une fonction polynôme, donc elle a même limite en +∞ que son terme de plus haut degré. −1 3 −1 3 aNA l + 2 + 2m = aNA l m = −∞ → h 3 → h 3 Images : 0 = ⋯ = 2 4 = 3 × 43 + 2 × 4 + 2 = 3‡ 3 = 0 admet une unique solution dans [4;+∞[, notée ˆ. 2° Montrer que l’équation D’après son tableau de variation est continue et strictement décroissnate sur [4;+∞[ L’intervalle image de [4;+∞[ est ‰−∞; 3 ‰ De plus 0 ∈ ‰−∞; 3 ‰ 3‡ Donc l’équation 3‡ = 0 admet une unique solution dans [4;+∞[ 3° Donner un encadrement de ˆ à 0,1 près. 6,15 ˆ 6,16 +0,10888 0 −0,0238 D’où 6,15 ≤ ˆ ≤ 6,16 est un encadrement de ˆ à 0,01 près 4° Dresser le tableau de signe de . Du tableau de variations complété avec ˆ unique solution de l’équation 0 ˆ +∞ + 0 − A.BERGER TES BLEUE année 2011-2012 = 0, on déduit : Page 11 sur 46 TES Bleue et Pervenche 23/11/2011 EXERCICE I : ( 4 points ) 1° On considère la fonction Qéfinie sur par : = 0,6 Déterminer une primitive ‹ de sur 1 31 ‹ = 0,6 3 + − + = 0,2 3 + 0,3 − + 3 52 • Déterminer la primitive ‹ de sur telle que ‹ 1 = 2 ‹ =‹ + , on calcule pour avoir ‹ 1 = 2 ‹ 1 = 2 ⇔ 0,2 × 1 + 0,3 × 1 − 1 + = 2 ⇔ −0,5 + = 2 ⇔ = 2,5 = 0,2 3 + 0,3 − + 2,5 Ainsi : ‹ • G = 5 −1 = 2 × + +B − * , Œ = 2° Dans chaque cas, déterminez une primitive de la fonction ′ 3 donc ‹ a pour primitive K = 8 = 2 × • +B − * * 2 2 −1 G•Y Z•ZNAN6N 5 donc ‹ 9 ‹ 3 = K • = J = 5 − 1QYP9 5 −1 Œ = [1;+∞[ K = 2 − 1QYP9 1 3 1 + + − Œ =]0;+∞[ 2 2 1 1 1 1 = + +3× − 2 2 1 1 1 −1 1 = × ²+ +3× − aP = 2 2 2 4 = sur Œ : + ⋆ ′ ⋆ = 1. aP ′ + 1 = + 1 = aP + on valide l’expression ( b) +1 = aP + = aP + on valide c) et on réfute a) 1 . aP + G ≠ 8 A.BERGER + 1 +1 = 1 3 − − aP 2 aP + = aP + 1 + +1 = TES BLEUE 1 3 2 − 1 =5 =2 3° On considère la fonction définie et dérivable sur ]0;+∞[ par : Retrouvez parmi les propositions suivantes la ou les expressions de ′= ’ + ’ = +1 = aP =1 + = + 1 . aP . Justifier. +1 9 1 + aP + année 2011-2012 1 = ’ Page 12 sur 46 EXERCICE II : ( 4 points ) D’après Nouvelle Calédonie Novembre 2004 1. La droite coupe l’hyperbole en deux points, mais un seul de ces deux points a son abscisse dans ]0;+∞[ , donc l’équation (E) semble avoir une unique solution dans ]0;+∞[. aNA − 2 = −2 2.a. Limite en 0 →J aNA →J gJ 1 = +∞QYP9aNA Limite en +∞ →J gJ −1 1 • QYP9aNA l − 2 − m = −∞QYP9aNAO →J →J = −∞ gJ gJ aNA − 2 = +∞ 1 • QYP9 aNA l − 2 − m = +∞QYP9 aNA O 1 → h → h aNA = 0 → h = +∞ → h ∈]0;+∞[ : O 2.b. dérivée : = 1− =1+ Signe de i B : Pour tout ∈]0;+∞[ : 1 1 > 0donc ² > 0donc > 0donc1 + > 0doncO Pour tout Ainsi la fonction O est strictement croissante sur ]0;+∞[ = −∞ >0 2.c. Equation i B = ‘ Tableau de variations de i ( non demandé, mais il facilite le travail suivant ) 0 +∞ + O′ +∞ O −∞ D’après ce tableau de variation, la fonction O est continue et strictement croissante sur ]0;+∞[ O ]0;+∞[ = ]−∞;+∞[ 0 ∈] − ∞;+∞[ Donc l’équation O = 0 admet une unique solution dans ]0;+∞[ , on la note ˆ O 2,41 −0,0049 D’où 2,41 ≤ ˆ ≤ 2,42 encadrement de ˆ d’amplitude 10 ˆ 0 2,42 +0,00678 −2= ⟺ −2− =0⟺O 2.d. Equation (E) : =0 Dans ]0;+∞[ la solution de O = 0 est aussi la solution de (E) : ainsi ’ est l’unique solution de (E), on retrouve ce qui a été observé graphiquement par le 1er élève : l’équation (E) a une unique solution dans ]0;+∞[. Remarque : un 3ème élève aurait pu résoudre l’équation (E), il aurait obtenu : 1 + √2 est la solution de l’équation (E). A.BERGER TES BLEUE année 2011-2012 Page 13 sur 46 EXERCICE III : (5 points ) Soit f la fonction définie et dérivable sur l'intervalle [−1;+∞[ dont la représentation graphique, dans un repère orthonormal, est la courbe donnée ci-dessous. La droite “ , tangente à la courbe au point A ; 2,75 a pour équation ( = La droite “’ est la tangente à la courbe au point B 1; 2 . L’axe des abscisses est asymptote à au voisinage de +∞. + 3,25 y 4 3 A B 2 (T) 1 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6x (T') -1 1° A partir des informations fournies par le graphique, recopier et compléter le tableau. 0 1 −1/2 1 0 -2 ′ 2,75 3 2 2° Dresser le tableau de variation de la fonction . -1 0 +∞ 3 Lu sur la courbe 2 + 0 − 0 déduit 3° Résoudre graphiquement dans [−1;+∞[ l’inéquation ≤0 D’après le tableau de variation, on a : ≤ 0 ⟺ ∈ [0;+∞[ L’ensemble de solution de l’inéquation est } = [0;+∞[ 4° Soit ‹ une primitive de sur [−1;+∞[ Déterminer le sens de variation de ‹. D’après le tableau de variation de , on a -1 +∞ + Or ‹ primitive de signifie ‹ = Donc le signe de donne les variations de ‹, donc F est strictement croissante sur [−1;+∞[ A.BERGER TES BLEUE année 2011-2012 Page 14 sur 46 5° On appelle O la fonction inverse de N O= 1 c’est à dire que O = 1 x =N∘ e) Pour ∈ [−1; +∞[ : donc ≠ 0donc existe, existe et >0 existe donc O Ainsi, la fonction O est bien définie sur [−1;+∞[ f) Calculer : O 0 = J = 3 O = / avec N: ~ ⟼ = ,_2 = K € O −1 = g) Calculer la limite de la fonction O en +∞. 1 1 aNA = 056 > 0, Q5•a M aNA = +∞donc aNA = +∞ €→J ~ → h → h GNPMN aNA O →+∞ = €gJ = +∞ h) Sens de variations de O sur l’intervalle [−1; 0] • est croissante sur [−1; 0] • [−1; 0] = [2; 3] • La fonction inverse N est décroissante sur ]0;+∞[,en particulier sur l’intervalle [2; 3 Donc la fonction composée O = N ∘ est décroissante sur [−1; 0]. sur l’intervalle [0;+∞[ • est croissante sur [0;+∞[ • [0;+∞[ =]0; 3] • La fonction inverse N est décroissante sur ]0;+∞[,en particulier sur l’intervalle ]0; 3] Donc la fonction composée O = N ∘ est décroissante sur [0;+∞[. O O′ i) Tableau de variation de la fonction O -1 0 +∞ 1/2 +∞ Lu sur la courbe 1/3 j) Déterminer O 1 . On applique = − − 1 − −2 1 = doncO 1 = = = 2 2 V W V 1 W A.BERGER TES BLEUE année 2011-2012 Page 15 sur 46 EXERCICE IV : ( 7 points ) Nouvelle Calédonie Mars 2011 La longueur est exprimée en kilomètre, étant compris entre 0 et 10. Le coût total de production en euros de l’entreprise CoTon est donné en fonction de la longueur = 15 3 − 120 ² + 500 + 750 formule : Le graphique de l’annexe donne la représentation graphique de la fonction . Si le marché offre un prix •en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la recette de l’entreprise CoTon pour la vente d’une quantité est égal à T Partie A : Étude du bénéfice 1. Sur [0; 10], par la = • . la droite d’équation ( = 400 est en-dessous de la courbe de la fonction Coût, ce qui signifie que pour un prix unitaire de 400€ , la recette ne peut être supérieure au coût, donc l’entreprise ne peut pas réaliser de bénéfice. 2. Dans cette question on suppose que le prix du marché est égal à 680 euros. a. Pour un prix de 680€, la droite d’équation ( = 680 est au-dessus de la courbe du coût sur l’intervalle [2,1; 8,7] , l’entreprise réalisera un bénéfice pour une production comprise entre 2,1•A et 8,7•A de tissu à 0,1•A près. b. Bénéfice : Pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 10] on a : 1 = 680 − = 680 − 15 3 − 120 + 500 + 750 = −15 3 + 120 + 180 − 750 Dérivée = −45 + 240 + 180 Pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 10] on a 1 c. Étudier les variations de la fonction B sur [0 ; 10]. Signe de la dérivée et variations : 1 est un polynôme de degré 2 : Δ = 240² − 4 × −45 × 180 = 90000 = 300 Ce polynôme a deux racines : 1 1 0 + = KJ 3JJ [J = 6 6 0 1410 − = KJ 3JJ [J 10 = − 3 mais − 3 ∉ [0; 10] G = −45 1 6 = −15 × 63 + 120 × 6 + 180 × 6 − 750 = 1410 1 0 = −750 1 10 = ⋯ = −1950 La fonction — est strictement croissante sur [0 ; 6] et strictement décroissante sur [6 ; 10] On en déduit : L’entreprise doit produire et vendre 6•A de tissu pour réaliser un bénéfice maximal de 1410 €. Partie B : Étude du coût moyen 1. Coût moyen Pour tout x appartenant à l’intervalle ]0 ; 10] on a : 15 3 − 120 + 500 + 750 750 = = = 15 ² − 120 + 500 + ˜ A.BERGER TES BLEUE année 2011-2012 Page 16 sur 46 Dérivée : Pour tout x appartenant à l’intervalle ]0 ; 10] on a : = 30 ˜ 30 30 120 3 120 120 750 De plus : 30 5 3 30 5 3 ⋯ 30 120 Ainsi 30 5 ′ 1 750 ˜ 750 2. a. Démontrer que pour tout x appartenant à ]0 ; 10], Pour tout x appartenant à l’intervalle ]0 ; 10] on a : ² H 0 56 ² 5 H 0 56 30 H 0 Donc Ainsi 2 V 3J ˜ 2W est du même signe que ′ ˜ est du signe de Tableau de variations de la fonction 0 5 0 ˜ ˜ 750 5 25 5 5 . Pour justifier que deux expressions ont le même signe, on justifie que les facteurs multiplicateurs qui ne leurs sont pas communs sont strictement positifs. 5. 5 sur "0 ; 10" est du signe de 5 5 On n’a pas besoin de connaître le signe des deux expressions complètes. sur l’intervalle ]0 ; 10]. 10 La fonction ˜ , coût moyen est strictement décroissante sur "0 ; 5" et strictement croissante sur %5 ; 10 " ˜ 425 b. Pour quelle quantité de tissu produite le coût moyen de production est-il minimum? Le coût moyen est minimal pour une production de 5 •A ˜ 5 5 2 2 2125 425 le coût moyen est 425€ par •A produit et vendu le coût total pour 5 •A produits et vendus est 2125€ Pour tracer une droite correctement, il faut utiliser trois points suffisamment espacés. De préférence, trouver des points sur les neouds du quadrillage. Sinon, mesurer avec précision. A.BERGER TES BLEUE année 2011-2012 Page 17 sur 46 DV 06/12/2011 On considère la fonction est définie sur ]0; +∞[ par : 2°a) Limite en 0 aNA 1 − = 1 →J aNA aP = −∞ • QYP9 aNA 1 − + 2aP = −∞GNPMN aNA →J gJ aP →J gJ ⋆ 1 − 2°b) limite en +∞ : 1−2 ™š =1− +2 aP →J gJ ™š =1− + 2aP . = −∞ = 1 − + 2aP = aP m = 1 m = − ∞ • QYP9 aNA − l1 − 2 → h aNA − = −∞ ⋆ aNA → h → h = 0 . YA•GZé5 QYP9 aNA l1 − 2 Q Yù aNA 1 − l1 − 2 → h 1° Dérivée : pour tout Signe de la dérivée : 0 2 + 0 − +2 0 + + 0 aP → h m = −∞GNPMN aNA = −1 + 2 × = −1 + = de ]0;+∞[ − + − = −∞ → h 3° Tableau de variation de ! : 0 1 2 + 0 +∞ −1 + 2aP2 0 −∞ − 3 0 2 = 1 − 2 + 2aP2 = −1 + 2aP2 3°a) 1 = 1 − 1 + aP1 = 0 3° b) d’après son tableau de variation, [3; 4] = [ 4 ; 3 ] la fonction est continue et strictement décroissante sur [3; 4] , de plus 0 ∈ [ 4 ; 3 ] car 3 ≈ +0.1956 4 ≈ −0.2274 donc l’équation = 0 admet une unique solution dans [3; 4] avec le petit tableau de valeurs… 3,51 est une valeur approchée à 0,01 près par défaut de α . 3° c) D’après le tableau de variations complété avec α et 1 , on a : 0 1 α +∞ − 0 + 0 − 4° On appelle O la fonction définie sur ]0; +∞[ par : O O =1× − 5°a) pour tout + 2aP − 1 + − + de ]0 ; +∞ [ , on a : On constate que O = × =− , donc Oest une primitive de = . − + 2aP − 1 − sur ]0, +∞[ 5° b) d’après la question 3c, on connaît le signe de , donc le signe de O’ décroissante sur ]0; 1] , croissante sur [ 1 ; α ], et décroissante sur [ α ; +∞ [. définie sur ]0 ;+∞[ par : 5 = 5. aP5 − 5 = 5 × 1 − 5 = 5 − 5 = 0 Ex II : 1° On considère la fonction 2° Pour tout de ]3; +∞[: 2 − ln − 3 ≥ 0 ⟺ − ln A.BERGER − 3 ≥ −2 ⟺ ln TES BLEUE • = • . ln −3 ≤2⟺ α 4 +∞ −∞ + 2aP − 1 + 2 = 1 − + 2aP , on en déduit que la fonction O est = . aP − • − • = • −aP5 − • = − • − • = − • −3≤5 ⟺ année 2011-2012 ≤ 3+5 } = ]3; 3 + 5 ] Page 18 sur 46 3° ln 5 2aP5 2×1 2 1 G aPG = = = = attentionàlaconfusion ∶ ln 56 ‼‼ K ln 16 ln 2 4aP2 4aP2 2aP2 8 aP8 A.BERGER TES bleue année 2011/2012 Page 19 sur 46 TESB DV 09/01/2012 1. Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation. “∩ issues “ 0,1 0,9 “§ • “ = 0,80 ̅ 0,20 J JJ = 0,1 ̅ •ª Données déduites : • “§ = 0,9 •ª Données : 100€ “∩ ̅ 0,10 0,90 Bénéfice : B 50€ “§ ∩ 50€ “§ ∩ ̅ 0€ = 0,80 • ª§ ̅ = 0,20 • ª§ = J = 0,1 ̅ = 0,90 2.a. • “§ ∩ = • “§ × • ª§ = 0,9 × 0,1 = 0,09 La probabilité que le client n’achète pas de table et achète un lot de chaises est égale à 0,09. 2.b. est la réunion des événements “ ∩ et “§ ∩ qui sont incompatibles, • = • “ ∩ + • “§ ∩ Or • “§ ∩ = 0,09 et • “ ∩ = • “ × •ª = 0,1 × 0,80 = 0,08 D’où • = 0,09 + 0,08 = 0,17 Ainsi la probabilité que le client achète un lot de chaises est 0,17 2.c. •S̅ “ = « S̅ ∩ª « S̅ ̅ ∩ “ = • “ × •ª Or • Donc •S̅ “ = « S̅ ∩ª « S̅ ̅ = 0,1 × 0,20 = 0,02 = J,‡3 ≈ 0,024 J,J et • ̅ =1−• = 1 − 0,17 = 0,83 la probabilité que la personne achète une table sachant qu’elle n’a pas acheté un lot de chaises est de 0,024. 3° Le bénéfice réalisé peut être de 0€, 50€ ou 100€ • • 1 = 0 = • “§ ∩ ¬ = • “§ × • ª§ ̅ = 0,9 × 0,9 = 0,81 • Les événements “§ ∩ 56“ ∩ ¬ sont incompatibles et ont pour union l’événement 1 = 50 • 1 = 50 = • “§ ∩ + • “ ∩ ¬ = 0,09 + 0,02 = 0,11 • 1 = 100 = • “ ∩ • = • “ × •ª = 0,1 × 0,8 = 0,08 D’où la loi de probabilité : Bénéfice Probabilité -°3 ® = ¯ •- × -° 0 0,81 - 50 0,11 100 0,08 = 0,81 × 0 + 0,11 × 50 + 0,08 × 100 ≈ 13,50. Le commerçant peut espérer faire un bénéfice de 13,50€ par client entrant dans le magasin. A.BERGER TES bleue année 2011/2012 Page 20 sur 46 BAC BLANC MATHEMATIQUES TERMINALE ES 13 /01/2012 corrigé EXERCICE I : ( 5 points ) Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième et donnés sous forme décimale. Jade est une jeune cavalière qui participe régulièrement à des concours d’obstacles. A chaque concours, elle a noté sur une fiche le nom de sa monture ainsi que la performance qu’elle a réalisée. L’examen de la collection de fiches ainsi constituée a permis à Jade d’établir que : Six fois sur dix, elle a monté Cacahuète, une vieille jument docile mais qui fait souvent tomber les barres d’obstacle. Lorsqu’elle a monté cacahuète, Jade a réussi son parcours deux fois sur cinq. Trois fois sur dix, elle a monté la jeune jument Tornade. C’est une jument performante, mais difficile à maîtriser. Lorsque Jade l’a montée, elle a réussi son parcours une fois sur deux. Lors des autres concours, Jade a monté le courageux et régulier Abricot. Avec lui, elle a réussi son parcours quatre fois sur cinq. Jade prend au hasard une fiche dans sa collection. On s’intéresse au nom du cheval et au résultat du concours mentionnés sur la fiche. On note : l’événement « Jade montait Cacahuète » “ l’événement « Jade montait Tornade » . l’événement « Jade montait Abricot » T l’événement « Jade a réussi son parcours » T§ l’événement « Jade n’a pas réussi son parcours » 1° Représenter cette situation par un arbre pondéré. 0,4 C 0,6 0,6 0,5 0,3 T 0,5 0,1 0,8 A T§ T Issues T T§ T C∩ T C∩ T§ T∩ T T∩ T§ A∩ T 0,2 T§ A ∩ T§ 2° Calculer la probabilité de l’événement : « Jade montait Abricot et a réussi son parcours » • A ∩ T = • . × •² T = 0,1 × 0,8 = 0,08 La probabilité que Jade montait Abricot et a réussi son parcours est égale à ‘, ‘³. Calculer la probabilité de l’événement : « Jade montait Cacahuète et a réussi son parcours ». • C∩ T = • × •S T = 0,6 × 0,4 = 0,24 La probabilité que Jade montait Cacahuète et a réussi son parcours est égale à ‘, w•. 3° Montrer que la probabilité de l’événement : « Jade a réussi son parcours » est égale à 0,47. T est la réunion de C∩ T, “ ∩ T, 56 A∩ T,quisontdeuxàdeuxincompatibles OuC∩ T, “ ∩ T, 56 A∩ T,forment une partition de T, donc par la formule des probabilités totales • T = • C∩ T + • “ ∩ T + • A∩ T = 0,24 + • T × •T T + 0,08 = 0,24 + 0,3 × 0,5 + 0,08 = 0,24 + 0,15 + 0,08 =0,47 • T§ = 1 − • T = 1 − 0,47 = 0,53 La probabilité que Jade a réussi son parcours est égale à 0,47. •U (“)= « T∩T = ≈ 0,319 arrondi au millième 4° Sachant que Jade a réussi son parcours, quelle est la probabilité que ce jour-là elle ait monté Tornade ? « U 0,15 J,K_ Sachant que Jade a réussi son parcours, la probabilité que ce jour là elle est monté Tornade est 0,319 5° Sachant que Jade n’a pas réussi son parcours, quelle est la probabilité que ce jour-là elle ait monté Abricot ? •U§ (.)= ¬ « A∩T § « U = § • A ׫A T « U§ = 0,1.×0,2 0,53 = J,23 ≈ 0,038 J,J Sachant que Jade n’a pas réussi son parcours, la probabilité que ce jour-là elle ait monté Abricot est 0,038 A.BERGER TES bleue année 2011/2012 Page 21 sur 46 EXERCICE II : ( 5 points ) NON SPECIALITE les parties A et B sont indépendantes. Partie A : La courbe ci-dessous est une partie de la courbe représentative dans un repère orthogonal d’une fonction définie et dérivable sur [−4; 4]. La droite “ tangente à la courbe au point . 0; 1,5 passe par le point 1 3; 0 . y 4 3 T 2 A 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 B 3 2 4 5 6 7 x -1 -2 -3 1. Aucune justification n’est demandée. Sur votre copie, reporter seulement le n° de la question, la lettre correspondant à votre réponse et cette réponse. ,2 1. a. réponse C : 0 est le coefficient directeur de la tangente à en A 0 = − 3 = −0,5 1. b. réponse C : lnV 1. c. réponse C : W=0⟺ = 1 or l’équation est décroissante sur [0; 1[ . l’intervalle image de [0; 1[ est ]0; 1,5] = 1 admet exactement 3 solutions . la fonction inverse N est décroissante sur ]0;+∞[, donc aussi sur ]0; 1,5] 2. Soit ‹ une primitive de sur [−4; 4] Déterminer le sens de variation de ‹. Justifier. F est une primitive de donc ‹ = On lit le signe de : −4 1 3 4 + 0 − 0 + Le signe de est aussi celui de ‹′ . On en déduit le sens de variation de ‹ ‹ est croissante sur [−4; 1], décroissante sur [1; 3] ; croissante sur [3 ;4] Partie B : On considère la fonction définie sur ]0;+∞[ par = − 2 + aP . L’étude admise de la fonction a permis d’établir le tableau de variation suivant : 0 1 ˆ 2 3 +∞ + ′ +∞ 0 −∞ 1. Montrer que l’équation = 0 admet une unique solution dans [1; 3]. On la note ˆ. D’après son tableau de variations, La fonction est continue et strictement croissante sur [1; 3] L’intervalle image d e [1; 3] est [ 1 ; 3 ] avec 1 = −1, 3 = 1 + aP3 0 ∈ [−1; 1 + aP3] Donc l’équation = 0 admet une unique solution dans [1; 3] que l’on note ˆ. 2. Avec la méthode de dichotomie sur l’intervalle [1; 3], donner un encadrement de ˆ d’amplitude 0,25. A.BERGER TES bleue année 2011/2012 Page 22 sur 46 • • • ˆ ∈ [1; 3] à 2 près A= = 2 2 ≈ 0,69 > 0 ⟹ ˆ ∈ [1; 2] à 1 près 3 A= = 1,5 1,5 ≈ −0,09 < 0 ⟹ ˆ ∈ [1,5; 2] à 0,5 près A= = 1,75 1,75 = +031 > 0 ⟹ ˆ ∈ [1,5; 1,75] à 0,25 près D’où 1,5 ≤ ˆ ≤ 1,75 est un encadrement de ˆ à 0,25 près . • ,2 3. En appliquant la méthode du balayage d’un intervalle, donner une valeur approchée de ˆ à 0,1 près. 1,5 ˆ 1,6 −0,0945 0 +0,07 Ainsi ˆ ≈ 1,5 valeur approchée à 0,1 près EXERCICE III : (4 points) y 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 1. Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes : = 100 ⟺ 1. a. Pour quelle durée de travail quotidien y a –t-il saturation ? On dit qu’il y a « saturation » lorsque la fonction de satisfaction prend la valeur 100. Or = 4 donc il y a satisfaction pour 4heures de travail quotidien. 1.b. Sur quel intervalle y a-t- il « envie » ? il y a envie lorsque est positive, or [0; 4] donc il y a envie pour une durée quotidienne de travail de 0h à 4h 1.c. Sur quel intervalle y a-t- il « rejet » ? il y a rejet lorsque est négative, or [4; 8] donc il y a rejet pour une durée quotidienne de travail de 4h à 8h 4 = 0 car la tangente à 1. d. Donner 4 : 4 = horizontale , donc de coefficient directeur nul. A.BERGER = ′ et = ′ et croissante sur décroissante sur au point de coordonnées 4; 100 est TES bleue année 2011/2012 Page 23 sur 46 2. On admettra que la fonction est ici une fonction affine définie sur [0; 8]. = Expliquer pourquoi son expression est : = ′ 4 = 0 soit 4 =0 et or on donne : 2 + 50. -P 6NaNM5a59Y5 N9N5P6QNZ5965 ZQ5aG6GPO5P65àaG9Y Z85Q5 5Pa YZNONP5: c’est-à-dire 0 = 50 et =G +8 0 − 4 50 − 0 50 25 = =− = − 0−4 0−4 4 2 0 = 2J = 50 formule du coefficient directeur G= 0 = 50 − D’où avec 2 × 0 + 8 = 50 donc 8 = 50 =− 2 + 50 = ² + 50 . 3. Sachant que 0 = 0, montrer que K = donc est une primitive de , c’est la primitive qui prend en 0 la valeur 0. =− =− 2 + 50 25 1 × 2 2 2 + 50 + • 0 = 0⟺0+0+• = 0⟺ • =0 ainsi que = K 2 ² + 50 . 4. En déduire les valeurs pour lesquelles la satisfaction prend la valeur 75. On résout = 75 ⟺ − ⟺− 2 K 2 K ⟺ = ⟺ + 50 = 75 + 50 − 75 = 0Δ = 50 − 4 × 2J 2 ,2 Y = = 6Y = 2 2J 2 ,2 K 2 × −75 = 625 = 25 > 0 La satisfaction prend la valeur 75 pour une durée de travail quotidien de 2h ou 6h A.BERGER TES bleue année 2011/2012 Page 24 sur 46 On admettra que les fonctions considérées dans cet exercice sont dérivables sur l’intervalle ]0;+∞[. Soit la fonction définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par : = 2 − aP . aP La figure ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal. La courbe coupe l’axe des abscisses en A 1; 0 et en B. La tangente en E à la courbe est parallèle l’axe des abscisses La droite “² est la tangente en A à la courbe . EXERCICE IV : (6 points) 2 E 1 A 1 0 B 2 3 4 5 6 7 8 -1 1. Résoudre l’équation =0 En déduire l’abscisse, en valeur exacte, du point B. = 0 ⇔ 2 − aP = 0Y aP = 0 ⇔ aP = 2Y aP = 0 ⇔ = 5 Y = 1 Les solutions sont 5 561. A et B sont les 2 points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses donc l’abscisse de B est 5 -2 Cf 2. a. Calculer la limite de aNAaP = −∞ →J gJ aNA 2 − aP →J gJ en 0, interpréter graphiquement. • ⟹ aNA aP →J = +∞ La droite d’équation gJ 2 − aP = −∞GNPMNaNA = 0 est asymptote (verticale) à la courbe. 2. b. Calculer la limite de en +∞. aNA aP = +∞ → h aNA 2 − aP → h = −∞ f ⟹ aNA → h 3. On note ′ la fonction dérivée de sur ]0;+∞[ 3. a. Démontrer que pour tout réel de ]0;+∞[, on a : = + = 2 − aP =− 1 = − aP + 2 − aP 1 = = aP = −aP + 2 − aP = = −∞ = −aP + 2 − aP 3. b. Etudier le signe de . Racine 2 − 2aP = 0 ⇔ −2aP = −2 ⇔ aP = 1 ⇔ = 5 Signe 2 − 2aP > 0 ⇔ −2aP > −2 ⇔ aP < 1 ⇔ 0 < < 5 0 e +∞ + − 2 − 2aP + 0 + + 0 − A.BERGER = −∞ →J gJ ™š = TES bleue année 2011/2012 2 − 2aP Page 25 sur 46 4. Dresser le tableau de variation de la fonction . 0 1 e 5 +∞ + 0 − ′ 1 0 0 −∞ −∞ 5 =1 5. Calculer l’équation de la tangente à (= G −G + G G = 1 = 2 − 2aP1 1 =2 56 en A : l’abscisse de A est G = 1 G = 1 = 2 − aP1 aP1 = 0 Equation : ( = 2 − 1 + 0 La tangente à en A a pour équation ( = 2 − 2 6. Dans une entreprise, on a modélisé par la fonction sur l’intervalle %0,2 ; +∞%, le « bénéfice » mensuel (éventuellement négatif) réalisé en vendant x milliers d’objets fabriqués. Ce bénéfice est exprimé en milliers d’euros. En utilisant les résultats des questions précédentes, répondre aux questions suivantes : 6. a. Combien faut-il vendre d’objets pour réaliser le bénéfice mensuel maximal ? Quel est le montant de ce bénéfice maximal ? D’après son tableau de variation, la fonction a pour maximum 1 atteint en 5. 5 ANaaN5ZM = 5 × 1000 ≈ 2,71828 × 1000 = 2718,28 1 ANaaN5Z Q’5 ZYM = 1000 5 ZYM Donc l’entreprise doit vendre 2718 objets pour réaliser le bénéfice maximal qui est alors égal à 1000 euros. 6. b. Quel nombre d’objets l’entreprise doit-elle vendre mensuellement pour que le bénéfice soit positif ou nul ? D’après le tableau de variation complété par les solutions 1 et 5 de l’équation = 0, le bénéfice est %1; " 5 positif ou nul pour ∈ 5 ANaaN5ZM ≈ 7,3890 × 1000 ≈ 7389 Pour avoir un bénéfice positif ou nul, l’entreprise doit vendre entre 1000 et 7389 objets. A.BERGER TES bleue année 2011/2012 Page 26 sur 46 TES Bleue et Pervenche 08/02/2012 EXERCICE I : ( 5 points ) • » = 1° Données : 2° Arbre pondéré : 0,4 0,6 » »̅ KJ JJ 0,6 0,4 23/30 7/30 = 0,40•¼ ½ = ½ ¬ ½ ½ ¬ ½ Issues »∩½ ]J JJ = 0,60 Centres Etrangers juin 2010 Coût (€) 18 € ¬ »∩½ 12€ ¬ »̅ ∩ ½ 0€ »̅ ∩ ½ 6€ ¬ = 0,4 Données déduites : • »̅ = 0,60•¼ ½ Donnée supplémentaire : • ½ = 3° « le téléphone possède les deux options » : » ∩ ½ • » ∩ ½ = • » × •¼ ½ = 0,4 × 0,6 = 0,24 La probabilité de l’évènement « le téléphone possède les deux options » est égale à 0,24. _ J = 0,7 4° W est la réunion de » ∩ ½ et »̅ ∩ ½ qui sont incompatibles, Donc • ½ = • » ∩ ½ + • »̅ ∩ ½ Donc • »̅ ∩ ½ = • ½ − • » ∩ ½ = 0,7 − 0,24 = 0,46 0,46 46 23 • »̅ ∩ ½ = = = ¬ 0,6 60 30 • » 5° événement : »̅ MG9ℎGP6½ • ½ ∩ »̅ 0,46 46 23 •¾ »̅ = = = = • ½ 0,7 70 35 3 Ainsi, sachant que le téléphone a l’option Wifi, la probabilité qu’il ne possède pas l’option GPS est 32. •¼̅ ½ = 6° Les différentes valeurs du coût, noté droite de l’arbre • • • • , sont : 0€, 6€, 12€5618€ comme le montrent la colonne à ¬ = • §§§ ¬ = 0,6 × = 0 = • »̅ ∩ ½ » × •¼̅ ½ 7 4,2 = = 0,14 30 30 = 6 = • »̅ ∩ ½ = 0,469 4° ¬ = • » × •¼ ½ ¬ = 0,4 × 0,4 = 0,16 = 12 = • » ∩ ½ = 18 = • » ∩ ½ = 0,249 3° D’où la loi de probabilité du coût : 0 6 Valeur de 0,14 0,46 Probabilité •-°K 12 0,16 18 0,24 Total : 1 7° Espérance mathématique de cette loi : ® = ¯ •- × -° - = 0,14 × 0 + 0,46 × 6 + 0,16 × 12 + 0,24 × 18 = 9 Dans la situation décrite, on peut espérer un coût moyen de 9€ par téléphone portable A.BERGER TES bleue année 2011/2012 Page 27 sur 46 Une entreprise fabrique chaque mois tonnes d’un certain produit, avec appartenant à l’intervalle]0; 6]. Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d’euros, pour une production mensuelle de x tonnes est donné par EXERCICE II : ( 6 points ) Métropole septembre 2011 , où est la fonction définie par 1° Conjectures calculatrice = 0,015 +2 1. a. La fonction coût est décroissante sur ]0; 4,2] et croissante sur [4,2; 6] 1. b. Le coût moyen est minimum pour une production de 4,2 tonnes, et ce coût est de 0,635 milliers d’euros, c’est-à-dire 635 € par tonne. 1. c. Le coût moyen est de 4000 euros, c’est-à-dire 4 milliers d’euros pour une production de 0,504 tonnes, soit environ 500 •O 2° On désigne par ′ la fonction dérivée de la fonction . Pour tout nombre réel appartenant à l’intervalle ]0; 6] : = 0,015 + 2 = 0,015 = =1 = 0,015 × − 1 × 0,015 + 2 0,01 5 − 0,015 − 2 = ² ² 3° On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0; 6] par = 0,01 5 − 0,015 − 2. ¿À ÀÁÀ À 3. a. Pour tout nombre réel appartenant à l’intervalle ]0; 6] : = 0,01 = 0,01 = 5 =5 = 0,01 × 5 + 5 × 0,01 − 0,015 = 0,015 + 0,01 5 − 0,015 = 0,01 5 3. b. Sens de variation de la fonction f sur l’intervalle]0; 6]. 0 6 0 + 0,01 + 5 || + ′ Ainsi, la fonction est strictement croissante sur ]0; 6] 3. c. Justifier que l’équation f ( x) = 0 admet une seule solution ˆ appartenant à l’intervalle [4; 5]. 0 4 ˆ 5 6 + ′ 4 ≈ −0,3621 6 5 ≈ 3,9365 5 6 ≈ 18,171 0 4 −2 A.BERGER TES bleue année 2011/2012 Page 28 sur 46 D’après son tableau de variations, • la fonction est continue et strictement croissante sur [4; 5] • l’intervalle image de [4; 5] par est [ 4 ; 5 ] • de plus 0 ∈ [ 4 ; 5 ] = 0 admet une uique solution dans [4; 5], notée ˆ. donc, l’équation 3. d. A l’aide des informations ci-dessous, fournies par le logiciel XCas, donner la valeur arrondie au dixième du nombre réel ˆ. D’après la valeur approchée donnée par le logiciel , on a : ˆ ≈ 4,2 arrondi au dixième 3. e. Déduire des résultats précédents le signe de sur l’intervalle ]0; 6]. D’après le tableau de variations, complété avec ˆ, unique solution de l’équation 0 ˆ 6 Signe de || − 0 + = 0, on a : 4° À l’aide des questions précédentes, justifier que le minimum du coût moyen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de ˆ tonnes du produit. On observe que : = Or ² > 0 sur ]0; 6], donc &′ B est du signe de ! B . Le signe de D’où les variations de 0 ˆ 6 ′ || − 0 + a été établi à la q3. ˆ La fonction est décroissante sur ]0; ˆ] puis croissante sur [ˆ; 6] Donc le coût moyen est minimum pour une production de ˆ tonnes soir environ : 4,2 tonnes On peut observer que la valeur arrondie ˆ ≈ 4,2 est cohérente avec la valeur conjecturée sur la calculatrice q1b. EXERCICE III : ( 4 points ) 1a 2b 3a 1° Soit la fonction définie sur ]0;+∞[ par = 3 +1+ •Ã Ä Réponse a : conjecture à la calculatrice : la droite d’équation = 0 est asymptote à On vérifie en calculant la limite de quand x tend vers 0 ⋆ aNA3 + 1 = 1 →J ⋆ aNA5 = 1 et aNA →J gJ Q YùaNA →J gJ →J gJ = +∞ 3 = 0 Qonc aNA →J gJ 5 3 = +∞ 2° Le nombre −3 est solution de l’équation (a) : aP = −aP3 Réponse b : -3 < 0donc on élimine a et c qui ont aP A.BERGER (b) : ln 5 = −3 TES bleue année 2011/2012 (c) : 5 ™š = −3 (d): 5 = −3 Page 29 sur 46 b) ln 5 = −3 or ln 5 = donc = −3 on contrôle quand même que -3 n’est pas solution de d) 3° Soit la fonction définie sur ]0;+∞[ par = 3aP − 2 + 5 Dans le plan muni d’un repère, la tangente à la courbe représentative de la fonction en son point d’abscisse 1 admet pour équation : (a) : ( = + 2 (b) : ( = − + 4 (c) : ( = 3 + 1 (d) : ( = + 3 Réponse : a On conjecture avec la calculatrice. (=1 = − 2QYP9 3 1 = 1 et − 1 + 3 soit ( = +2 On calcule l’équation ( = 1 =0−2+5 = 3 1 −1 + 1 P entier naturel 4° On considère l’algorithme suivant : Entrée Initialisation Traitement Affichage Initialisation Etape 1 Etape 2 Etape 3 Etape 4 Etape 5 Affichage Donner à Å la valeur 0 Donner à Æ la valeur 4 Donner à } la valeur 4 Tant que Å < P Affecter à Å la valeur Å + 1 Affecter à Æ la valeur 4 + 2Å Affecter à } la valeur } + Æ Fin Vous devez tester Ç < È avant le traitement des 3 actions • • Afficher la valeur de } 0<5 : traitement 1<5 : traitement 2<5 : traitement 3<5 : traitement 5≮ + : ARRET 4<5 : traitement Valeur de Å 0 1 2 3 4 5 Valeur de Æ 4 6 4+4=8 4+6=10 4+8=12 4+10=14 EXERCICE IV : (6 points) Partie A : est la courbe représentative d’une fonction La tangente “ à 1° 1 = et au point . 1; ′ 1 = −3 Tant que • < P : il y a traitement Quand • ≮ P : il y a arrêt, et il affiche ce qu’il a en mémoire Valeur de } 4 10 18 28 40 54 S = 54 dans un repère orthonormal. a pour coefficient directeur −3. 2° La fonction est définie sur ]0;+∞[ par = G ² + 8 − 4aP , où G et 8 sont deux réels. a) Pour ∈]0;+∞[ , = 2G + 8 − b) Etablir le système 1 1 1 1 = ⇔ G 1 + 8 1 − 4aP1 = ⇔ G + 8 = 2 2 2 K 1 = −3 ⇔ 2G × 1 + 8 − = −3 ⇔ 2G + 8 = 1 donc G568 solutions du système : K A.BERGER TES bleue année 2011/2012 G+8 = 2G + 8 = 1 Page 30 sur 46 : c) Déterminer G et 8 G+8 = 2G + 8 = 1 Donc ⇔: G= G + 1 − 2G = −G = − ⇔: ⇔: ⇔Ê 8 = 1−2 = 0 8 = 1 − 2G 8 = 1 − 2G 8 = 1 − 2G G+8 = G = 568 = 0 Partie B : On admet que La fonction est définie sur ]0;+∞[ par 1° Calculer aNA →J gJ . Interpréter graphiquement le résultat. 1 ² = 0 1 →J 2 • QYP9aNA l →J 2 aNAaP = −∞QYP9aNA − 4aP = +∞ aNA →J gJ →J gJ Ainsi aNA gJ = +∞ et la droite d’équation →J gJ 2° Factoriser ! B par B et en déduire aNA → h * = ² − 4aP = B w = ² − 4aP − 4aP m = +∞ = 0 est asymptote verticale à la courbe . B−• ËÈB B 1 aNA = +∞ 1 aP → h2 −4 m = +∞ • QYP9 aNA l aP → h 2 = 0 ZYNMMGP959YA•GZé5 aNA En factorisant , → h De plus aNA = +∞ aNA → h Ainsi aNA → h = +∞ −4 → h ™š = +∞ 3° Calculer ′ pour ∈]0;+∞[ puis étudier son signe. 1 = − 4aP 2 Pour ∈]0;+∞[ 4 Bw − • = − = B Racines ∶ − 4 = 0 ⇔ − 2 + 2 = 0 ⇔ = 2Y = −2 on garde que 2 sur ]0;+∞[ Signe : numérateur second degré Dénominateur : 1er degré −4 0 0 || − + − 2 0 0 + + + +∞ +∞ 4° Dresser le tableau de variations de la fonction . ′ 0 A.BERGER − +∞ 2 0 2-4ln2 + +∞ TES bleue année 2011/2012 Page 31 sur 46 5° On considère la fonction ‹ définie par ‹ Montrer que la fonction ‹ est une primitive de On dérive F ‹ =] ‹′ = 3 ] 3 + 4 − 4 . aP + 4 − 4. aP + 4 × ‹′ = donc ‹ est une primitive de = sur ]0;+∞[ . = ] 3 + 4 − 4 . aP sur ]0;+∞[ . + 4 − 4aP − 4 = sur ]0;+∞[ . − 4aP = 5° Sur papier millimétré, dans un repère orthonormal d’unités 2cm, tracer la tangente au point d’abscisse 2, elle a pour coefficient directeur 0 la tangente “ à et la courbe . au point . 1; a pour coefficient directeur −3. y 5 4 3 Cf 2 1 A -1 0 -1 1 2 3 4 5 x S -2 A' A.BERGER TES bleue année 2011/2012 Page 32 sur 46 DV 12/03/2012 1.a.. Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation. issues Bénéfice : B . 0,2 0,8 0,70 0,30 .̅ ̅ • . = J JJ = 0,2 34€ .∩ ̅ 30€ .̅ ∩ 0,25 0,75 .∩ ̅ •² 4€ .̅ ∩ ̅ Les valeurs soulignées, non données, ont été rajoutées par la suite. 0€ = 0,70 Données déduites : • .̅ = 0,8 •² ̅ = 0,30 Donnée supplémentaire : • .̅ ∩ ̅ = 0,6 Données : 1° ⋆ • .̅ = 1 − • . = 1 − 0,2 = 0,8 ⋆ • .̅ ∩ ̅ = 0,6 c’est une donnée : 60 % des clients n’achètent ni l’appareil photo, ni la carte mémoire 0,6 3 • .̅ ∩ ̅ ⋆ •²̅ ̅ = = = = 0,75 ̅ 0,8 4 • . Un client n’achète pas l’appareil photo en promotion, la probabilité qu’il n’achète pas non plus la carte mémoire en promotion est égale à 0,75. On peut reporter cette valeur dans l’arbre et déduire •²̅ = 0,25 est la réunion des événements . ∩ et .̅ ∩ qui sont incompatibles, • = • . ∩ + • .̅ ∩ or • .̅ ∩ = • .̅ × • ²̅ = 0,8 × 0,25 = 0,2 et • . ∩ = • . × •² = 0,2 × 0,7 = 0,14 D’où • = 0,2 + 0,14 = 0,34 2° Ainsi la probabilité qu’un client achète la carte mémoire en promotion est 0,34. 3° •S . = « ²∩S « S = J,3K = J, K _ _ Sachant qu’un client achète la carte mémoire en promotion, la probabilité que ce client achète aussi l’appareil photo en promotion est 7/17. ¬ ∩ = 0,2 • 1=4 =• . • 1 = 30 = • . ∩ § = • . × •. ¬ = 0,2 × 0,3 = 0,06 4°a) Bénéfice : Le bénéfice peut prendre quatre valeurs, comme indiqué dans l’arbre pondéré • 1 = 34 = • . ∩ = 0,14 Bénéfice par client en euros Probabilité d’atteindre le bénéfice A.BERGER 0 0,6 4 0,2 30 0,06 TES bleue année 2011/2012 34 0,14 Page 33 sur 46 4° b) espérance de gain par client -°K ® = ¯ •- × -° - = 0,6 × 0 + 0,2 × 4 + 0,06 × 30 + 0,14 × 34 = 7,36 Le commerçant peut espérer faire un bénéfice de 7,36€ par client donc un bénéfice global de 736€ pour 100 clients profitant de la promotion. 5° a) On répète 3 fois de manière identique et indépendante une même épreuve qui n’a que deux issues . et .̅ de probabilités respectives 0,2 et 0,8. Schéma de Bernoulli représenté par un arbre pondéré : 1er client 2ème client A 0,2 A 0,8 0,2 .̅ 0,8 3ème client Issues A .̅ AAA 3 .̅ A.̅A 2 A.̅.̅ A A A .̅ .̅ .̅ A .̅ AA.̅ .̅AA .̅A.̅ .̅.̅A .̅.̅.̅ Nombre d’achats 2 1 2 1 1 0 5° b) H « exactement deux de ces trois clients achètent l’appareil photo en promotion » • Ì = • ...̅ + • ..̅. + • .̅.. = 3 × V• . W × • .̅ carleschoixdesclientssontindépendants = 3 × 0,2 × 0,8 = 0,096 La probabilité qu’exactement deux de ces trois clients achètent l’appareil photo en promotion est égale à 0,096 5° c) I « au moins un de ces trois clients n’achète pas l’appareil photo en promotion » Œ ̅ : « les trois clients achètent l’appareil en promotion » • Œ ̅ = • ... = V• . W = 0,23 = 0,008 3 • Œ = 1 − • Œ ̅ = 1 − 0,008 = 0,992 La probabilité qu’au moins un de ces trois clients n’achète pas l’appareil photo en promotion est égale à 0,992. A.BERGER TES bleue année 2011/2012 Page 34 sur 46 TES Bleue et Pervenche 28/03/2012 EXERCICE I : (5 points) Antilles septembre 2011 Fréquentation des lignes aériennes, en millions de passagers. 1° Pourcentage d’évolution du nombre de passagers entre 2005 et 2008 Nombre de passagers en 2005 : 82millions en 2008 : 97,9 millions ÏÐ-šÑ™• − Ï-š-Ò-Ñ™• 97,9 − 82 6= × 100 = × 100 ≈ 19,4 82 Ï-š-Ò-Ñ™• 2° a. Nuage de points ÓÔ BÔ ; ÕÔ pour Ô variant de 1 à 7. Le nombre de passagers a augmenté de 19,4 % entre 2005 et 2008. 2° b. Coordonnées du point moyen : 1 103 ̅ = 0 + 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 28 = ≈ 14,7 7 7 376,8 1 (§ = 21,9 + 26,4 + 36,9 + 44,7 + 67 + 82 + 97,9 = ≈ 53,8 7 7 Le point moyen est » 14,7; 53,8 en arrondissant les coordonnées au dixième. 3° Le nuage de points n’a pas une forme linéaire, la croissance semble d’abord lente, puis de plus en plus rapide, un ajustement affine n’est pas adapté. 4° Un ajustement exponentiel est préférable. Année 1980 1985 1990 1995 2000 2005 0 5 10 15 20 25 Rang de l’année Ö 67 82 Nombre de passagers (- (en millions) 21,9 26,4 36,9 44,7 Ö 3,086 3,273 3,608 3,800 4,205 4,407 Ö3 ×5° Pour la série B; Ø , avec ÖNPT5O Ö , Ö3 , une équation de la droite de régression de Ø méthode des moindres carrés est : × = 0,055 + 3,044 (les coefficients étant arrondis au millième). 2008 28 97,9 4,584 en B par la 6° Exprimons Õ en fonction de B: On a × = 0,055 + 3,044 aP( = 0,055 + 3,044 D’où : ( = 5 J,J22 3,JKK ( = 5 J,J22 × 5 3,JKK et × = aP( or 5 3,JKK ≈ 20,989 Ainsi ( = 20,9895 J,J22 est l’équation de l’ajustement exponentiel de la série ; ( . 7° Prévision pour 2011 avec le modèle exponentiel : = 31 ( = 20,9895 J,J22×3 ≈ 115,47 2011 est l’année de rang 31. Pour Selon notre modèle exponentiel, on peut prévoir 115,5 millions de passagers en 2011. Cohérence ? Méthode 1 : Prévision des compagnies aériennes : 30% de plus qu’en 2008 : 30 97,9 × l1 + m = 97,9 × 1,30 ≈ 127,3 100 A.BERGER TES bleue année 2011/2012 Page 35 sur 46 Méthode 2 : 6 = 2,2 [_,[ [_,[ 17,9% de 2008 à 2011 × 100 ≈ 17,9 avec notre modèle exponentiel, il y a une augmentation de Notre modèle n’est pas cohérent avec les prévisions. Les compagnies aériennes ont fait une prévision nettement supérieure à celle donnée par le modèle exponentiel. y nb de passagers (en millions) 110 100 M7 90 80 M6 70 M5 60 50 M4 40 M3 30 M2 20 M1 10 rang de l'année 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 1+1.5+1+0.5+1+1 Le plan est muni d’un repère orthonormal -; ÚÛ; ÜÛ d’unité graphique 2 cm. On s’intéresse à la fonction définie sur l’ensemble des réels par = −1 + 5 On note C sa courbe représentative dans le repère -; ÚÛ; ÜÛ . 1. a. Limite de la fonction !en +∞. 30 32 34x EXERCICE II : (6 points Polynésie Septembre 2011 aNA = +∞ et aNA 5 = +∞ donc aNA . 5 = +∞ donc aNA −1 + 5 → h QYP9 aNA → h → h = +∞ → h → h 1..b. Limite de la fonction ! en −∞. aNA 5 = 0 (C. Comparée) et aNA − 1 = −1 donc aNA −1 + 5 → h → h → h = +∞ = −1 ainsi aNA → h Interprétation graphique : la droite d’équation ( = −1 est asymptote horizontale à la courbe C au voisinage de −∞ 2.a. Dérivée. Pour tout nombre réel x , avec = . + . = =5 ′ = 1 ′ =5 = 0+1×5 + ×5 =5 + 5 = Donc On obtient bien : = +1 5 A.BERGER = −1 +1 5 TES bleue année 2011/2012 Page 36 sur 46 2.b. Dresser le tableau de variations de la fonction . (la valeur de l’extremum sera arrondie à 10 − 2). Racines de la dérivée + 1 = 0 ⇔ + 1 = 0 ⟺ = −1565 > 0 MNOP5de ′ 5 ′ −∞ − 1 − 0 + − 0 +1 Tableau de variations de ! ′ Minimum : −∞ -1 − −1 = −1 − 5 + −1 0 +∞ + + 0 + −1 − 5 ≈ −1,37 ˆ 1 +∞ +∞ 0 3.. Equation ! B = ‘ dans l’intervalle [‘; *]. D’après son tableau de variations, la fonction est continue et strictement croissante sur [0; 1] Ö NP65Z Gaa5NAGO55M6[ 0 ; 1 ] avec 0 = −1 et 1 = −1 + 5 ≈ 1,71 Donc 0 ∈ [ 0 ; 1 ] Donc l’équation = 0 admet une unique solutionˆ dans [0; 1]. Encadrement d’amplitude 10 de α . 0,56 −0,0196 0 ˆ +0.0791 0,57 D’où 0,56 ≤ ˆ ≤ 0,57 est un encadrement de α d’amplitude 10 . 4.. Démontrer qu’une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0 est y = x − 1 . La tangente a pour équation( = G + − G G G = 0 = −156 G = 0 = 0 + 1 5J = 1 Donc T : ( = −1 + × 1MYN6( = − 1 5.. Dans le repère -; ÚÛ; ÜÛ tracer la droite T et la courbe C. Penser à placer judicieusement l’origine du repère et penser à placer le sommet } −1;−1 − 5 Conjecture sur la position de la courbe C par rapport à la droite T : On conjecture que la tangente T est au dessous de la courbe C avec comme seul point de contact le point A d’abscisse 0. 6.. Pour étudier une position relative, on étudie le signe de la différence des deux fonctions : − − 1 = −1 + 5 − − 1 = 5 − = 5 − 1 MNOP5de 5 − 1 : 5 − 1 > 0 ⇔ 5 > 1 ⇔ > aP1 ⇔ > 0 −∞0 +∞ − 0 + 5 − 1 − + − (ª + 0 + A.BERGER TES bleue année 2011/2012 Page 37 sur 46 Conclusion : Pour tout ≠ 0 > −1 Ainsi la courbe C est toujours au dessus de la tangente T et le point . 0 ; −1 est leur seul point de contact. y 3 Cf 2 T:y=x-1 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 S EXERCICE III : (5 points) Fournisseur A Fournisseur B Total Métropole septembre 2011 Doullet 10 5 15 Rinar 10 10 20 Vécosse 10 15 25 Total 30 30 60 Pierre reçoit le colis, et tire au hasard une médaille. Dans la suite de l’exercice, on suppose que chaque médaille a la même probabilité d’être tirée. + 1.a. Montrer que la probabilité que cette médaille soit à l’effigie de Vécosse est égale à *w . Soit V l’événement « cette médaille soit à l’effigie de Vécosse » D’après l’énoncé on fait l’hypothèse d’équiprobabilité. P8 Q5 9GM G YZG8a5M 25 5 • Ï = = = P8 Q5 9GM •YMN8a5M 60 12 + Donc la probabilité que cette médaille soit à l’effigie de Vécosse est égale à *w 1.b. Quelle est la probabilité que cette médaille soit à l’effigie de Vécosse et provienne du fournisseur B ? P8 Q5 9GM G YZG8a5M 15 1 • Ï∩1 = = = P8 Q5 9GM •YMN8a5M 60 4 * Donc la probabilité que la médaille soit à l’effigie de Vécosse et provienne du fournisseur B est • c. Pierre constate que la médaille tirée est à l’effigie de Vécosse. Quelle est la probabilité qu’elle provienne du fournisseur B ? 1 • Ï∩1 1 12 3 •Ý 1 = = 4 = × = 5 • Ï 4 5 5 12 3 La probabilité que la médaille provienne du fournisseur B sachant qu’elle est à l’effigie de Vécosse est 2 A.BERGER TES bleue année 2011/2012 Page 38 sur 46 Pierre remet la médaille dans le colis. 2. Pierre répète maintenant trois fois de suite les mêmes gestes : − il tire au hasard une médaille ; − il note l’effigie du champion et remet la médaille dans le colis. Quelle est la probabilité qu’au moins une des médailles soit à l’effigie de Vécosse ? Il s’agit de la répétition trois fois de tirages identiques et indépendants (car la médaille est remise ¬ • Ï = 2 et • ϧ = 1 − • Ï = _ entre chaque tirage) n’ayant que deux issues : Þ et Þ Le nombre de médailles à l’effigie de Vécosse suit une loi binomiale. A « Au moins une médaille est à l’effigie de Vécosse » a pour événement contraire .̅« aucune n’est à l’effigie de Vécosse » • . = 1 − • .̅ ) = 1 − • ϧ ϧ ϧ • . = 1 − • ϧ ϧ ϧ = 1 − • ϧ • ϧ • ϧ car les tirages sont indépendants 7 3 = 1 − l m 12 3K3 = 1 − _ ‡ = 3‡2 _ ‡ ≈ 0,80 La probabilité qu’au moins une des médailles soit à l’effigie de Vécosse est égale à 0,80 à 0,01 près. EXERCICE IV : (4 points) d’après Polynésie Juin 2010 Pour chacune des questions 1. – 2. – 3. , trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte. 1° Une primitive de la fonction O définie sur par O = 5 est la fonction » définie sur par : » = − −1 5 » = −1 × 5 + −5 × − − 1 = −5 + 5 + 5 = 5 = O = 0,8 2° La fonction ℎ est définie sur par ℎ ™šJ,‡ ™š J,‡ ℎ = 0,8 = 5 =5 on utilise Gß = 5 ß.™šÑ 3° La courbe de la fonction −4 Signe de permet de lire le signe de −1 3 − 0 + 0 : − 6 On en déduit les variations de ses primitives ‹à Toute primitive est décroissante sur [−4;−1] croissante sur [−1; 3] et décroissante sur [3; 6] Seule la courbe C3 représente une courbe ayant ces variations, donc C3 est la représentation graphique d’une primitive de la fonction . 4° On considère la fonction aP Sans justifier : a) Donner l’ensemble de définition de aP lnV W existe si et seulement si >0 D’après le tableau de signe de : cáâ =] − 1; 3[ b) Donner aNA : aNA =0 aNA → g = 0 G 59 « On aurait dû donner » : → g A.BERGER → g > 0 et aNAaP~ = −∞ donc aNA lnV €→J €gJ → g TES bleue année 2011/2012 W = −∞ Page 39 sur 46 Corrigé DV 30/04/2012 Ex1 : 1. En utilisant les données et le graphique, préciser : 1. a. 0 3 0 2 , c’est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 0. 1.b. La limite de la fonction f en + ∞ : aNA 1 car la droite D d’équation ( voisinage de +∞ 2. Equation de la tangente T à la courbe ( 0 0 0 ⟺( 2 Une équation de T est ( 2 3. G 5 4.b. Valeur de ãäåæ : æ ! ‘ =,⟺* ,⟺* ä‘ ! ‘ = w ⟺ ä‘ ã D’où ! B * 5. Position de 4 1 •B w äB 7 J w æ 5 ,⟺æ w⟺ã w G G 8 w w⟺ã • 2 H 0 et 5 H 0 donc K •Ã H 0 donc 1 K •Ã est positive sur %0; 1", donc l’aire décrite est définie par : La fonction ç ‘ 8 par rapport à l’axe des abscisses 2 5 ∈ %0; 1" : 4 Pour G 5 Q J • ç Q [‹ ]J = ‹ 1 ‹ 0 . G. en valeur exacte et ≈ 3,32 . G. à 10 J au au point A : 3 3.. Encadrement de l’aire par deux entiers consécutifs : 3 . G. Š Š 4 . G. 4.a. Dérivée : Pour tout de G 8 =1 1 G 8 5 5 0 1 est asymptote à → h 1 l1 >0 H 0QYP9 10 m 5 l 6 m 5J 10 5 7 près De plus 3 L 3,32 L 4 donc ce résultat est cohérent avec l’encadrement donné à la q3. Ex2 : 1° on peut répondre avec la calculatrice : 2° On admet que 3 ç J est au-dessus ou au contact de c sur %0; 3", donc l’aire cherchée est définie par : Q 3 ç J 4,5 L’aire entre les deux courbes est A.BERGER 4 Q 3 ç J 3 Q è 1 3 3 3 1 2 3 é J l 9 27 m 2 0 4,5 . G. TES bleue année 2011/2012 Page 40 sur 46 DS6 09/05/2012 EXERCICE I : ( 5 points ) La Réunion juin 2010 1. Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation. issues Bénéfice : B 1 0,7 0,3 1§ 0,80 0,20 0,05 0,95 } 1∩} 2000 € }̅ 1 ∩ }̅ -300 € } 1§ ∩ } -500 € }̅ 1§ ∩ }̅ -300 € • 1 = 0.7 •ê } = 0,80 •ê§ } = JJ = 0,05 Données déduites : • 1§ = 0,8 •ê }̅ = 0,20 •ê§ }̅ = 0,95 Données : 2 2. Déterminer la probabilité • 1 ∩ } qu’il y ait un banc de poissons sur la zone et que le sonar le détecte. • 1 ∩ } = • 1 × •ê } = 0,7 × 0,8 = 0,56 la probabilité qu’il y ait un banc de poissons sur la zone et que le sonar le détecte est de 0,56. 3. Montrer que la probabilité que le sonar indique la présence d’un banc de poissons (réel ou fictif) est 0,575. } est la réunion des événements 1 ∩ } et 1§ ∩ } qui sont incompatibles, • } = • 1 ∩ } + • 1§ ∩ } or • 1§ ∩ } = • 1§ × • ê§ } = 0,3 × 0,05 = 0,015 D’où • } = 0,56 + 0,015 + 0,575 Ainsi la probabilité que le sonar indique la présence d’un banc de poissons (réel ou fictif) est 0,575. 4. Lors d’une sortie en mer, le pêcheur se trouve toujours dans l’une des trois situations suivantes : 4.a. Reproduire et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité du «gain» (positif ou négatif) réalisé. Gain : xi 2 000 − 500 − 300 Probabilité : pi 0,56 0,015 0,425 • » = 2000 = • 1 ∩ } = 0,56 Soit G le gain du pêcheur. • » = −300 = • }̅ = 1 − • } = 1 − 0,575 = 0,425 • » = −500 = • 1§ ∩ } = 0,015 4.b. Le pêcheur effectue de nombreuses sorties. Quel gain par sortie peut-il espérer avoir ? Espérance de gain : -°3 ® » =¯ -° - × •- = 0,56 × 2000 + 0,015 × −500 + 0,425 × −300 = 985 Le pêcheur peut espérer un gain de 985 € par sortie. A.BERGER TES bleue 2011/2012 Page 41 sur 46 5. Le pêcheur prévoit d’effectuer trois sorties successives sur la zone de pêche. Déterminer la probabilité que, pour les trois sorties, le sonar reste muet. On répète 3 fois de manière identique et indépendante une même épreuve qui n’a que deux issues } et }̅ de probabilités respectives 0,575 et 0,425. Schéma de Bernoulli représenté par un arbre pondéré : 1ère sortie 2ème sortie 0,575 }̅ 0,425 0,575 Issues S SSS }̅ S } }̅ 2 }̅ }} 1 }̅ }̅ } }̅ }̅ }̅}̅}̅ 2 }̅ }̅ S S K: « les trois sonars sont muets » : }̅}̅}̅ 1 S}̅}̅ S 0,425 1 S}̅S S Nombre de sonars muets 0 SS}̅ }̅ S S 3ème sortie 2 3 • ë = • }§ }§ }§ = Vp }̅ W = 0,4253 ≈ 0,077 à 1 millième près 3 EXERCICE III : (5 points) Pondichéry Avril 2010 Les parties A et B sont indépendantes Partie A : Le tableau ci-dessous donne l’évolution, par période de cinq ans, de la population globale des deux Allemagnes (RFA et RDA) de 1958 à 1973. Année Rang de l’année - 1 ≤ N ≤ 4 Population des deux Allemagnes (en millions d’habitants 1 ≤ N ≤ 4 1958 1 71,5 1963 2 74,4 1968 3 77 1973 4 78,8 Source INSEE L’allure de ce nuage suggère un ajustement affine. 1°Equation de la droite d’ajustement de ( en par la méthode des moindres carrés : Pour la série ; ( , avec la calculatrice, les coefficients étant arrondis au centième, on obtient : ( = 2,45 + 69,3 comme équation de la droite d’ajustement de ( en . 2° En 1993, la population globale de l’Allemagne réunifiée s’élevait à 81 millions d’habitants. L’ajustement proposé est-il adapté ? L’année 1993 est l’année de rang 8. Pour = 8, on a ( = 2,45 × 8 + 69,3 = 88,9 Selon notre modèle, la population de l’Allemagne en 1993 aurait dû être de 88,9 millions, soit près de 10 % en trop par rapport à la valeur réelle. L’ajustement proposé n’est donc pas adapté. A.BERGER TES bleue 2011/2012 Page 42 sur 46 Partie B : On étudie ci-dessous l’évolution de la population de l’Allemagne sur une période plus étendue (à partir de 1990, il s’agit de la population de l’Allemagne réunifiée). Ces données sont représentées par le nuage de points ci-dessous : y population en millions D : y = 2,45x+69,3 83 81 79 77 75 73 71 rang de l'année 69 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x Au vu de l’allure du nuage, un ajustement logarithmique semble plus approprié. Pour cela, on pose ×- = 5 • ìí JJ = 5 ïðð , pour 1 ≤ N ≤ 11. îí 1° Sur votre copie, recopier et compléter le tableau ci-dessous, les valeurs de ×- seront arrondies au centième. Année 1958 1963 1968 1973 1993 1998 2003 2008 1 2 3 4 8 9 10 11 Rang de l’année - 1 ≤ N ≤ 11 74.4 77 78.8 81 82.1 82.5 82.2 Population des deux Allemagnes (- 71.5 2.04 2.10 2.16 2.20 2.25 2.27 2.28 2.28 Valeur de ×- 1 ≤ N ≤ 11 2° Equation de la droite d’ajustement affine de × en , obtenu par la méthode des moindres carrés. Pour la série ; × , avec la calculatrice, les coefficients étant arrondis au centième, on obtient : × = 0,02 + 2,07 comme équation de la droite d’ajustement de × en . On a : × = exp 56× = 0,02 + 2,07 3° En déduire l’équation de l’ajustement logarithmique recherché : Donc exp Donc ì JJ ì JJ ì JJ = 0,02 + 2,07 = ln 0,02 + 2,07 ( = 100aP 0,02 + 2,07 . Ainsi l’équation de l’ajustement logarithmique recherché est bien : Donc Donc ( = 100aP 0,02 + 2,07 . 4° A l’aide de ce nouvel ajustement, donner une estimation de la population de l’Allemagne en 2013. 2013 est l’année de rang 12 . Pour = 12, on a( = 100 ln 0,02 × 12 + 2,07 ≈ 83,7 Selon ce 2ème modèle, on peut prévoir une population de 83,7 millions d’habitants en 2013. A.BERGER TES bleue 2011/2012 Page 43 sur 46 EXERCICE III : (5 points) Polynésie Septembre 2011 Soit une fonction définie et dérivable sur l’intervalle ] − 4; ∞% On désigne par ′ la fonction dérivée de la fonction sur l’intervalle " 4;+∞%. La courbe Γ ci-contre est la représentation graphique dans un repère orthogonal de !′ , la fonction dérivée de sur " 4;+∞%. Cette courbe Γ passe par les points : .V– 3; 0W, 1 – 1; 0 et Partie A : 0;– 1,5 . 1. A l’aide de la représentation graphique de la fonction dérivée ′, déterminer ′ 0 et ′ 3 . On a la courbe de la dérivée, on lit donc sur cette courbe l’image de 0et l’image de -3 en confirmant avec le point C et le point A. 0 NAGO5Q50•GZ = YZQYPPé5Q •YNP6 Q5aG9Y Z85Q5aGQéZN é5 56Q G8M9NMM50 0 1,5 De même −3 0 2. Trois courbes sont présentées ci-dessous. Une seule de ces trois courbes peut représenter la fonction . Déterminer laquelle des trois représentations graphiques ci-dessous est celle de la fonction , en justifiant votre réponse : y 3 2 1 -5 -4 A -3 -2 B -1 0 1 2 3 x -1 C -2 -3 -4 -5 Grâce la courbe de la dérivée ’ : on lit le signe de ’ des abscisses. ’ est négative sur " par la position de sa courbe Γ par rapport à l’axe 4;−3",positive sur[−3; 1"et négative sur[−1;+∞%. On déduit le sens de variation de la fonction : est décroissante sur ] − 4;−3",croissante sur[−3; 1"et décroissante sur[−1;+∞%. Seule la courbe C1 correspond au sens de variation de , par élimination C1 est donc la représentation graphique de ! Partie B : Pour tout réel x appartenant à l’intervalle ] − 4;+∞%, on a 1. a. Soit x un réel appartenant à l’intervalle " aP donc 2G 8 K 2G 4;+∞%. Exprimer ′ ß TES bleue 8aP 4 . en fonction de , G et 8. K 1. b. Déduire des questions précédentes que G = −1 et 8 = −6. ⋆ 0 1,5 ß ß donc 2G 0 J K 1,5QYP9 K = −1,5QYP9æ = −ó ⋆ −3 0 ß Donc 2G 3 0QYP9 − 6G 8 0QYP9 − 6G 6 3 K QYP9ã = −* Ainsi ! B = −B² óËÈ B • A.BERGER G ² 2011/2012 0QYP9 − 6G 6 Page 44 sur 46 2. On considère l’intégrale Œ = ô 3 Q 2. a. Calculer la valeur exacte de l’intégrale Œ puis en donner une valeur arrondie au dixième. Une primitive de est Œ=ç 3 Q =[ ] 3 = −1 − Œ = − −1 ² − 6aP −1 + 4 − − −3 õ = ³ − óËÈ, ≈ *, • −3 − 6aP −3 + 4 = −1 − 6aP3 − −9 − 6aP1 = 8 − 6aP3 2. b. Donner une interprétation géométrique de l’intégrale Œ. Dans le repère de la courbe Γ représentant la dérivée ’, cette fonction ′ est positive sur [−3; −1] I est égale l’aire de la partie du plan située entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équations = −1, c'est-à-dire la partie située sous la courbe pour EXERCICE IV : (5 points) appartenant à l’intervalle [−3;−1] = −3et La réunion Juin 2010 Suite à un accident industriel, un gaz se répand dans un local d’usine. L’évolution du taux de gaz dans l’air peut être modélisé grâce à la fonction f définie sur l’intervalle [0;+∞[ par =2 5 où est le nombre de minutes écoulées depuis l’accident et le taux de gaz dans l’air exprimé en parties pour million (••A . 1. On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle [0;+∞[ et on note f ′ sa fonction dérivée. 1. a. Calculer ′ et étudier son signe pour x élément de l’intervalle [0;+∞[ ’= ’ + ’ = 25 + 2 −1 5 = 25 − 2 5 = 25 1 − 1. b. Donner le tableau des variations de la fonction f sur l’intervalle [0;+∞[ (la limite n’est pas demandée). Racine de ∶ 2 > 0565 > 0QYP9P5M GPP a5P6•GM 1− =0⇔ =1 MNOP5de ′ 01 +∞ 1− + 0 − 25 + + ′ + 0 − Tableau de variations de ′ 0 + 0,65 0 1 0 25 0,65 − 5 0 = 2 × 05 J = 0 1 = 25 +∞ 0,07 C’est pourquoi, dans la suite de l’exercice, on restreindra l’étude de la fonction à l’intervalle [0; 5]. Le plan est muni d’un repère orthogonal. La courbe représentative de la fonction sur l’intervalle [0; 5] est donnée ci-dessous. 2. On admet que le taux de gaz dans l’air est négligeable après 5 minutes. 2. a. Vérifier que ‹ définie sur l’intervalle [0 ; 5] par ‹ = −2 − 2 5 ’= ’ + ’ ‹ = −25 + −2 − 2 −1 5 = −25 + 2 + 2 5 ö B = ! B donc F est une primitive de ! sur [0 ; 5] A.BERGER TES bleue 2011/2012 = −25 est une primitive de . + 25 Page 45 sur 46 +2 5 =2 5 2. b. Calculer la valeur moyenne A (exprimée en ••A) du taux de gaz pendant les 5 minutes. On déterminera la valeur exacte de A puis on donnera sa valeur approchée arrondie à 0,01 ••A près. 8 1 A= ç 8−G G 5 1 Q = ç 5−0 0 Q = 1 [‹ ]50 = 1 ‹ 5 −‹ 0 5 1 1 2 12 A = [ −2 − 10 5−5 − −2 50 ] = [−125−5 + 2] = − 5−5 5 5 5 5 5 w Ëã÷ãËäøùCúÕäÈÈäûøåãøBûäiãØÇäÈûãÈåËäü+ÇùäCÔèùäüCÔÈøåäüäüå − + C ≈ ‘, ,³ÇÇC *w + ä−+ ÇÇC 3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. On considère que le gaz a un effet irritant pour l’organisme si le taux dépasse 0,65••A pendant plus d’une minute. Déterminer si le personnel de l’usine a été affecté ou non par la fuite de gaz, en explicitant la démarche. Par le graphique La courbe représentative de la fonction est au dessus de la droite d'équation y=0,65 sur l’intervalle [a ; b]. Or avec la précision permise par le graphique, nous ne pouvons pas savoir si l'amplitude de l'intervalle est supérieure ou non à une minute. On utilise la fonction et le théorème des valeurs intermédiaire pour chercher les antécédents de 0,65 5 = 105 2 ≈ 0,06 La fonction est continue et strictement croissante sur [0; 1] Ö NP65Z Gaa5NAGO55M6[ 0 ; 1 ] avec 0 = 0 et 1 = 25 ≈0,74 Donc 0,65 ∈ [ 0 ; 1 ] Donc l’équation = 0,65 admet une unique solution 1 dans [0; 1]. La fonction est continue et strictement décroissante sur [1; 5] Ö NP65Z Gaa5NAGO55M6[ 5 ; 1 ] avec 5 ≈ 0,067 et 1 = 25 Donc 0,65 ∈ [ 5 ; 1 ] Donc l’équation = 0,65 admet une unique solution 2 dans [1; 5]. 0,581 0,582 0,581 < 1,583 < 1 2 0,64995 0,65 0,65042 1,583 y 0,8 < 1,584 0,7 A B 0,6 La durée d’exposition au gaz est l'amplitude de l'intervalle [ ; ] est supérieure à 1,583-0,582 soit à 1,001 Donc selon la norme définie par l’énoncé, on peut considérer que le personnel a été affecté par la fuite de gaz. 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 A.BERGER 0,65016 0,65 0,64992 1,584 < 0,582 ≈0,74 TES bleue 2011/2012 -0,1 x1 1 x2 2 3 Page 46 sur 46 4 5