R.O.C programme terminale S, 2013 Fonction exponentielle Théorème Il existe une fonction unique f, dérivable sur ℝ , telle que f ' = f et f(0) = 1 Démonstration : Limite d'une suite Démonstration : Démonstration : Démonstration : Démonstration : Probabilité : conditionnement et indépendance Propriété Soit Ω l'univers d'une expérience aléatoire muni d'une loi de probabilité p. A est indépendant de B. Si l'événement A est indépendant de l'événement B alors Démonstration : Intégration Théorème : x Si f est continue et positive sur un intervalle [a ; b] alors la fonction F définie par F x =∫ f t dt a est dérivable sur [a ; b] et F'=f, F est une primitive de f. Démonstration (dans le cas où f est positive et croissante sur I) : Théorème Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives. Démonstration (dans le cas où f est définie sur un intervalle fermé et admet un minimum sur cet intervalle) : Géométrie vectorielle Démonstration du théorème du toit –----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Loi de probabilité à densité Propriété : Espérance d'une loi exponentielle de paramètre λ L'espérance d'une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ sur réel [ a ;+ ∞ [ est le nombre 1 E ( X )= . λ Démonstration : Propriété : Une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement. Démonstration : Loi normale centrée réduite – Loi normale Théorème Si X suit une loi normale centrée réduite N(0,1) alors pour tout réel U α positif tel que P (−U α ≤X ≤U α )=1−α . α∈] 0,1 [ il existe un unique réel Démonstration : Produit scalaire Propriétés L'ensemble des points de l'espace qui vérifient l'équation ax+by+cz+d=0 ( (a ,b , c)≠(0, 0, 0) , d est un u (a , b , c) . réel) est un plan de vecteur normal ⃗ Démonstration –------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Propriétés Une droite est orthogonale à toute droite d'un plan si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan Démonstration –-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Intervalle de fluctuation – Intervalle de confiance - Estimation d'une proportion Intervalle de fluctuation asymptotique On s'intéresse au caractère d'une population dont on connaît la probabilité p. A chaque échantillon de la population de taille n la variable aléatoire X n qui donne le nombre d'individus qui vérifie ce caractère suit une loi binomiale de paramètres n et p. Xn correspond à la variable aléatoire fréquence qui, à tout échantillon de taille n, associe la fréquence obtenue. n Propriété Si la variable aléatoire X n suit la loi binomiale B(n,p), alors, pour tout α∈ ] 0 , 1 [ on a : Xn √ p (1− p) , p+ u √ p (1− p) p−uα lim P ∈ I n =1−α où I n désigne l'intervalle α n n ∞ √n √n [ ] . Démonstration : –-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Intervalle de confiance Propriété : Si la variable aléatoire X n suit la loi binomiale B(n,p) et si F n est la variable aléatoire fréquence pour n assez grand l'intervalle [ F n− 1 1 , F n+ √n √n ] Xn alors n contient la proportion p avec une probabilité au moins égale à 0,95. Démonstration : –------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------