Feuille d`exercices n o 2 - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Institut Galilée
Université Paris 13
Licence de Mathématiques
semestre 5
Structures algébriques
Feuille d’exercices n◦2
Exercice 1. Soient G un groupe d’élément neutre e, H et K deux sous-groupes de G
d’ordres finis respectifs m et n tels que pgcd(m, n) = 1. Montrer que H ∩ K = {e}.
Exercice 2. Soient (G, +) un groupe abélien, A, B et C des sous-groupes de G. Montrer
que
A ⊂ C ⇒ A + (B ∩ C) = (A + B) ∩ C
Exercice 3. Soient G un groupe et C ⊂ G tel que C 6= ∅.
(1) Montrer que C est une classe à gauche (resp. à droite) si et seulement si (∀x, y, z ∈
C) xy −1z ∈ C.
(2) En déduire que si C est une classe à gauche pour un sous-groupe H de G, c’est
aussi une classe à droite pour un certain sous-groupe H ′ .
Exercice 4. Soient G un groupe, H et K deux sous-groupes finis de G. Montrer que le
#H#K
.
cardinal du sous-groupe de G engendré par H et K est supérieur ou égal à #(H∩K)
Exercice 5. Soient G un groupe et H, K deux sous-groupes d’indices finis tels que les
entiers [G : H] et [G : K] sont premiers entre eux. Montrer que G = HK.
Exercice 6.
(1) Soit f : G → G′ un morphisme de groupes. Montrer que si x ∈ G est
d’ordre fini n, alors f (x) est d’ordre fini divisant n.
(2) Déterminer les morphismes de groupes Z /7 Z → Z /13 Z et Z /3 Z → Z /12 Z.
Exercice 7. Montrer que dans un groupe fini d’ordre pair, le nombre d’éléments d’ordre 2
est impair.
Exercice 8. Soient G un groupe fini d’ordre n et k ∈ N>0 premier à n. Montrer que
l’application g 7→ g k est une bijection de G dans lui-même.
Exercice 9. Si n ∈ N>1 , on note Dn le groupe des isométries du plan affine euclidien qui
conservent l’ensemble des sommets d’un polygone régulier à n côtés.
(1) Décrire les éléments de Dn , en déduire que #Dn = 2n. Montrer que Dn n’est pas
abélien si n ≥ 3.
(2) Soit p un nombre premier. Montrer qu’un groupe d’ordre 2p est isomorphe à Z /2p Z
ou à Dp .
Exercice 10. Soient (G, +) un groupe abélien fini et n = #G. Supposons n > 1.
1
2
(1) Pour g ∈ G \ {0}, notons ng ∈ N>1 l’ordre de g. Montrer que l’application
Y
ϕ:
Z /ng Z → G
g∈G\{0}
(ag )g∈G\{0} 7→
X
ag g
g∈G\{0}
est un morphisme surjectif de groupes.
(2) Montrer que si p est un nombre premier divisant n, il existe g ∈ G \ {0} tel que
p | ng .
(3) En déduire que G contient un élément d’ordre p.
Remarque : le résultat qui précède est encore valide si on ne suppose pas G abélien.
(4) Montrer qu’en général, si m divise n mais n’est pas premier, il n’existe pas forcément
d’élément d’ordre m dans G (même si G est abélien).
Exercice 11. Soient p un nombre premier et G un p-groupe (i.e. un groupe de cardinal
une puissance de p) non trivial. Montrer que G contient un élément d’ordre p.
Exercice 12. Montrer que si n ∈ N>1 et d | n, le groupe Z /n Z contient exactement un
sous-groupe d’ordre d (en particulier, la réciproque du théorème de Lagrange est valide
pour les groupes cycliques).
Exercice 13. (Lemme chinois). Soient m, n ∈ N>1 tels que pgcd(m, n) = 1. Montrer que
l’application naturelle
Z /mn Z → (Z /m Z) × (Z /n Z)
x 7→ x mod m Z, x mod n Z
est un isomorphisme de groupes. Montrer que c’est faux lorsque pgcd(m, n) 6= 1.
Exercice 14. Soit n ∈ N≥2 . Si x ∈ Z, on note x son image dans Z /n Z.
(1) Montrer que x engendre Z /n Z si et seulement si pgcd(x, n) = 1.
On note ϕ(n) le nombre de générateurs de Z /n Z (la fonction ϕ s’appelle l’indicatrice
d’Euler ).
(2) Soit p un nombre premier. Calculer ϕ(p), puis ϕ(pa ) pour a ∈ N>0 .
(3) Montrer que si m, n ∈ N>1 sont tels que pgcd(m, n) = 1, on a ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
r
Q
(4) En déduire que si n =
pai i est la décomposition en facteurs premiers de n, on a
i=1
ϕ(n) =
r
Y
i=1
piai −1 (pi
− 1) = n
r Y
i=1
1−
1
pi
Exercice 15. Soit n ∈ N≥2 .
(1) Montrer
que Sn est engendré par (1, 2) et (1, . . . , n). Montrer qu’il est engendré
par (1, k)}1<k≤n .
3
(2) Montrer que An est engendré par les 3-cycles. Montrer qu’il est engendré par
(1, 2, k)}2<k≤n.
Exercice 16. Soient G un groupe et H un sous-groupe de G d’indice 2.
(1) Montrer que les classes à gauche et les classes à droite modulo H sont les mêmes.
(2) En déduire que pour tout g ∈ G, on a g 2 ∈ H.
Supposons que G = A4 .
(3) Montrer que H contient tous les 3-cycles.
(2) En déduire une contradiction, et donc que la réciproque au théorème de Lagrange
est fausse pour A4 .