Université de ROUEN Département de Mathématiques L1 M.I.E.E.A.-P.M.S.I. Algèbre 1 Fiche de Travaux Dirigés No V Groupes 2016-2017 Exercice 1. Soient (E, T ) et (E 0 , T 0 ) deux ensembles munis d’une loi de composition interne et soit f : E −→ E 0 un morphisme surjectif de (E, T ) dans (E 0 , T 0 ). 1. Montrer les implications suivantes: T associative ⇒ T 0 associative ; T admet un élément neutre ⇒ T 0 admet un élément neutre ; Tout élément de E admet un symétrique pour T ⇒ Tout élément de E 0 admet un symétrique pour T 0 ; T commutative ⇒ T 0 commutative. 2. Montrer que si (E, T ) est un groupe, alors (E 0 , T 0 ) aussi. Montrer que si de plus (E, T ) est abélien, alors (E 0 , T 0 ) aussi. Exercice 2. Montrer que la relation ' définie par : G ' H ⇔ G est isomorphe à H, est une relation d’équivalence sur tout ensemble de groupes. Exercice 3. Sous-groupes de Z. On rappelle que (Z, +) est un groupe abélien. On s’intéresse dans cet exercice à la forme de ses sous-groupes. 1. Soit k ∈ Z, on note kZ = {kn; n ∈ Z}. Montrer que kZ est un sous-groupe de Z. 2. Soit G un sous-groupe de Z. (a) Montrer que si ` ∈ G, alors `Z ⊂ G. (b) Soit k = min{` ∈ N∗ , ` ∈ G}. Montrer que G = kZ. 3. Conclure sur les sous-groupes de Z, et montrer que tous les sous-groupes de Z sont isomorphes, en dehors du sous-groupe {0}. Exercice 4. Soit n ∈ N∗ . On rappelle que (Z, +) est un groupe abélien et que nZ est un sous-groupe de Z. 1. Montrer que xRy ⇔ x − y ∈ nZ définit une relation d’équivalence sur Z, et qu’elle est égale à la relation de congruence modulo n. On note Z/nZ l’ensemble quotient Z/R. Pour tout k ∈ Z, on note k sa classe. 2. Définir une lci sur Z/nZ, notée aussi +, telle que (Z/nZ, +) soit un groupe (ou telle que k 7→ k soit un morphisme). 3. Vérifier que (Z/nZ, +) est abélien. Exercice 5. Morphismes de (Z, +). 1. Montrer que si f est un homomorphisme de (Z, +), alors f (Z) = f (1) Z. 2. Déterminer la forme des homomorphismes du groupe (Z, +). Quels sont ceux qui sont injectifs ? Surjectifs ? 1 Exercice 6. 1. Montrer que (R, +) et (R+∗ , ×) sont isomorphes. 2. Montrer que x2 = 2 n’a pas de solution dans Q. 3. En déduire que (Q, +) et (Q+∗ , ×) ne sont pas isomorphes. Exercice 7. Sur l’ensemble R \ {1}, on considère la loi: x ∗ y = x + y − xy, ∀ (x, y) ∈ (R\{1})2 . Montrer que ∗ est une loi de composition interne. (R \ {1}, ∗) est-il un groupe ? Exercice 8. Soit X un ensemble. On munit l’ensemble P (X) des parties de X de la différence symétrique ∆ définie par A∆B = (A\B) ∪ (B\A). Montrer que (P (X) , ∆) est un groupe abélien. Exercice 9. Soit (G, ∗) et (H, ·) deux groupes et f : G → H un morphisme. 1. Montrer que Ker f est un sous-groupe de G et f (G) un sous-groupe de H. 2. Montrer que f est injective si et seulement si Ker f = {e} où e est l’élément neutre de G. 3. Montrer que pour tout x, y ∈ G, f (x) = f (y) ⇔ x ∗ y −1 ∈ Ker f . 4. Montrer que la relation définie par xRy ⇔ f (x) = f (y) est une relation d’équivalence sur G. Pour tout x ∈ G, on notera x la classe de x. 5. Montrer que f : G/R → H −1 est une application bien définie. Que vaut f ({e0 }) où e0 est l’élément x 7→ f (x) neutre de H ? Exercice 10. Pour r ≥ 0, on note Ur l’ensemble des nombres complexes de module r. 1. Vérifier que U1 est un sous-groupe de (C∗ , ·). 2. Etant donné r > 0, Ur est-il un groupe ? 3. Vérifier que f : R → U1 est un morphisme de groupes surjectif. Quel est son noyau ? t 7→ e2iπt Exercice 11. Soit n ∈ N∗ . 1. Montrer que l’ensemble Rn des racines n-ièmes de l’unité dans C forment un sous-groupe de (U1 , ·). Quel est son ordre ? 2. Vérifier que f : Z → Rn est un morphisme de groupes surjectif. Quel est son noyau ? 2iπk k 7→ e n Exercice 12. Soit G un groupe et soient G1 et G2 deux sous-groupes de G. 1. Montrer que G1 ∩ G2 est un sous-groupe de G. 2. Montrer que G1 ∪ G2 est un sous-groupe de G si et seulement si G1 ⊂ G2 ou G2 ⊂ G1 . Exercice 13. Soit (G, ·) un groupe et a ∈ G. 1. Montrer que l’application f : G → G définie par f (x) = axa−1 est un automorphisme de G. 2. Déterminer f −1 . Exercice 14. Soit G un groupe et e son élément neutre. 1. Montrer que si pour tout x ∈ G, x2 = e, alors G est abélien. 2. Plus généralement, montrer que l’application x 7→ x−1 est un morphisme de G si et seulement si G est abélien. 2