Racines de polynômes modulo p

Université Claude Bernard LYON 1
Préparation à l'agrégation de Mathématiques
Racines de polynômes modulo p
Michel CRETIN
Lemme 1 Soit f ∈ Z[X] un polynôme non constant de degré n ; il existe une innité de nombres
premiers p tels que f ∈ Fp [X] ait une racine dans Fp
O On peut supposer que a0 = f (0) 6= 0. Si
f = an X n + · · · = a1 X + a0
on a
f (a0 X) = an0 X n + · · · + a0 a1 X + a0
= a0 (a0n−1 X n + · · · + a1 X + 1)
de sorte que l'on peut supposer que f (0) = 1.
Supposons qu'il n'existe qu'un nombre ni d'entiers premiers ayant la propriété voulue et soit
M leur produit. Le polynôme g = f (M X) ∈ Z[X] étant non constant, il existe x ∈ Z tel que
g(x) 6∈ {0, 1, −1}.
(l'ensemble des k ∈ Z tels que g(k) = 0, g(k) = 1 ou g(k) = −1 est ni puisque chacun des
polynômes g , g − 1 et g + 1 n'a qu'un nombre ni de racines).
Il existe donc un entier premier l tel que l|g(x) de sorte que M x est une racine de f modulo l.
On a donc l|M mais alors
f (M x) = M n xn + · · · + M x + 1 ≡ 1 mod l
ce qui est contradictoire. M.
Corollaire 1
Considérons le polynôme cyclotomique Φn . Il existe une innité d'entiers premiers p tels que
Φn ∈ Fp [X] soit scindé.
Soit n ≥ 2 un entier ; la progression arithmétique {kn + 1 / k ∈ N} contient une innité d'entiers
premiers (théorème de Dirichlet faible)
O Or Φn se décompose en un produit de
ϕ(n)
de facteurs irréductibles de degré m où m est
m
l'ordre de p dans le groupe (Z/Zn)× .
Ainsi Φn est scindé si et seulement si m = 1. Comme tous les facteurs irréductibles ont le même
degré m, cela équivaut à ce que Φn ait une racine dans mathbbFp . Enn, la condition m = 1 est
équivalente à p ≡ 1 mod n. M.
La propriété précédente des polynômes cyclotomique s'étend à tous les polynômes unitaires
et irréductibles à coecients entiers.
Proposition 1 Soit f ∈ Z[X] un polynôme unitaire, irréductible de degré n ; il existe une innité
de nombres premiers p tels que f ∈ Fp [X] soit scindé dans Fp [X].
O Soit K = Q[x1 , · · · , xn ] un corps de décomposition de f et considérons le sous-anneau A =
Z[x1 , · · · , xn ] de K . Il existe alors z ∈ A tel que K = Q[z] et il existe un entier d ≥ 1 tel que
dxi ∈ Z[z] pour 1 ≤ i ≤ n.
Enn soit P = pz,Q le polynôme minimal de z ; on a P ∈ Z[X].
Soit S l'ensemble des entiers premiers p > d tels que f ∈ Fp [X] soit séparable et que P ∈ Fp [X]
ait une racine dans Fp . L'ensemble S est inni.
Soient p ∈ S et ζ ∈ Fp une racine de P ; il existe alors un unique homomorphisme d'anneaux :
ϕ : Z[z] −→ Fp tel que ϕ(z) = ζ
Puisque d 6= 0 dans Fp , ϕ se prolonge de manière unique en un morphisme :
1
ϕ : Z[ ][z] −→ Fp
d
On a ainsi le diagramme commutatif :
ϕ
Z[z]
j
/ Fp
=
ϕ
1
Z[ ][z]
d
1
d
Pour 1 ≤ i ≤ n, on a xi ∈ Z[ ][z] ⊂ K et f (xi ) = 0 de sorte que :
ϕ(f (xi )) = f (ϕ(xi )) = 0
Ainsi les ϕ(xi ) pour 1 ≤ i ≤ n sont des racines de f dans Fp .
Supposons que l'on ait ϕ(xi ) = ϕ(xj ) ie. ϕ(xi − xj ) = 0 avec i 6= j ; on a ainsi xi − xj ∈ Ker(ϕ)
de sorte que :
discrimX (f ) ∈ Z ∩ Ker(ϕ) = Zp
Alors p|discrimX (f ) ce qui contredit la séparabilité de f ∈ Fp [X]. Ainsi les ϕ(xi ) pour 1 ≤ i ≤ n
sont les racines de f dans Fp de sorte que f est scindé. M.