Addition, multiplication, inverse et quotient de deux nombres relatifs

Addition, multiplication, inverse et quotient de deux nombres relatifs écrits sous forme
fractionnaire
Puissance d'un nombre relatif
Addition de deux nombres relatifs écrits sous forme fractionnaire
1.Rappel
On obtient une fraction équivalente à une fraction donnée en multipliant (ou en divisant) par un
même nombre ( non nul) son numérateur et son dénominateur.
Exemples:
13 x 4
13
=
20
 20x4
=
52
80
;
5
15
=
5 x 1
5x3
=
1
3
;
45 15 x 3 3 6 21
=
= = =
60 15x4 4 8 28
La somme (ou la différence) de deux fractions de même dénominateur est la fraction qui a pour
dénominateur le dénominateur commun et pour numérateur la somme (ou la différence) de deux
numérateurs.
Exemples:
5 4 54 9
 =
=
7 7
7
7
6 2 6−2 4
– =
=
7 7
7
7
Si les dénominateurs ne sont pas les mêmes, on remplace les fractions par des fractions équivalentes
de même dénominateur.
Ce dénominateur commun est un multiple des dénominateurs donnés.
1er cas : un des dénominateurs est un multiple de l'autre
5 3 10 3 13
exemples :  =  =
4 8 8 8 8
7 15 21 15 36 12
 =  = =
13 39 39 39 39 13
2ième cas: recherche d'un multiple commun aux dénominateur (le plus petit possible pour éviter les
erreurs de calculs et donner comme résultats une fraction avec son numérateur et son dénominateur
les plus petits possibles)
Exemple:
3
7

28 20
On recherche un multiple commun non nul à 28 et à 20, le plus petit possible
Méthode 1
28=2²x7 et 20=2²x5
2²x5x7=140 convient
140=28x5 ( c'est donc un multiple de 28)et 140=20x7 ( c'est donc un multiple de 20)
Méthode 2
Les premiers multiples de 28 sont:0,28,56,84,112,140,168,etc....
Les premiers multiples de 20 sont:0,20,40,60,80,100,120,140,160,etc...
Le premier multiple commun non nul de 28 et de 20 est 140
calcul de S =
S=
3
7

28 20
3 x 5 7 x 7

28 x 5
20
7
15
49
64
16
S=

S=
S=
140 140
140
35
S=
 
2.Addition de deux nombres écrits sous forme fractionnaire
La règle d'addition des nombres relatifs s'applique:
Exemples:
5−2
−5
2
 = - [
] [les deux nombres sont de signes différents. Le résultat est du signe
7
7
7
−5
de
qui a la plus grande distance à zéro. On calcule
7
ensuite la
différence
des distances à zéro]
−5
2 −3
 =
7
7 7
 
 
 
  
  
−7
−6 −76

=
[Les deux nombres sont de même signe. La somme a le même signe
11
11
11
−7
−6 −13

=
On calcule ensuite la somme des distances à zéro]
11
11
11
Multiplication de deux nombres relatifs écrits sous forme fractionnaire
1.Rappel
Le produit de deux fractions est la fraction qui a pour dénominateur le produit de deux dénominateurs
et pour numérateur le produit des deux numérateurs.
Exemples:
3 x 2 6
3 2
x =
=
5 11 5 x 11 55
17 x 3 51
17
x 3=
=
20
20
20
7 3 7 x 3 21
x =
=
8 8 8 x 8 64
20 14 4 x 5 x 2 x 7 8
x =
=
49 35 7 x 7 x 5 x 7 49
Attention:il est toujours préférable de rechercher d'éventuelles simplifications avant
d'effectuer les produits,afin de réduire le risque d'erreurs!
2.Produit de deux nombres relatifs écrits sous forme fractionnaire
La règle de multiplication des nombres relatifs s'applique.
Exemples:

−3 2
3 2 −6
 x =− x =
5
7
5 7 35
[Les deux nombres sont de signes différents. Le produit est négatif
On calcule ensuite le produit des distances à zéro]

−20
−5 20 5 100
 x
= x =
13
7
13 7 91
[Les deux nombres sont de même signe. Le produit
est positif. On calcule ensuite le produit des distances à zéro].
Quotient de deux nombres relatifs écrits sous forme fractionnaire
1.Inverse
Définition:
x étant un nombre non nul, l'inverse de x est le nombre qui multiplié par x donne 1.
Le produit de x par l'inverse de x est égal à 1.
1
.
x
L'inverse de x est le quotient de 1 par x, il est noté
Remarque:un nombre et son inverse ont le même signe.
Exemple: l 'inverse de 5 est
l'inverse de
−1
11
1
5
; l'inverse de
 
−2
7
est
−7
;
2
est (-11).
xx
1
=1
x
2.Quotient de deux nombres relatifs écrits sous forme fractionnaire
Définition:
b étant un nombre non nul, le quotient de a par b est le produit de a par l'inverse de b; son signe est
le même que celui de a par b et sa distance à zéro est le quotient des distances à zéro.
Diviser par b , c'est multiplier par l'inverse de b.
a
b
=ax
1
b
Exemples:
3 x 1
−3
3
3 1
1
:6=− : 6 =− x =
=
5
5
5 6
5 x 2 x 3 10
     

[Les deux nombres sont de signes différents.
Le quotient est négatif].
  
−4 −2
4 2 4 7 28
4
:
= : = x = =1
[Les deux nombres sont de même signe .
15
7
15 7 15 2 30
15
Le quotient est positif].
Produits en croix
a, b, c et d désignent des nombres relatifs avec b et d deux nombres non nuls
a c
=
Si
,alors a x d = c x d
b d
Si a x d = c x d ,alors
a c
=
b d
Démonstration: cf activité dans la même rubrique d'openmaths
Exemples:
3 15
= donc 3 x 20=15 x 4=60
4 20
1 4 x 6=7 x 12 donc
14 7
=
12 6
Problème:
J'ai dépensé les deux cinquièmes de mon argent le matin puis la moitié de ce qui reste l'après-midi.
1-
Quelle fraction de mon argent a été dépensée ?
2-
Quelle fraction de ce que je possédais reste-t-il ?
3-
S'il me reste 15€, combien avais-je au départ ?
Résolvons ce petit problème basique!
1-Jean dépense
2 5 2 3
2
.Il lui reste donc 1− = – =
5
5 5 5 5
Puis il dépense encore la moitié de ce reste, c'est à dire la moitié de
1
x
2
3
=
5
3
.
5
3
10
2 3
4 3
7
 =  =
5 10 10 10 10
Au total ,Jean a dépensé
2-
1−
7
( 70%) de la somme de départ)
10
7 10 7
3
= – =
10 10 10 10
Il lui reste
3
10
soit 30% de la somme de départ.
3-Comme souvent un problème à ce niveau se traite en quatre étapes (retenir ce plan de résolution!)
Choix de l'inconnue:Appelons x la somme de départ (on appelle en général x ce que l'on
recherche, c'est l'inconnue)
Mise en équation: on a vu à la question 2 qu'il restait à Jean
3
de la somme x , cette
10
fraction de la somme de départ x est égale à 15 euros
donc:
3
x x = 15
10
Résolution de l'équation: c'est un produit en croix!
3x
=15
10
[on utilise Si
a c
=
,alors a x d = c x d ]
b d
3x =150
x=50
Interprétation du résultat: La somme de départ était de 50 euros (ne jamais oublier de
répondre à la question de départ!)
Puissance d'un nombre relatif
1.Rappel
Définition:a étant un nombre relatif, et n un nombre entier positif supérieur à 1, le a n est le
produit de n facteurs égaux au nombre a.
a n = a x a x a x.........x a
n facteurs égaux à a
2.Transformations d'écritures
Produit de plusieurs puissances d'un même nombre
am x a p
am x a p
=a x a x a x........x a
m facteurs égaux à a
= a  m p
x a x a x.........x a
p facteurs égaux à a
Quotient de puissance d'un même nombre ( a est un nombre non nul)
am
a  m− p =
p =
a
1
a
 p−m 

Exemples:
34
= 3 4−1=33
3
7
2
2 7−9 = 2−2
9 =
2
Remarques:
m
a
= a  m−m = a 0 =1
m
a
On notera a−n , l'inverse de a n
Puissance d'une puissance de 10
10m  p=10mxp
 m1
a
a
m
= a1 = a
et
1 −1
=a
a
Exemple: 106 3=106x3 =1018
3.Notation scientifique
Un nombre positif en écriture scientifique est le produit d'un nombre décimal compris entre 1 et 10,
10 exclu, par une puissance de 10.
Ce nombre s ' écrit alors : a x 10 p
avec a un nombre inférieur strictement à 10 et supérieur ou égal à 1.
Exemples:
35,42 = 3,542 x 101
56 320 = 5,632x 104
0,00567=5,67 x 10−3