Classe de terminale S spécialité maths Correction du DM

Classe de terminale S spécialité maths
Correction du DM n°5 : nombres de Fermat
Exercice 133 page 66
Partie A : Nombres premiers de la forme 2 m − 1 :
Soit x un entier naturel supérieur ou égal à 2. P ( x) = 1 − x + x 2 − ... − x 2 m−1 + x 2 m est la somme
1 − (− x) 2 m+1 1 + x 2 m+1
=
1 − (− x)
1+ x
2 m +1
puisque 2m + 1 est impair. On a donc 1 + x
= (1 + x) P( x) , et comme x est un entier, P(x)
des termes d’une suite géométrique de raison x. On a donc P ( x) =
est aussi un entier, x + 1 est donc bien un diviseur de x 2 m+1 + 1 .
De même, Q( x) = 1 + x 2 + x 4 + ... + x 2 m−2 est la somme des termes d’une suite géométrique de
1− (x2 )m
1 − x 2m
=
. On a donc (1 + x)(1 − x)Q( x) = 1 − x 2 m , et
(1 + x)(1 − x)
1− x2
comme Q(x) est un entier, x + 1 divise x 2 m − 1 .
Soit maintenant q un entier impair strictement supérieur à 1, et q’ un entier non nul. On peut
raison x2, soit P ( x) =
( )
q
écrire 2 qq ' + 1 = 2 q ' + 1 , et comme q est impair, il peut se mettre sous la forme q = 2m + 1 .
De plus, q’ n’est pas nul, donc 2 q ' est un entier supérieur ou égal à 2. D’après la question
( )
précédente, 2 q ' + 1 divise donc 2 q '
( )
q
q
+ 1 . Comme 2 q ' + 1 est strictement supérieur à 1 et
( )
q
différent de 2 q ' + 1 (puisque q > 1), 2 q ' + 1 a un diviseur propre. Il ne peut être premier.
Par conséquent, si 2 m + 1 est premier, m ne peut avoir aucun diviseur impair, donc m ne peut
avoir aucun facteur premier impair. m est donc nécessairement une puissance de 2.
Partie B : Primalité des nombres de Fermat.
On vient de voir que pour qu’un nombre de la forme 2m + 1 soit premier, il est nécessaire que
m soit une puissance de 2. Fermat connaissait déjà ce résultat, et il a observé que :
0
2 2 + 1 = 2 + 1 = 3 est un nombre premier.
1
2 2 + 1 = 2 2 + 1 = 5 est un nombre premier.
1
2 2 + 1 = 2 4 + 1 = 17 est un nombre premier.
2
2 2 + 1 = 28 + 1 = 257 est un nombre premier.
2 2 + 1 = 216 + 1 = 65537 est un nombre premier.
4
Il a donc conjecturé que tous les nombres Fn = 2 2 + 1 était toujours un nombre premier.
Nous allons voir ce qu’Euler a fait.
On constate tout d’abord que 641 = 640 + 1 = 5 × 27 + 1 et 641 = 625 + 16 = 54 + 24 .
On peut donc en conclure que 232 + 54 × 228 = 228 ( 24 + 54 ) = 228 × 641 est un multiple de 641.
n
De même, 52 × 214 − 1 = ( 5 × 27 − 1)( 5 × 27 + 1) = 641× ( 5 × 27 − 1) est un multiple de 641, donc
aussi 54 × 228 − 1 = ( 52 × 214 − 1)( 52 × 214 + 1) est un multiple de 641.
Il en résulte que 232 + 1 = ( 232 + 54 × 228 ) − ( 54 × 228 − 1) , différence de deux multiples de 641,
est un multiple de 641. Il n’est donc pas premier.
Montrons maintenant par récurrence que pour tout entier n ? 1, n + 1 ≤ 2n :
Initialisation pour n = 1 : n + 1 = 2 et 2n = 2 , l’initialisation est vérifiée.
Hérédité : supposons vrai que pour un certain entier n, n + 1 ≤ 2n .
Alors 2 ( n + 1) ≤ 2 × 2n ⇔ 2n + 2 ≤ 2n +1 . Comme n > 0 , 2n + 2 > n + 2 . On a donc bien
n + 2 ≤ 2n +1 et la propriété n + 1 ≤ 2n est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier n ? 1.
Par suite il existe un entier positif a tel que 2n = n + 1 + a , on a donc 22 = 2n +1+ a = 2n +1 × 2a .
n
2a est un entier, donc 2n +1 divise 22 . Il existe donc un entier λ tel que 22 = λ × 2n +1 .
En utilisant l’identité x aλ − 1 = ( x a − 1)( x a ( λ −1) + x a ( λ − 2) + ... + x a + 1) (qui s’obtient en
n
n
remarquant à nouveau qu’on a une somme de suite géométrique), on obtient, en posant x = 2,
et a = 2
n +1
, que 2
 2 2n 




(
)(
n+1
n+1
n+1
n+1
)
− 1 = 22 − 1 2( λ −1)2 + 2( λ − 2)2 + ... + 22 + 1 . Ce qui est à l’intérieur
2n
n+1
de la parenthèse est un entier, donc 22 − 1 divise 22 − 1 .
(
)(
) ( )
D’autre part, 22 − 1 22 + 1 = 22
n
n
n
2
− 1 = 22×2 − 1 = 22 − 1 . Comme 22 + 1 = Fn , on obtient
n
n+1
2n
+1
n
2n
bien que Fn divise 22 − 1 , donc aussi 22 − 1 .
Enfin, 2 Fn − 2 = 22
n+1
(
2n
)
2n
− 2 = 2 × 22 − 2 = 2 22 − 1 . On a bien montré que Fn divise 2 Fn − 2 .
Partie C : autres propriétés des nombres de Fermat
n désigne un entier naturel, et m un entier naturel non nul.
Fn + m − 2 = 22
n+ m
( )
+ 1 − 2 = 2 2 ×2 − 1 = 2 2
n
m
n
2m
− 1 . Or nous avons prouvé à la partie A que pour
tout entier x supérieur ou égal à 2, pour tout entier m non nul, x + 1 divise x 2 m − 1 . Ici on
prend x = 22 , et 2m est bien un nombre pair, on peut donc le mettre sous la forme 2m = 2 p :
n
( )
22 + 1 divise donc 22
n
n
2p
( )
− 1 = 22
n
2m
−1
On a donc bien prouvé que Fn divisait Fn + m – 2.
Il existe donc un entier k tel que Fn + m – 2 = k Fn , ce qui peut aussi s’écrire Fn + m – k Fn = 2.
Tout diviseur commun à Fn + m et Fn est donc aussi un diviseur de 2. Comme Fn et Fn sont
impairs, ils ne sont pas divisibles par 2. Leur pgcd est donc 1. Deux nombres de Fermat
distincts sont donc premiers entre eux.
Partie D : chiffres des unités des nombres de Fermat
n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
24 = 16 ≡ 6 [10] .
Montrons par récurrence que pour tout n ? 2, 22 ≡ 6 [10] :
n
L’initialisation vient d’être vérifiée.
Hérédité : supposons que, pour un certain entier n, 22 ≡ 6 [10] . Alors 22
n
Par hypothèse de récurrence, 22 ≡ 6 [10] donc 22
n
n+1
≡ 62 [10] , soit 22
n+1
n+1
n
propriété 22 ≡ 6 [10] est donc héréditaire. Elle est vraie pour tout entier n ? 2.
Il en résulte, comme Fn = 22 + 1 , que si n ? 2, Fn ≡ 7 [10] . Son chiffre des unités est 7.
Montrons de même par récurrence sur l’entier q que 22
Initialisation pour q = 0 : 22 = 28 = 256 ≡ 56 [100] .
3
4 q+3
≡ 56 [100] :
n
2
≡ 36 [10] ≡ 6 [10] . La
n
n
( ).
= 2 2 ×2 = 2 2
Hérédité : supposons que, pour un certain entier q, 22
Alors 22
4( q +1)+3
= 22
4 q +3
×24
(
= 22
4 q +3
)
16
≡ 56 [100] .
. Par hypothèse de récurrence, 22
(
d’après les propriétés des congruences, 22
que 5616 ≡ 56 [100] , on a bien 22
4 q+3
4( q+1)+3
4 q+3
)
16
4 q+3
≡ 56 [100] , donc,
≡ 5616 [100] . Comme on nous dit d’admettre
≡ 56 [100] . La propriété 22
4 q+3
≡ 56 [100] est héréditaire,
elle est vraie pour q = 0, donc pour tout entier q. Comme il est équivalent de dire n ≡ 3 [ 4] et
n = 4q + 3 , on a bien, pour tout n tel que n ≡ 3 [ 4] , que Fn ≡ 57 [100] .
Diverses remarques culturelles
Les nombres de Fermat vérifient la propriété F0 × F1 × ... × Fn = Fn +1 + 2
Dans l’état actuel des connaissances mathématiques, les seuls nombres de Fermat premiers
connus sont F0, F1, F2, F3 et F4. On sait que de F5 à F32 ils sont tous composés, mais on ne
sait rien de F33. On connaît la décomposition en facteurs premiers de F11 (il y a 5 diviseurs
premiers, le plus grand a 560 chiffres). On ne connaît pas la décomposition en facteurs
premiers de F12 (on n’en connaît que 5 facteurs). Quand à F14, on sait qu’il est composé mais
on n’en connaît aucun diviseur. Le plus grand nombre de Fermat dont on sache qu’il est
composé est F2478782 qui a environ 10746000 chiffres.
Le nombre 641 pour la factorisation de F5 n’est pas le fruit du hasard. On démontre que les
diviseurs premiers de Fn sont de la forme k × 2n +1 + 1 . Pour F5, on se cantonne donc aux
nombres premiers congrus à 1 modulo 64, ce sont : 193, 257 (mais c’est un nombre de
Fermat, donc il est premier avec F5), 449, 577, 641…
Le « petit théorème de Fermat », que nous allons bientôt voir, affirme que si p est premier,
alors pour tout entier n, n p ≡ n [ p ] . En revanche, il n’y a pas équivalence. Un nombre p non
premier qui vérifie 2 p − 2 ≡ 0 [ p ] s’appelle nombre 2-pseudo premier. Le plus petit est 341.