Les nombres de Fermat

Problème
Nombres premiers
TS - Spé Maths
Les nombres de Fermat
n
En 1640 le mathématicien Pierre de Fermat pensait que tous les nombres Fn = 2(2 ) + 1 étaient premiers (on appelle
ces nombres les nombres de Fermat).
— Vérifiez à l’aide de votre calculatrice que F0 , F1 , F2 , F3 et F4 sont premiers.
— En 1732, Euler prouve que F5 n’est pas premier. On le vérifie facilement aujourd’hui avec un logiciel comme
5
5
Xcas. Vérifiez le en entrant f actoriser_entier(22 + 1) ou f actor((22 + 1)
— Que pensez-vous de F6 ?
— Aujourd’hui encore factoriser un nombre de Fermat...est long et compliqué. Sachant que F30 s’écrit avec 108
chiffres et que vous écrivez 5 chiffres par seconde, combien vous faudrait-il de temps pour écrire F30 ?
— Vérifiez que tous les nombres de Fermat sont impairs.
— Démontrez par récurrence que pour tout entier n non nul
F0 F1 . . . Fn−1 = Fn − 2
— Déduire des deux questions précédentes que si d est un diviseur commun à 2 nombres de Fermat alors d = 1
— Sachant que tout entier admet au moins un facteur premier, déduire de ce qui précède une démonstration de
l’infinité des nombres premiers.
LPO de Chirongui
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