Calcul de dérivées n-ième

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Calcul de dérivées n-ième
Enoncés
1
(a) Montrer que pour tout n ≥ 1
f (n) (x) = (n − 1)! cosn ( f (x)) sin(n f (x) + nπ/2)
Exercice 1 [ 01362 ] [Correction]
Calculer la dérivée n-ième de
(b) En déduire les racines de f (n) pour n ≥ 1.
(a) x 7→ x2 (1 + x)n
(b) x 7→ (x2 + 1)e x
Exercice 2 [ 01361 ] [Correction]
Calculer la dérivée n-ième de
x 7→
1
1
1
, x 7→
puis x 7→
1−x
1+x
1 − x2
Exercice 3 [ 00251 ] [Correction]
Calculer la dérivée n-ième de
x 7→
Exercice 9 [ 01364 ] [Correction]
Calculer de deux façons la dérivée n-ième de x 7→ x2n .
En déduire une expression de
!2
n
X
n
k
k=0
1
1 − x2
Exercice 4 [ 00743 ] [Correction]
Calculer la dérivée n-ième de x 7→ cos3 x
Exercice 5 [ 03863 ] [Correction]
Calculons la dérivée n-ième de la fonction réelle t 7→ cos(t)et .
Exercice 6 [ 01363 ] [Correction]
√
Soit f : R → R définie par f (x) = e x 3 sin x. Montrer que
√
nπ f (n) (x) = 2n e x 3 sin x +
6
Exercice 7 [ 00254 ] [Correction]
Montrer que la dérivée d’ordre n de xn−1 e1/x est
(−1)n x−(n+1) e1/x
Exercice 8 [ 00252 ] [Correction]
Soit f : x 7→ arctan x.
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Corrections
Corrections
2
Exercice 3 : [énoncé]
Par décomposition en éléments simples
Exercice 1 : [énoncé]
On exploite la formule de Leibniz
1 1
1
1 1
=
+
1 − x2 2 1 − x 2 1 + x
(a)
Or
x (1 + x)
2
n
(n)
1
1−x
!
!
!
n 2
n 20
n 2 00
n (n)
n (n−1)
=
x ((1 + x) ) + (x ) ((1 + x) )
+ (x ) ((1 + x)n )(n−2)
0
1
2
!(n)
=
1
n!
et
1+x
(1 − x)n+1
!(n)
= (−1)n
n!
(1 + x)n+1
donc
donc
(x (1 + x) )
2
n (n)
1
1 − x2
n!
= n!x2 + 2n.n!x(1 + x) + n(n − 1) (1 + x)2
2
!(n)
=
n!
(−1)n n!
+
n+1
2(1 − x)
2(1 + x)n+1
(b)
(x + 1)e
2
x (n)
!
n
X
n 2
=
(x + 1)(k) (e x )(n−k) = x2 + 2nx + n(n − 1) + 1 e x
k
k=0
Exercice 4 : [énoncé]
(a) On a
cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x
Exercice 2 : [énoncé]
En calculant les dérivées successives
!0
!00
!0
1
1
1
1
2
=
,
=
=
2
2
1−x
(1 − x) 1 − x
(1 − x)
(1 − x)3
on montre par récurrence
donc on peut linéariser
cos3 x =
1
(3 cos x + cos 3x)
4
On sait
(cos x)(n) = cos(x + nπ/2) et (cos 3x)(n) = 3n cos(3x + nπ/2)
et on obtient donc
1
1−x
!(n)
=
n!
(1 − x)n+1
(cos3 x)(n) =
1
(3 cos(x + nπ/2) + 3n cos(3x + nπ/2))
4
De même, mais en gérant de plus un signe
1
1+x
!(n)
= (−1)n
n!
(1 + x)n+1
Enfin
1
1 1
1 1
=
+
1 − x2 2 1 − x 2 1 + x
donc
1
1 − x2
!(n)
n!
(−1)n n!
=
+
2(1 − x)n+1 2(1 + x)n+1
Exercice 5 : [énoncé]
On peut écrire
cos(t)et = Re e(1+i)t
et donc
(n)
(cos(t)et )(n) = Re(e(1+i)t ) = Re (1 + i)n e(1+i)t
Or (1 + i)n = 2n/2 einπ/4 puis
(cos(t)et )(n) = 2n/2 et cos(t + nπ/4)
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f (n+1) (x) = 2n
√
Or
nπ x √3
nπ + cos x +
e
3 sin x +
6
6
puis
(n + 1)π x √3
e
6
!
f (n+1) (x) = 2n+1 sin x +
Récurrence établie.
On peut aussi écrire
3
Supposons la propriété vérifiée au rang n ≥ 1


n!  − sin( f (x)) sin (n f (x) + nπ/2)  n−1

 cos ( f (x))
f (n+1) (x) =

1 + x2 + cos (n f (x) + nπ/2) cos( f (x))
Exercice 6 : [énoncé]
Par récurrence sur n ∈ N.
Pour n = 0 : ok
Supposons la propriété établie au rang n ≥ 0.
√
nπ 0
f (n+1) (x) = 2n e x 3 sin x +
6
donc
Corrections
1
= cos2 ( f (x))
1 + x2
donc
f
(n+1)


 sin( f (x)) cos (n f (x) + (n + 1)π/2)  n+1
 cos ( f (x))
(x) = n! 
+ sin (n f (x) + (n + 1)π/2) cos( f (x))
puis
f (n+1) (x) = n! sin ((n + 1) f (x) + (n + 1)π/2) cosn+1 ( f (x))
Récurrence établie.
(b) Puisque arctan x ∈ ]−π/2 ; π/2[, cos( f (x)) , 0.
Par suite
f (n) (x) = 0 ⇐⇒ sin(n f (x) + nπ/2) = 0
√
√
f (x) = e x 3 sin x = Im e( 3+i)x
et exploiter ceci pour calculer directement la dérivée d’ordre n.
et donc
Exercice 7 : [énoncé]
Par récurrence sur n ∈ N.
Pour n = 0 : ok.
Supposons la propriété établie au rang n ≥ 0.
(n+1)
(n+1)
(n)
(n+1) = x.xn−1 e1/x
= x xn−1 e1/x
+ (n + 1) xn−1 e1/x
xn e1/x
donc
xn e1/x
(n+1)
0
= x (−1)n x−(n+1) e1/x + (n + 1)(−1)n x−(n+1) e1/x
f (n) (x) = 0 ⇐⇒ f (x) =
Au final, les racines de f (n) sont les
cot
kπ
avec k ∈ {1, . . . , n − 1}
n
Exercice 9 : [énoncé]
D’une part
ce qui donne
xn e1/x
(n+1)
= (−1)n+1 x−(n+2) e1/x
Exercice 8 : [énoncé]
x
2n (n)
(n)
= (x × x )
n
et donc
(a) Par récurrence sur n ≥ 1.
Pour n = 1
On en déduit
1
et
1 + x2
cos( f (x)) sin( f (x) + π/2) = cos2 (arctan x) =
x2n
=
(2n)! n
x
n!
D’autre part
Récurrence établie.
f 0 (x) =
kπ π
− avec k ∈ {1, . . . , n − 1}
n
2
1
1 + x2
x2n
(n)
=
n (n)
!
n
X
n n (k) n (n−k)
=
(x ) (x )
k
k=0
!
!2
n
n
X
X
n n
n
n! n! n
x = n!
x
k (n − k)! k!
k
k=0
k=0
!2
!
n
X
n
(2n)!
2n
=
=
k
n
(n!)2
k=0
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