Trouver deux nombres entiers consécutifs dont la différence des

Devoir maison n° 2
A rendre Vendredi 28 septembre 2007
1 Premier ou pas ?
1° La proposition :
« Si n est un entier naturel alors, tout nombre de la forme 6 n + 5 est premier », est-elle juste ?
2° proposition :
« Si n est un entier naturel supérieur ou égal à 3 alors, tout nombre de la forme n2 – 1 n'est pas premier », estelle juste ?
On justifiera les réponses données
2 Trouver deux nombres entiers consécutifs dont la différence des carrés est égale à 7
3 ABCD est un trapèze rectangle tel que celui dessiné ci-contre.
On se propose de calculer sa hauteur x de sorte que son aire soit égale à 10 cm2.
1° Quelles conditions doit vérifier x ?
A
2° a) Démontrer que ADF est isocèle
b) Exprimer la longueur AB en fonction de x
3° Exprimer l’aire du trapèze ABCD en fonction de x.
45°
Quelle équation faut-il résoudre pour répondre au problème ?
D
F
4° On veut résoudre l'inéquation : x2 – 12 x + 20  0
2
2
a) Vérifier que x – 12 x + 20 = (x – 6) – 16
6 cm
b) Résoudre l’inéquation : x2 – 12 x + 20 = 0
c) et déterminer les valeurs de x pour lequel l’aire du trapèze ABCD est égale à 10 cm2.
B
x
C
1 Premier ou pas ?
1° La proposition : «
Si n est un entier naturel alors, tout nombre de la forme 6 n + 5 est premier », est-elle juste ?
Cette proposition est fausse.
En effet si n = 5 on a 6  5 + 5 = 35 = 7  5 donc 6 n + 5 n'est pas premier.
2° proposition :
« Si n est un entier naturel supérieur ou égal à 3 alors, tout nombre de la forme n2 – 1 n'est pas premier », est-elle juste ?
la proposition est juste en effet si n  3 on a :
n2  1 = (n – 1) (n + 1)
Comme n  3 alors n – 1  2 et donc n – 1 est un diviseur de n autre que 1 et que n. n n'est donc pas premier.
2 Trouver deux nombres entiers consécutifs dont la différence des carrés est égale à 7
7 = Error!Error! – Error!Error! = 42 – 32
A
3 ABCD est un trapèze rectangle tel que celui dessiné ci-contre.
On se propose de calculer sa hauteur x de sorte que son aire soit égale à 10 cm2.
1° Quelles conditions doit vérifier x ?
x est une longueur donc x  0
B
x
45°
D
F
ADF est un triangle rectangle en F avec un angle de 45° c'est donc un triangle rectangle 6isocèle
cm en F
2° a) Démontrer que ADF est isocèle
C
b) Exprimer la longueur AB en fonction de x
ADF est isocèle en F donc DF = AF = BC = x.
F  [DC] donc FC = DC – DF donc AB = FC = 6 – x
3° Exprimer l’aire du trapèze ABCD en fonction de x.
Aire(ABCD) = Error! = Error! = Error!
Quelle équation faut-il résoudre pour répondre au problème ?
Error! = 10
4° On veut résoudre l'inéquation : x2 – 12 x + 20  0 a) Vérifier que x2 – 12 x + 20 = (x – 6)2 – 16
(x – 6)2 – 16 = x2 – 2  6 x + 36 – 16 = x2 – 12 x + 20
b) Résoudre l’inéquation : x2 – 12 x + 20 = 0
x2 – 12 x + 20 = 0  (x – 6)2 – 16 = 0  (x – 6)2 – 42 = 0  ((x – 6) – 4) ('x – 6) + 4) = 0
 (x – 6 – 4) (x – 6 + 4) = 0  (x – 10) (x – 2) = 0  x – 6 = 0 ou x – 2 = 0  x = 6 ou x = 2.
c) et déterminer les valeurs de x pour lequel l’aire du trapèze ABCD est égale à 10 cm2.
On a vu que x est solution de l'équation : Error! = 10
Error! = 10  (12 – x) x = 20  12 x – x2 – 20 = 0  x2 – 12 x + 20 = 0.
On a vu que l'équation x2 – 12 x + 20 admettait deux solutions 6 et 2 donc l'équation Error! = 10 admet deux
solution 2 et 6.
Si x = 6 alors F = C et ABCD est un triangle rectangle en C. Il s'agit d'une position limite.
Si x = 2 alors DF = 4 et l'aire de ABCD = Error! = 10.