Nombres premiers et PPCM

Nombres premiers et PPCM
November 30, 2010
1
Nombres premiers
1.1
Nombres premiers dans
N
1.1.1 Dénition et exemples
Dénition On dit qu'un entier naturel n est premier s'il admet exactement deux diviseurs entiers naturels : 1 et
lui-même.
Exemples
• 0 n'est pas premier car il admet une innité de diviseurs.
• 1 n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur lui-même.
• Les nombres 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 sont premiers.
• 4 n'est pas premier car il est divisible par 1, 2 et lui-même. C'est également le cas pour tous les nombres pairs
autres que 2.
1.1.2 Test de primalité
Théorème Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Alors,
• n admet au moins un diviseur premier ;
• si n n'est pas premier, il admet au moins un diviseur premier p tel que p ≤
√
n.
Démonstration
• Si n est premier, il admet un diviseur premier lui-même.
• Si n n'est pas premier, il admet au moins un diviseur positif autre que 1 et lui-même.
On appelle p le plus petit de ces diviseurs (p existe bien, c'est une propriété des ensembles non vides de N).
Si p n'est pas premier alors p possède un diviseur positif d autre que 1 et lui-même.
Comme d divise p et que p divise n alors d divise n (contradiction).
On en déduit que p est premier.
• Comme p divise n alors il existe un entier naturel q tel que n = pq .
Nécessairement, p ≤ q d'après la dénition de p.
√
Donc, p2 ≤ pq , c'est-à-dire p2 ≤ n. D'où, p ≤ n.
Application L'entier 27 − 1 est-il premier ?
• On utilise la contraposée de la deuxième partie du théorème précédent.
√
• 27 − 1 = 127 et 127 ≈ 11, 3. On teste donc la divisibilité de 127 par les nombres premiers inférieurs ou
égaux à 11. Comme 127 n'est divisible par aucun d'eux, on en déduit que 127 est un nombre premier.
1
1.1.3 Une innité de nombres premiers
Théorème Il existe une innité de nombres premiers.
Démonstration
• On suppose qu'il n'existe qu'un nombre ni de nombres premiers p1 , p2 , ..., pk .
• On considère le nombre a = p1 × p2 × ... × pk + 1.
Cet entier naturel est diérent de 1 donc il possède au moins un diviseur premier pi de l'ensemble {p1 , p2 , ..., pk }.
Alors pi divise a et p1 × p2 × ... × pk , donc pi divise 1 (contradiction).
• On en déduit que l'ensemble des nombres premiers est inni.
Remarque La liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à 100 peut être construite à l'aide du crible
d'Eratosthène : dans un tableau de 100 cases numérotées de 1 à 100, on barre le 1, puis les multiples de 2, 3,
5 et 7 ; les nombres non barrés sont alors premiers.
1.2
Décomposition en produit de facteurs premiers
1.2.1 Existence
Théorème Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Alors, n est un nombre premier ou bien un produit de nombres
premiers.
Démonstration
• Comme n ≥ 2, alors n admet au moins un diviseur premier. On le note p1 .
On peut alors écrire n = p1 n1 avec 1 ≤ n1 < n car p1 > 1.
Si n1 = 1, alors n = p1 donc n est premier.
Sinon, n1 ≥ 2 donc n1 admet au moins un diviseur premier. On le note p2 .
On peut alors écrire n = p1 p2 n2 avec 1 ≤ n2 < n1 < n car p2 > 1.
Si n2 = 1, alors n = p1 p2 donc n est le produit de deux nombres premiers.
Sinon, n2 ≥ 2 . On itère le procédé tant que ni > 1.
Comme la suite des ni est une suite strictement décroissante d'entiers strictement positifs, alors au bout d'un
nombre ni d'itérations, on obtient nk .
Finalement, n est le produit des nombres premiers p1 , p2 , ..., pk .
Exemples
• 24 = 23 × 3.
• 150 = 2 × 3 × 52 .
1.2.2 Unicité
Théorème(admis) Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Alors, la décomposition en produit de facteurs premiers
de n est unique.
1.2.3 Critère de divisibilité
Théorème Deux entiers naturels a et b supérieurs ou égaux à 2 sont décomposés en produit de facteurs premiers.
b divise a si, et seulement si, tout facteur premier gurant dans la décomposition de b gure dans la
décomposition de a avec un exposant supérieur égal à celui qu'il a dans la décomposition de b.
2
Démonstration
• Si b divise a alors a = bq donc la décomposition de a est le produit de celle de b par q donc le résultat est
évident.
• Réciproquement, si tout facteur premier gurant dans la décomposition de b gure dans la décomposition de a
α
avec un exposant supérieur égal à celui qu'il a dans la décomposition de b, on peut écrire a = p1 1 ×pα2 2 ×...×pαk k
β
et b = p11 × pβ2 2 × ... × pβr r avec r ≤ k et pour tout i compris entre 1 et r, αi ≥ βi .
Alors a = p1 1
α −β1
β2
r+1
2 −β2
βr
k
r −βr
× ... × pα
× ...pα
× pr+1
× pα
r
2
k × p1 × p2 × ... × pr donc b divise a.
α
β1
Exemple Déterminer tous les diviseurs de 272 en utilisant sa décomposition en produit de facteurs premiers.
272 = 24 × 17 donc les diviseurs de 272 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 17 ; 34 ; 68 ; 136 ; 272.
2
PPCM
2.1
Plus petit commun multiple de deux entiers
2.1.1 Existence
Propriété et dénition Soient a et b deux entiers relatifs non nuls. L'ensemble des multiples communs stricte-
ment positifs de a et b admet un plus petit élément appelé plus petit commun multiple de a et b et noté PPCM(a,
b).
Démonstration
• L'existence est une conséquence est immédiate du fait qu'une partie non vide de N contient un plus petit
élément. En eet, |ab| est multiple commun strictement positif de a et de b.
• L'unicité est admise.
Exemples
• PPCM(4, 10) = 20.
• PPCM(18, 33) = 198.
Application Déterminer les entiers naturels non nuls b tels que PPCM(12, b) = 60.
12 = 22 × 3 et 60 = 22 × 3 × 5.
Comme b doit diviser 60 alors b = 2α × 3β × 5γ avec 0 ≤ α ≤ 2, 0 ≤ β ≤ 1, 0 ≤ γ ≤ 1.
Mais comme b ne doit pas diviser 12 (sinon PPCM(12, b) = 12) alors γ = 1.
Les valeurs possibles pour b sont donc : 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 30 et 60.
2.1.2 Propriétés du PPCM
Propriété Les multiples communs à deux entiers non nuls sont les multiples de leur PPCM.
Démonstration
• On pose m = PPCM(a, b). Alors m est un multiple de a et b donc tout multiple de m est un multiple de a
et b.
• On note M un multiple commun à a et b. On eectue la division euclidienne de M par m : M = mq + r, avec
0 ≤ r < m et qZ.
Comme a et b divisent M et m alors ils divisent aussi r = M − mq . Or m est le PPCM de a et b et 0 ≤ r < m
donc r = 0.
On en déduit que m divise M .
3
Application Résoudre dans Z2 l'équation suivante :
12x = 16y .
On pose z = 12x = 16y . Alors z est un multiple de 12 et 16 donc un multiple de leur PPCM.
PPCM(12, 16) = 48 = 12 × 4 = 16 × 3. Ainsi z = 12 × 4 × n = 16 × 3 × n, avec nZ.
Par conséquent, x = 4n et y = 3n, avec nZ.
Propriété Soient a, b , k des entiers relatifs non nuls.
Alors PPCM(ka, kb) = |k|PPCM(a, b).
Démonstration
• Comme PPCM(a, b) = PPCM (|a| , |b|), on se restreint au cas où a, bN.
• On pose m = PPCM(a, b). Alors km est un multiple de ka et kb donc on a : k PPCM(a, b) ≥ PPCM(ka,
kb).
M
• On pose M = PPCM(ka, kb). Alors M = λka = λ0 kb, avec λ, λ0 N. Donc a et b divisent M
k . Ainsi, k est
un multiple commun à a et b donc un multiple de m. Par conséquent, on a : PPCM(ka, kb) ≥ k PPCM(a,
b) .
• De ce qui précède, on déduit : PPCM(ka, kb) = |k|PPCM(a, b).
Exemple Le PPCM de 12 et de 15 est 60 donc le PPCM de 120 et 150 est 600.
2.2
PGCD, PPCM et décompostion en produit de facteurs premiers
2.2.1 Cas du PGCD
Théorème (admis) Soient
a et b deux entiers naturels non nuls décomposés en produit de facteurs premiers.
Alors, le PGCD de a et de b est égal au produit des facteurs premiers communs à a et à b, aectés du plus petit
exposant avec lequel ils gurent dans la décomposition de a et de b.
Exemple Après avoir les avoir décomposés en produit de facteurs premiers, déterminer le PGCD des nombres 54
et 84.
54 = 2 × 33 et 84 = 22 × 3 × 7. Donc PGCD(54, 84) = 2 × 3 = 6.
2.2.2 Cas du PPCM
Théorème (admis) Soient
a et b deux entiers naturels non nuls décomposés en produit de facteurs premiers.
Alors, le PPCM de a et de b est égal au produit de tous les facteurs premiers gurant dans la décomposition de a
ou de b, aectés du plus grand exposant avec lequel ils gurent dans la décomposition de a et de b.
Exemple Après avoir les avoir décomposés en produit de facteurs premiers, déterminer le PPCM des nombres 54
et 84.
54 = 2 × 33 et 84 = 22 × 3 × 7. Donc PPCM(54, 84) = 22 × 33 × 7 = 756.
2.2.3 Relation entre PGCD et PPCM
Théorème (admis) Soient a et b deux entiers naturels non nuls. Alors, on a : PGCD(a, b)×PPCM(a, b)=ab.
Exemple PGCD(54, 84)×PPCM(54, 84)= 6 × 756 = 4536 = 54 × 84.
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