Distribution de charges et de courants

Distribution de charges et de courants
I Distribution volumique, surfacique, linéique

qi vi
A) Densité volumique
On considère un volume élémentaire d .
1) Densité volumique de charge
dq   qi .
id
Donc  

dq
  (r , t )
d
2) Densité surfacique de courant volumique


On prend une surface élémentaire orientée dS :

dS


 
La charge qui traverse dS pendant dt est  2 q  j  dS .dt (définition de j )
 2q  
Et
 j  dS  dI
dt


 On a déjà montré que j d   qi vi .
id

-
Cas particuliers :
Pour des porteurs identiques, qi  q :



 qi vi  q  vi  qv.nd
id
id

(n : nombre de porteurs par unité de volume, v : vitesse moyenne)


Donc j  qnv ou, avec qn   m (densité volumique de charges mobiles) :


j  mv
- Pour des porteurs différents :


j   v( k ) v ( k )
k
3) Densité volumique de force de Lorentz
d

  
On a, dans le volume d , pour chaque particule, Fi  qi ( E  vi  B)
 
( E , B : valeur moyenne des champs dans le volume)


 
Donc  Fi   qi E   qvi  B

 

Soit dF   .d .E  j d  B
On a donc une densité volumique de force de Lorentz

 dF
  
f 
  .E  j  B
d
B) Distributions surfaciques
1) Densité surfacique de charge
dS

n



dq   d    .dS .dn    dn dS



 


On pose    dn ~ .e . Ainsi, dq  dS   qi

idS
2) Densité linéique de courant surfacique

u
dl
 
On a  2 q  js  u dl.dt .
 2q  
Et
 jS  udl  dI
dt

 
On aura ici  qi vi  js dS ( dS : élément de surface sur  )


 
Et js   j dn ~ e. j

C) Distribution linéique
s

dl
1) Densité linéique de charge
On pose dq   qi  .dl
idl
2) Densité de courant linéique = courant
On pose dq  Idt :

u
 
 j  dS  I 



.u ) 
Et  qi vi  j d   j (ds  dl

Donc
idl
  
( j , dl , ds sont colinéaires)
Récapitulatif :

dl
 j  ds dl  Idl
dq   qi  d  dS  dl


 
Elément de courant :
 qi vi  j d  js dS  Idl

Intensité élémentaire : dI 
j  dS  jS  udl  I
Charge élémentaire :
D) Ordres de grandeur
1) Densité de charges mobiles
2R~10-10m
Ainsi, on a une densité volumique de porteurs n ~ 1030 m 3
Donc  m  ne ~ 1011 C.m 3
Comparaison :
Pour un volume v  1cm3 (1mL) de cuivre :
Si on veut retirer tous les électrons de conduction (libres) et les mettre 10cm
plus loin : la charge restante est q  1011 106  105 C
Donc la force s’exerçant entre les deux parties a un module :
qq '
F
~ 1010.9.109 100 ~ 10 22 N
2
40 r
Par comparaison, le Soleil exerce sur la Terre une force de module
F  3,5.1022 N !
Et le travail à fournir pour amener ces charges est de W 
qq'
40 r
 1021 J
2) Vitesse des porteurs
 Vitesse thermique :
On utilise le modèle de Drude : les électrons dans un conducteur sont
comme des particules d’un gaz parfait.
Ainsi, 12 m  vi2  32 k BT
3k BT
~ 105 m.s 1
m
 Vitesse de dérive :

C’est  vi  quand le conducteur est parcouru par un courant (s’il n’y a pas


de courant,  vi  0 )
Et vth   vi2  
Pour un fil de section s ~ 1mm 2 , parcouru par un courant I  1A , on a
I
1
 10 5  10 5 m.s 1
j   m vd , soit vd 
 m s 10 10
Ainsi, les électrons ont une vitesse d’agitation très importante, mais
globalement, même traversés par un courant assez important, ils ont une vitesse
moyenne très faible.
II Postulat de la charge
A) Conservation
1) Expression globale
Pour une surface fermée fixe dans un référentiel quelconque, on a dq  d e q
 
dq d e q
d

d    j  dS
Soit
, donc

dt
dt
dt
2) Expression locale
  
 j  0
t
Remarque :
-
 

 0 ),   j  0
t
Ce postulat est aussi valable en relativité.
En régime permanent (
B) Invariance
1) Postulat
La charge est invariante par changement de référentiel.
2) Transformation galiléenne des charges et des courants
Dans un référentiel R à l’instant t :
On considère des charges dans un volume d
 Dans R,
dq
qi  dq , et  

d
id

qi vi


 
qi vi  j d , soit j  id

d
id

 Dans un référentiel R’ en translation à la vitesse V par rapport à R :

On cherche  ' , j ' .
On a par invariance dq  dq ' , et d  d ' . Donc  '  


q'i v 'i  qi v 'i


  
On a de plus j '  id
; et, avec v 'i  vi  V :
 id
d '
d

 
j '  j  V
Remarque :
Ces formules ne sont pas valables en relativité :
- La formule de composition des vitesses n’est pas valide
- Et la longueur, donc le volume, n’est pas invariante par changement de
référentiel.
III Loi d’Ohm locale
A) Loi d’Ohm en régime permanent
1) Expression




Un champ électrique E provoque un courant j . Si j   .E , on dit que la
loi d’Ohm est vérifiée dans le matériau.
 s’appelle alors la conductivité électrique du milieu.
2) Discussion

C’est une loi phénoménologique (correspond à un DL au premier ordre),
et macroscopique.


 Elle est analogue à la loi de Fourier j  .T
 Elle traduit un phénomène irréversible
 La loi est valable uniquement dans un matériau isotrope
 Domaines de validité :
- Dans les métaux et les solutions ioniques, la loi est généralement très
bien vérifiée.
- Pour les mauvais conducteurs ou les gaz, les résultats sont moins bons :
On peut avoir un « plat », ou des termes d’ordre 2 qui apparaissent
rapidement :

j

j

E

E
(Dans le deuxième cas, on a un claquage diélectrique : les électrons sont
arrachés)

- On a réussi à créer des matériaux pour lesquels j  E 5
 C’est une loi locale.
La loi globale correspondante est u  Ri .
En effet :
S

dl
I
dU
 
 
On a I  j  S , dU  E  dl
   
  j  dl


j  S dl
 1 dl 
Comme j   .E , on a dU  E  dl 

 I 


 S


S


R

-
-
 dépend de la température :
d
 0 (les métaux sont moins bons conducteurs à
dT
haute température).
d
0
Pour une solution ionique,
dT
Supraconducteurs :
Pour les métaux,
1/ 
TC
T
(En dessous d’un certain seuil, la résistivité devient indétectable)

 Pour appliquer la loi d’Ohm, la seule force motrice doit être E :
- Il ne doit pas y avoir de champ magnétique, ou il faut pouvoir le
négliger.
- Lorsqu’on a un gradient de température, la loi s’écrit sous la forme



j   ( E  s T )
 Ordres de grandeur :
Pour l’argent,   6,2.107 S.m1
Pour le soufre,   5,0.1022 S.m 1
La conductivité varie sur un très grand domaine.
3) Interprétation
 Modèle macroscopique :
On va essayer de retrouver la loi d’Ohm :

v
Pour une particule chargée moyenne de charge q, au nombre de n par unité

de volume, et de vitesse v , on a :



j   m v  qnv
Le principe fondamental de la dynamique s’écrit :


dv
m
 qE ; on voit déjà que cette formule ne conviendra pas, car on
dt


dj
trouvera au mieux une relation entre E et
.
dt
Hypothèse ad hoc (« on ajoute ce qu’il faut pour que ça marche ») :
On suppose que la particule est soumise en plus à une force de frottement

visqueux  fv .
Ainsi, l’équation devient :



dv
m
 qE  fv
dt
En régime permanent :

On a
0
t
d
Attention, on ne peut pas écrire pour autant
0 !
dt
Visualisation, avec un fleuve :

v

v

v 
0
En régime permanent, on aura en un point particulier du fleuve
t

dv 
0 !
Mais si on suit une particule le long de son parcours,
dt

v
correspond en fait à une dérivée locale.
t

dv
Calcul de
:
dt

Plus généralement pour une fonction f (r , t )  f ( x, y, z, t ) .
Pour une petite variation de x, y, z, t :
f
f
f
f
df  dx  dy  dz  dt
x
y
z
t

 f  
df f f dx f dy f dz f
Soit





 (f )  v 
 v  f
dt t x 
dt y 
dt z 
dt t
t
vx
Le terme
vy
vz
 
f
correspond à une dérivée locale, v  f à une dérivée
t
convective.

Pour v dans ce cas, on aura :


dv v      

 v  v  v  v
dt t

 

On va supposer que v  v est négligeable devant qE et  fv .
 q 
Alors v  E
f
Conductivité :

 nq 2 
On a ainsi j  nqv 
E
f
nq 2
Donc  
f
 Modèle microscopique :
- Modèle :
On prend cette fois les porteurs individuellement, de charge qi  q , de

vitesse vi , soumis à deux forces :



F  qi E  qE
Interactions avec les autres particules du milieu, par des chocs :

v0

v '0


On suppose que v '0 est totalement indépendant de v0 (la particule « oublie »
sa vitesse d’avant)
Cela revient à supposer que lorsqu’on voit une particule avec une certaine
vitesse après un choc, on ne peut pas déterminer quelle avait été sa vitesse avant,
ce qui est assez naturel.


- On a j d   qi vi
id
 1


Donc j 
q  vi  nq  vi 
d i
d

 vi  nd

- Expression de  vi  :
 

q 
vi  vi0  E.(t  t0i ) ( vi0 : vitesse à la sortie du dernier choc)
m


q 
Donc  vi  vi0   E.  t  t0i 
m


D’après l’hypothèse faite,  vi0  0 car les particules peuvent repartir dans
n’importe quelle direction, avec n’importe quel module.

q 
Donc  vi  E. (  : temps de parcours moyen entre deux chocs)
m


nq 2 
- Ainsi, j  nq  vi 
E
m
nq 2
C'est-à-dire  
.
m
 Discussion :
nq 2 nq 2
m
- On a  
, donc f 


f
m

m 
v
C'est-à-dire F f 

Ainsi, les chocs se traduisent en moyenne par un frottement visqueux.
- Pour un métal (cuivre) :
On a n ~ 1030 m 3 , q  1,9.1019 C , m  9.1031 kg
d
~
où d est la distance entre deux ions, et vth la vitesse thermique des
vth
porteurs. Ainsi, avec d ~ 10 10 m , vth ~ 105 m.s 1 , on a  ~ 10 15 s .
D’où  ~ 3.107 S.m 1
- Si on avait en plus un champ magnétique, le principe s’écrirait :
 m

 
ma  qE  v  qv  B

 
Si on ne peut pas négliger qv  B , la loi ne s’applique plus.
- En réalité, une théorie plus complète montre que la conductivité est due
à des interactions des électrons avec les défauts du réseau.
B) Loi d’Ohm en régime variable
 
 
On suppose que E (r , t )  E (r ).e i .t
(On peut ensuite généraliser à un régime variable quelconque avec les
transformées de Fourier)
1) Conductivité complexe

 m
dv
On a m
 qE  v
dt



v
m
Ou m
 qE  v
t

(On admet que les termes supplémentaires sont effectivement négligeables)
  
On cherche donc des solutions sous la forme v  v (r )e i .t
 q  1
Dans l’équation,  i.v  E  v
m


 q
1
Ou v 
E
m 1  i


 nq 2
1
Donc j  nqv 
E
m 1  i
0
nq 2
1

C'est-à-dire  
m 1  i 1  i.
Où  0 est la conductivité en régime permanent.
Ainsi, on aura une différence de phase du courant sur le champ
Remarque :
On n’utilise les que pour indiquer une transformée de Fourier ; ici,  est
simplement un coefficient, qui se trouve être complexe.
2) Cas limites

Lorsque .  1 , ou  
1

On a alors    0
 Lorsque   1 ,
nq 2
On a   i
 iR
m
 
 
1
Donc  j  E  Re j  E *  0
2
 
On verra que  j  E  correspond à la puissance volumique dissipée par
effet Joule.
 Ordres de grandeur :
1
On doit avoir  ~ ~ 1015 s -1 pour que les effets se fassent sentir, c'est-à-dire


~ 1014 Hz
une fréquence  
2


IV Complément
A) Densité de charge dans un conducteur ohmique
On note  la densité de charge totale du conducteur (mobiles et fixes), et on


suppose qu’on a un conducteur ohmique, c'est-à-dire que j   E .
On suppose enfin que  est indépendant du point.
1) Conducteur à l’équilibre
A l’équilibre,
 
 
j 0 
  donc E  0

j  E 
  
Comme   E  , on a même   0 .
0
2) Conducteur en régime permanent

0
t
  
Mais
   j  0 (conservation de la charge)
t
 
 

E  0 
  j  0


  , soit   E    , donc   0 .
Donc 
j  E 
 0 
On aura
3) Conducteur en régime variable
 
Ici, E , j ,  dépendent du temps.


Transformée de Fourier (r , t )  (k ,  )
 
  
 On a
   j  0 , soit  i   ik  j  0
t


0
Et j   E où  
1  i
 
 


Et   E 
soit ik  E 
 0 r
 0 r
(On considère pour simplifier que  r  1 )
On obtient alors, après calcul, l’équation :

1 1 

  0 , où  r  0
    2  i 
0
  r 


Ordres de grandeur :
Pour un bon conducteur,   10 15 s
Et  r ~ 1018 s
m 0  0 m 0
On a  r 
, du même ordre de grandeur pour tous les


nq 2  0 nq 2
m
conducteurs (à porteurs identiques, 2 0 est constant)
q
 En régime quelconque :
L’équation devient :
 2  1  1


 0
t 2  t  r
Equation caractéristique :
1
1
1
4
2   
0,  2 

 r
  r
4
Pour un bon conducteur,    r , donc  ~
 r
 t

t
Et    0e 2 cos
   (L’autre terme est divergent)
 

r


1  2 
Dans un mauvais conducteur,    r , et  ~ 1  
  r 
t / r
t /
Donc   Ae  Be
, et l’ensemble est amorti avec une constante de
temps  r .
Dans les deux cas, le système est amorti avec la constante de temps la plus
grande entre  r et  .
 Régime sinusoïdal :

1 1 
0
On cherche     2  i 
  r 

Donc soit   0 ,
1 1
Soit   2  i 
0
  r
Pulsation plasma :
(1) Il faut que la partie imaginaire soit nulle ou négligeable, c'est-à-dire

1
  2 , ou  


1
(2) Pour la partie réelle : on doit avoir  2 
, c'est-à-dire
 r
nq 2
  p , pulsation plasma.
m 0

Et on peut avoir alors   0 en régime permanent.
Interprétation :
  nq
  nq
x
x
Bloc de porteurs
Le bloc de porteurs se déplace « en bloc » d’une petite distance x.
Ainsi, il n’y a plus de porteurs à gauche.
On laisse alors le système évoluer :
  nqx 
Entre les deux couches, on a un champ E 
ux
0
Donc le champ tend à le faire revenir vers leur position initiale.
On a alors un oscillateur harmonique :
Principe fondamental de la dynamique appliqué à un porteur moyen :
  nq 
mx  q
x 

 0 
nq 2
x0
Soit x 
m 0
Et on a donc une pulsation  
nq 2
 p
m 0
Ainsi,  p est la pulsation propre du système de charges.