TRANSPORT DE CHARGES

TRANSPORT DE CHARGES
C
onnaissance
du cours
1. Dans un conducteur en régime stationnaire, ρ = 0
vrai
faux
r
r
2. Si on avait dans un conducteur en régime stationnaire ρ = 0 , on ne pourrait pas avoir de courants puisque J = ρv
vrai
faux
3. La loi d’Ohm et la loi des nœuds ne sont vraies qu’approximativement en régime lentement variable
vrai
faux
4. La résistance d’un conducteur ne dépend que de sa géométrie
vrai
faux
Calculs de résistances
1. Résistance électrique d’un demi tore de section carrée (sujet classique)
On considère un demi tore en cuivre de section carrée de longueur e,
de rayon interne R1 et de rayon externe R2 . On note γ la conductivité
électrique du cuivre. On impose une différence de potentiel
U = V A − VB entre les deux faces extrêmes du tore.
a) Déterminer la forme du potentiel V compatible avec la géométrie et
les conditions aux limites du problème.
b) En déduire la résistance électrique R du demi tore.
Retrouver le cas particulier du cylindre droit.
A.N : γ = 5,8 ⋅10 7 S ⋅ m -1 , R1 = 1 cm , e = 1 cm .
réponse : a) V = V (θ) b) R =
π
; faire l’équivalent quand R1 → ∞ ; R = 7,8 ⋅ 10 −6 Ω


e
γe ln 1 + 
R
1

2. Relation entre résistance et capacité pour une même géométrie
a) On note R est la résistance d’un conducteur de conductivité γ constituant un tube de courant entre deux surfaces S1 au
potentiel V1 et S 2 au potentiel V 2 . On note C la capacité d’un condensateur ayant la même géométrie que le conducteur : les
armatures en regard sont S1 au potentiel V1 et S 2 au potentiel V 2 , le tube de courant est un tube de champ électrostatique.
Montrer que l’on a RC =
ε0
γ
b) On considère un condensateur hémisphérique (les surfaces en regard sont des demi-sphères concentriques de rayons R1 et
R 2 > R1 ). L’isolant placé entre les deux armatures est un fluide de conductivité γ = 10 −9 S ⋅ m -1 très faible. Calculer sa
résistance si R1 = 10 cm et R2 = 20 cm , puis l’intensité « de fuite » pour V1 − V2 = 1000 V .
réponse : b) R = 7,96 ⋅ 108 Ω et I = 1,26 µA
Modèle de Drude
3. Modèle statistique de Drude (sujet classique)
On considère un conducteur métallique constitué de cations fixes de charge +e , et
d’électrons libres de charge −e , de masse m. On note n le nombre d’électrons libres
cations par unité de volume.
a) Quel est le nombre d’électrons libres par unité de volume ? En déduire le densité
volumique de charges mobiles ρ.
b) Soit un électron éli donné qui subit à ti = 0 un choc avec un cation ; sa vitesse est alors
r
r
r
v0,i . Sous l’action d’un champ électrique uniforme et constant E , sa vitesse passe de v0,i
r 1
r
à vi (à la date ti ). On effectue une moyenne d’ensemble v =
N
r
v par la suite) sur un volume mésoscopique du métal.
r
1
Déterminer vi . Donner la signification de τ = ti =
N
N
∑t
i
N
∑v
r
i
(notée simplement
i =1
r
puis calculer v en supposant la
i =1
distribution des vitesses isotrope suite à un choc.
r
c) Exprimer, en régime permanent, le vecteur densité volumique de courant J . Pourquoi
r
peut on ne prendre en compte que les électrons pour calculer J ?
r
r
Montrer que la loi d’Ohm locale J = γE est vérifiée et que la conductivité électrique γ du
ne 2 τ
.
m
A.N : e = 1,6 ⋅ 10 −19 C ; m = 9,1 ⋅ 10 −31 kg ; N A = 6,02 ⋅ 10 23 mol -1 .
conducteur vaut γ =
Pour du cuivre, on a Z = 1 électron libre par atome, et on donne : γ = 5,9 ⋅ 107 S ⋅ m -1 ;
M = 63,5 g ⋅ mol -1 ; masse volumique µ = 8,96 ⋅ 103 kg ⋅ m -3
Calculer n puis τ. Conclure quant au domaine de validité de la loi d’Ohm.
Recommencer pour de l’aluminium en utilisant les tableaux ci-contre qui donnent Z, n, ainsi
que la résistivité (inverse de la conductivité) en microohms centimètre à 77 K et 273 K.
d) Calculer v pour un fil de cuivre de diamètre d = 1,5 mm parcouru par un courant
d’intensité I = 1 A . Comparer à la vitesse moyenne quadratique u =
3k BT
m
à 273 K.
Commenter.
réponse : a) cristal électriquement neutre : n électrons par unité de volume et ρ = −ne
r
r
eτE
b) v = −
c) A.N : n = 8,4 ⋅ 10 28 m -3 et τ = 2,5 ⋅ 10 −14 s
m
Effet joule / actions de Laplace
4. Puissance dissipée par effet Joule
Montrer que pour un conducteur de forme quelconque de résistance R, la puissance électrique dissipée par effet joule vaut
P = RI 2 .
r
r →
r
On donne div(VJ ) = VdivJ + grad V ⋅ J
r
réponse : utiliser G.O et divJ = 0 pour montrer d’abord que P = (V1 − V2 ) I pour un dipôle quelconque (tube de courant entre
deux équipotentielles V1 et V2 )
r
5. Actions magnétiques subies par une boucle de courant plongée dans B uniforme
On suppose la boucle plane, contenue dans le plan xOy.
r
a) Montrer que la résultante des forces de Laplace sur la boucle est nulle. En déduire que le moment résultant Γ est
indépendant du point de réduction.
r
b) Calculer dans un système de coordonnées cartésiennes les composantes de ΓO où O est un point quelconque du plan de la
r
r r
r
spire. Montrer que si S est le vecteur surface de la boucle, on a Γ = IS ∧ B .
réponse : b) Utiliser
∫ ydx = − S
et
∫ xdy = S
6. Relaxation d’un conducteur (résolution de problème)
Supposons qu’une charge volumique ρ0 apparaisse localement dans un conducteur. Évaluer numériquement l’ordre de
grandeur du temps nécessaire pour que se rétablisse la neutralité du conducteur. Commenter ce résultat.