cours-trigo

Chapitre 2 : Coordonnées d’un point - Trigonométrie
I. Coordonnées d’un point d’un plan
1) Repère orthonormé :
Définition :
Soit une unité de longueur choisie
Soient 3 points O, I et J distincts deux à deux
On appelle repère orthonormé(O,I, J) ou orthonormal un repère où (OI) et (OJ) sont perpendiculaires et
OI=OJ=1
Dans le repère orthonormé (O,I,J) ci contre :
Le point A a pour abscisse xA=2 et pour ordonnée yA=1
Ses coordonnées sont A(2 ;1)
De même I(1 ;0) et J(0 ;1)
2) Distance entre deux points:
Propriété :
Soient A et B deux points de coordonnées (xA ;yA) et (xB ;yB) dans un repère orthonormé (O,I, J)
alors :
AB =
 xB  xA    yB  yA 
2
2
Exemple :
Soit A( 4 ;-1) et B(-2 ;7) dans un repère orthonormé
AB =
 xB  xA    yB  yA 
2
2
AB=√(−2 − 4)² + (7 − (−1))² = √36 + 64 = √100 = 10( unités de longueur )
3) Coordonnées du milieu d’un segment
Propriété :
Soient A et B deux points de coordonnées (xA ;yA) et (xB ;yB) dans un repère (O,I, J) alors :
Le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées
Exemple :
Soit A(-4 ; 1) et B(2 ;4) dans un repère
Soit M le milieu du segment [AB] :
xA +xB yA +yB
; 2 )
2
−4+2 1+4
M(
; 2 )
2
M(
M(−1; 2,5)
xA +xB yA +yB
;
)
2
2
(
II. Trigonométrie
1) Enroulement de la droite numérique sur le cercle trigonométrique
Définition :
Dans un repère orthonormé (O,I,J), on appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1.
On distingue 2 sens de parcours : le sens direct ou positif ( sens inverse des aiguilles d’une montre ) et le sens
indirect ( sens des aiguilles d’une montre )
Le rayon étant de 1 ( unité de longueur ), la longueur du cercle ( ou circonférence ) est de 2𝜋 ( unités de
longueur ), celle du demi cercle est de 𝜋, celle du quart de cercle est de 𝜋/2.
Dans un repère orthonormé ( O, I , J ), on trace latangente au cercle en I.
Soit A(1 ;1), on munit alors la droite (IA) du repère (I, A) : c’est une droite
graduée recouvrant tous les réels, on l’appelle la droite numérique.
On imagine alors que la droite (IA) « s’enroule autour du cercle
trigonométrique »
Ainsi :
-
A tout point de la droite (IA), on lui associe un unique
point du cercle trigonométrique.
Mais, à tout point du cercle trigonométrique, on peut
associer une infinité de points sur la droite, tous
distants de 2𝜋 (u.l)
Enroulement dans le sens direct :
Le réel
𝜋
4
vient « s’appliquer » sur le
Le réel
point M.
̂ a pour longueur𝜋 .
L’arc 𝐴𝑀
4
𝜋
2
vient « s’appliquer » sur le
point N.
̂ a pour longueur𝜋 .
L’arc 𝐴𝑁
2
𝜋
M est associé au réel positif .
4
̂ a pour mesure 45°
L’angle 𝐴𝑂𝑀
Le réel
3𝜋
4
vient « s’appliquer » sur le
point P.
̂ a pour longueur3𝜋 .
L’arc 𝐴𝑃
𝜋
N est associé au réel positif .
2
̂ a pour mesure 90°
L’angle 𝐴𝑂𝑁
4
Pour exprimer la mesure d’un angle, on peut donc utiliser la longueur de l’arc de cercle
𝜋
Pour un angle de 45°, la longueur de l’arc de cercle est de soit environ 0,78.
4
Cette unité s’appelle le radian ! et on peut alors dire : un angle de 45° a une mesure de
𝜋
4
radians.
On a le tableau de correspondance suivant :
Degré
Radian
0
0
30
𝜋⁄
6
45
𝜋⁄
4
60
𝜋⁄
3
90
𝜋⁄
2
120
2𝜋⁄
3
135
3𝜋⁄
4
150
5𝜋⁄
6
3𝜋
P est associé au réel positif
.
4
̂ a pour mesure 135°
L’angle 𝐴𝑂𝑃
180
𝜋
Enroulement dans le sens indirect :
𝜋
Le réel vient « s’appliquer » sur le point R.
4
̂ a pour longueur𝜋 .
L’arc 𝐴𝑅
4
𝜋
R est associé au réel négatif - .
4
2) Cosinus et sinus d’un nombre réel:
a) Rappels du quart de cercle trigonométrique vu au collège :
Ainsi dans le triangle OHM rectangle en H, on a :
cos x 
OH
OM
Or OM =1, donc :
OH  cos x
cos x est donc l’abscisse de M.
On a également :
sin x 
MH OK

 OK
OM OM
sin x est donc l’ordonnée de M.
b) Par extension au cercle trigonométrique :
Définition :
Soit (O,I,J) un repère orthonormé et C le cercle trigonométrique de centre O
Soit M un point du cercle C, associé à un réel x
Le cosinus du nombre réelx est l’abscisse de M et on note cos x.
Le sinus du nombre réelx est l’ordonnée de M et on note sin x.
c) Propriétés :
Pour tout nombre réel x :
−1 ≤ cos 𝑥 ≤ 1
−1 ≤ sin 𝑥 ≤ 1
𝑐𝑜𝑠²𝑥 + 𝑠𝑖𝑛²𝑥 = 1
Remarque : les 2 premières propriétés sont des conséquences directes des définitions du sinus et cosinus ;
pour la 3e on applique le théorème de Pythagore dans le triangle OHM rectangle en H.
3) Valeurs remarquables à connaitre
Angle en degré
Angle en radian
Cos x
0
0
1
Sin x
0
Tan x
0
4) Propriétés du cosinus et du sinus
Soit x un réel :
Cos(-x)=cos(x)
Sin(-x)=-sin(x)
Cos(𝜋 + 𝑥)=-cos(x)
Sin(𝜋 + 𝑥)=-sin(x)
Cos(𝜋 − 𝑥)=-cos(x)
Sin(𝜋 − 𝑥)= sin(x)
30
𝜋⁄
6
√3
2
1
2
√3
3
45
𝜋⁄
4
√2
2
√2
2
1
60
𝜋⁄
3
1
2
√3
2
√3
90
𝜋⁄
2
0
1
x