Groupes - Page Personnelle de Jérôme Von Buhren

Interrogation orale - Groupes
Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr
Groupes
2
2.1
1
Lois de composition internes
Groupes et sous-groupes
Groupes
Exercice 5 : Soit G =] − 1, 1[. On dénit une loi ? sur G par
Exercice 1 : Soit E = [0, 1]. On dénit une loi ? sur E par
∀(x, y) ∈ E 2 ,
x ? y = x + y − xy.
1. Montrer que ? est une loi de composition interne sur E .
2. Étudier ses propriétés.
∀(x, y) ∈ G2 ,
x?y =
x+y
.
1 + xy
Montrer que (G, ?) est un groupe.
Exercice 6 : Soit G = R2 . On dénit une loi ? sur G par
∀((x, y), (x0 , y 0 )) ∈ G2 ,
0
(x, y) ? (x0 , y 0 ) = (x + x0 , yex + y 0 e−x ).
Montrer que (G, ?) est un groupe.
Exercice 2 : Soit E un ensemble. Quelles sont les propriétés des lois de composition interne sur P(E) donnés par l'union, l'intersection, la diérence et la
Exercice 7 : Montrer que l'ensemble des applications f : R → R anes dont
diérence symétrique ?
le coecient directeur non nul est un groupe pour la composition.
Exercice 3 : Soit E = F ([0, 1], [0, 1]). On dénit une loi ? sur E par
∀x ∈ [0, 1],
(f ? g)(x) = f (x)g(1 − x).
1. Montrer que ? est une loi de composition interne sur E .
2. Étudier ses propriétés.
Exercice 4 : Soit E = F ([0, 1], [0, 1]). On dénit une loi ? sur E par
∀x ∈ [0, 1],
(f ? g)(x) = max(f (x), g(x)).
1. Montrer que ? est une loi de composition interne sur E .
2.2
Sous-groupes
Exercice 8 : Soit G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. Montrer que
H ∪ K est un sous-groupe de G si et seulement si H ⊂ K ou K ⊂ H .
Exercice 9 : Soit G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. Montrer que
HK est un sous-groupe de G si et seulement si HK = KH .
Exercice 10 : Soit X une partie non-vide et nie d'un groupe G stable pour
la loi de G. Montrer que X est un sous-groupe de G.
Exercice 11 : Soit (m, n) ∈ N2 . Montrer que
mZ ∩ nZ = ppcm(m, n)Z et mZ + nZ = pgcd(m, n)Z.
2. Étudier ses propriétés.
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Exercice 12 : Soit G un groupe n'admettant qu'un nombre ni de sous-groupe. Exercice 18 : Soit G un groupe n'ayant pas de sous-groupe non trivial. Montrer que G est monogène, ni et de cardinal un nombre premier.
1. Soit g ∈ G. Montrer que
Hg = {g n ∈ G | n ∈ Z}
Exercice 19 : Soit G un groupe ni de cardinal n. Montrer qu'il existe une
partie génératrice de G de cardinal inférieur ou égal à log2 (n).
est un sous-groupe ni de G.
2. En déduire que G est ni.
3
Exercice 13 : Soit (G, +) un groupe abélien. Montrer que
Exercice 20 : Donner les morphismes de groupes de
H = {g ∈ G | ∃n ∈ N∗ , n · g = 0}
est un sous-groupe de G.
Exercice 14 : Montrer que l'ensemble
√
2
2
(i) (Z, +) dans (Z, +),
(ii) (Q, +) dans (Q, +),
(iii) (Q, +) dans (Z, +),
(iv) (Q, +) dans (Q∗ , ×).
Exercice 21 : Soit n ∈ N avec n > 2. Déterminer les morphismes de groupes
de (Sn , ◦) dans (C∗ , ×).
2
{x + y 3 ∈ R | (x, y) ∈ Z , x − 3y = 1}
est un sous-groupe de R∗ .
2.3
Morphisme de groupes
Exercice 22 : Soit ϕ : G → C∗ un morphisme de groupes non constant.
Calculer
Sous-groupes engendrés
X
Exercice 15 : On note E = R \ {0, 1}. Déterminer le groupe engendré pour la
composition par
f, g : E → E,
f : x 7→
1
,
x
ϕ(g).
g∈G
Exercice 23 : Soit G un groupe. On suppose que l'application f : G → G,
x 7→ x3 est un morphisme de groupes surjectif.
g : x 7→ 1 − x
Exercice 16 : Montrer que (Q, +) n'est pas engendré par une partie nie de Q.
1. Montrer que (xy)2 = y 2 x2 , puis (xy)4 = x4 y 4 pour tout x, y ∈ G.
2. En déduire que G est abélien.
Exercice 17 : Soit H un sous-groupe propre de G. Déterminer le sous-groupe
Exercice 24 : Construire un isomorphisme de (C∗ , ×) sur S 1 × R∗+ .
de G engendré par le complémentaire de H dans G.
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Exercice 25 : Soit H un sous-groupe non trivial de (R, +). On note
Exercice 31 : Soient G et H deux groupes nis avec Card(G) ∧ Card(H) = 1.
Montrer qu'il n'y a qu'un morphisme de groupes de G dans H .
a = inf{x ∈ H | x > 0}.
1. Montrer que si a > 0, alors a ∈ H et H = aZ.
2. Montrer que si a = 0, alors H est dense dans R, c'est à dire
∀x ∈ R,
∀ε > 0,
∃h ∈ H
tel que
|x − h| < ε.
Exercice 26 : Soit G un groupe. On note Aut(G) le groupe des automorphismes de G et on dénit le centre de G par
Z(G) = {g ∈ G | ∀h ∈ G, gh = hg}.
Exercice 32 : Soit G un groupe vériant g 2 = e pour tout g ∈ G.
1. Montrer que G est abélien.
2. Montrer que si G est ni, alors l'ordre de G est une puissance de 2.
3. Montrer qu'un groupe d'ordre 2p avec p > 2 premier admet un sous-groupe
de cardinal p.
Exercice 33 : Soit p un nombre premier. On pose
k
G = {z ∈ C | ∃k ∈ N, z p = 1}.
1. Montrer que Z(G) est un sous-groupe de G.
2. Montrer que pour tout h ∈ G, l'application σh : G → G, g 7→ hgh−1 est un
élément de Aut(G).
3. Montrer que σ : G → Aut(G), g 7→ σg est un morphisme de groupes.
4. Montrer que Ker(σ) = Z(G).
4
1. Montrer que G est un sous-groupe de (C∗ , ×).
2. Montrer que les sous-groupes propres de G sont cycliques et qu'aucun d'eux
n'est maximal pour l'inclusion.
3. Montrer que G n'est pas engendré par un système ni d'éléments.
Exercice 34 : Soit G un groupe commutatif d'ordre pq avec p ∧ q = 1. On pose
Ordre d'un élément
A = {g ∈ G | g p = e} et B = {g ∈ G | g q = e}.
Exercice 27 : Déterminer les sous-groupes nis de (C∗ , ×).
Exercice 28 : Soient G un groupe abélien ni et x, y ∈ G d'ordre respectif m
et n. Montrer que si m ∧ n = 1, alors xy est d'ordre mn.
1. Montrer que A et B sont des sous-groupes de G.
2. Déterminer A ∩ B .
3. Montrer que G est isomorphe à A × B .
Exercice 35 : Soit G un groupe ni admettant un automorphisme λ : G → G
Exercice 29 : Soient G un groupe ni, a ∈ G d'ordre m et k ∈ Z. Montrer involutif avec comme unique point xe e.
que l'ordre de ak est m/(m ∧ k).
1. Montrer que G est de cardinal impair.
2. Montrer que ϕ : G → G, g 7→ g −1 λ(g) est bijective.
Exercice 30 : Soient G un groupe de cardinal n et m ∈ N avec m ∧ n = 1. 3. En déduire que λ(g) = g −1 et que G est abélien.
Montrer que pour tout y ∈ G, il existe un unique x ∈ G tel que y = xm .
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Solutions
Exercice 20 : Les solutions sont
(i) f : Z → Z, x 7→ n · x.
Exercice 1 : On vérie que 0 est un élément neutre de ?. Les éléments inversibles de E sont les éléments distincts de 1. De plus, l'inverse de x ∈ E \ {1} est (ii) f : Q → Q, x 7→ a · x.
(iii) f : Q → Z, x 7→ 0.
1 + (x − 1)−1 .
(iv) f : Q → Q∗ , x 7→ 1. (Remarquer que f (1) est une puissance n-ème pour
Exercice 2 : L'intersection est associative et admet pour élément neutre E
tout entier n ∈ N∗ ).
qui est aussi le seul élément inversible. La réunion est associative et admet
pour élément neutre ∅ qui est aussi le seul élément inversible. La diérence Exercice 22 : Comme ϕ est non constante, il existe a ∈ G tel que ϕ(a) 6= 1.
symétrique sur P(E) donne un groupe dont l'élément neutre est ∅ et l'inverse Ainsi
X
X
X
d'une partie A de E est A.
ϕ(g) =
ϕ(a · g) = ϕ(a) ·
ϕ(g),
g∈G
g∈G
Exercice 3 : La loi ? n'est pas associative et admet la fonction f = 1 pour
donc la somme est nulle.
élément neutre. Seul l'élément neutre est inversible pour cette loi.
g∈G
3
3 3
2
2 2
Exercice 4 : La loi ? est associative et admet la fonction f = 0 pour élément Exercice 23 : On a (yx) = y x , d'où en simpliant (xy) = y x . On en
4
2
2
2
2
2
4
4
déduit (xy) = ((xy) ) = (y x ) = x y . En simpliant dans cette égalité,
neutre. Seul l'élément neutre est inversible pour cette loi.
on trouve y 3 x3 = (yx)3 = x3 y 3 . Comme f est surjective, on obtient que G est
Exercice 8 : La réciproque est évidente. Pour le sens direct, on montre la abélien.
contraposée. On xe x ∈ H \ K et y ∈ K \ H . Si x · y ∈ H , alors on trouve que
y = x−1 · (x · y) ∈ H , ce qui est absurde. De même x · y ∈
/ K , donc x · y ∈
/ H ∪ K , Exercice 35 : On peut écrire
[
donc H ∪ K n'est pas un sous-groupe de G.
G=
{g, λ(g)} ∪ {e},
g∈G\{e}
Exercice 10 : Soit x ∈ X . Il sut de montrer que x−1 ∈ X . Par le principe
∗
n
−1
des tiroirs et comme X est ni, il existe n ∈ N tel que x = e. Ainsi x =
ce qui montre que G est de cardinal impair. Pour la question 2, il sut de
xn−1 ∈ X .
montrer que ϕ est injective. Si ϕ(g) = ϕ(h), alors on obtient λ(hg −1 ) = hg −1 ,
−1
Exercice 12 : Si Hg n'est pas ni, alors Hg est isomorphe à Z, ce qui fournirait donc par hypothèse hg = e, puis h = g . Pour la question 3, si on écrit
−1
−1
−1
−1
une innité de sous-groupe de G. Finalement G est recouvert par les Hg qui sont g = h λ(h), on a λ(g) = λ(h λ(h)) = λ(h) h = g . Comme λ est un
morphisme de groupes, on en déduit que G est abélien.
des sous-groupes nis. On conclut que G est ni avec l'hypothèse de départ.
Exercice 17 : En notant K ce sous-groupe, on a K = G. Il sut de montrer
que H ⊂ K . Comme H 6= G, il existe a ∈ G \ H . Si x ∈ H , l'élément a · x ne
peut pas appartenir à H , sinon on a a = x · (a · x)−1 ∈ H . Ainsi a ∈ G \ H ⊂ K
et a · x ∈ G \ H ⊂ K , donc x = a−1 · (a · x) ∈ K , d'où le résultat.
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