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Toraille Nicolas TS3
Rappels : 1 U.A. = 1,497.1011m
Constante de gravitation universelle G = 6,67.10-11 u.S.I.
La Terre fait le tour du Soleil en 1 an = 365,25 jours.
Quand les angles sont faibles, on peut confondre arc et corde.
1. Vérification de la troisième loi de Képler en utilisant les
satellites naturels de Jupiter.
1.1 Obtention des valeurs :période T er rayon de l’orbite R.
On utilise le logiciel Satel qui permet d’étudier le mouvement des satellites de différentes
planètes du système solaire.
Après avoir lancé le logiciel et choisi une planète (pour nous Jupiter), on se place au
voisinage du 15 novembre 2002.
On détermine pour chaque satellite :
•
sa période T, en seconde
•
le diamètre apparent α du rayon de sa trajectoire en seconde d’arc : pour cela on
mesure αx et αy et on utilise la relation α =
 x 2   y 2 (on utilisera par la suite le logiciel
Regressi.
On rentre ces résultats dans le tableau suivant :
Satellite
T (s)
x (‘’)
y (‘’)
 (‘’)
R (m)
Io
1,548.105
107,07
-38,55
113,8
4,21.108
Europe
Ganymède
3,09.105
6,04.105
169,43
274,46
-59,53
-99,09
182,685
288,785
6,65.108
1,07.109
Callisto
1,44.106
-478,47
171,19
508,176
1,91.109
La longueur k d’une corde correspondant à un diamètre apparent d’1 seconde d’arc est de :
k d

(180  3600)
 7642185000000 

(180  3600)
 3,7.10 7 m
On peut donc en déduire les rayons R des orbites des satellites de la planète étudiée (on admet
avec une bonne approximation que ces orbites sont circulaires). Nous avons rentré ces valeurs
dans le tableau ci-dessus.
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On peut voir sur cette photographie Jupiter, Io et Europe dans le fond.
1.2 Vérification de la troisième loi de Képler : T²/R3 = constante
On détermine T² et R3 pour chaque satellite en utilisant le logiciel Regressi.
On met ces valeurs calculées dans le tableau ci-dessous :
Satellite
T (s)
x (‘’)
y (‘’)
 (‘’)
R (m)
Io
1,548.105
107,07
-38,55
113,8
4,21.108
Europe
Ganymède
3,09.105
6,04.105
169,43
274,46
-59,53
-99,09
182,685
288,785
6,65.108
1,07.109
Callisto
1,44.106
-478,47
171,19
508,176
1,91.109
On trace la courbe T² = f(R3) et on la modélise par une courbe passant par l’origine. Cette
T²
courbe est une droite, on a donc bien 3  constante, la troisième loi de Képler est vérifiée.
R
La droite passe par l’origine parce que si le rayon de l’orbite d’un satellite est nul, le temps
que met ce satellite pour parcourir son orbite est nul lui aussi.
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Le coefficient directeur p de la droite modélisée est de :
p=3,15 10-16
Il n’était pas nécessaire de calculer le rayon R de l’orbite pour vérifier cette loi, on pouvait la
vérifier à partir des angles α de trajectoire. En effet, si T² est proportionnel à R3, alors T est
aussi proportionnel à α3 car R est α est proportionnel à R.
1.3 Masse de la planète.
On peut dorénavant calculer la masse M de la planète en utilisant la troisième loi de Képler :
M
4 ²
(4. ².R 3 ) (4. ²)
 1,87.10 27


11
(G.T ²)
(G. p) 6,67.10 .3,15.10 16
La masse réelle de cette planète étant de l’ordre de 1027, on a donc une assez bonne
approximation de cette masse.
2. Application de la troisième loi de Képler :période Tmars
et rayon moyen Rmars de l’orbite de Mars.
On étudie avec le logiciel Satel les variations des orbites des satellites de Mars entre le 1er
janvier 1994 et le 31 décembre 2003.
Si on visualise les trajectoires de ces satellites avec un pas assez grand, on remarque que le
diamètre apparent de l’orbite des satellites martiens varie périodiquement au cours du temps.
On détermine avec la meilleure précision les dates pour lesquelles les orbites des satellites
martiens ont le plus grand diamètre apparent, et on rentre les résultats dans le tableau cidessous :
8 février 95
18 mars 97
1 mai 99
13 juin 2001
29 août 2003
On peut en déduire les intervalles de temps au jour près séparant deux maxima consécutifs, on
les rentre dans le tableau suivant :
764
744
805
807
On peut donc en déduire la durée moyenne θ séparant deux maxima consécutifs :
θ = 780 jours
Soient TTerre et TMars les périodes de la Terre et de Mars dans leurs mouvements autour du
Soleil, mouvements que l’on considérera comme circulaires uniformes.
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Sachant que la Terre et Mars ont le même sens de rotation autour du Soleil, on peut donc
montrer que :
TMars =
 .TTerre
  TTerre
Démonstration :
On a :
θ = n TM = (n+1) TT
On a donc :
n=


1
et n 
TM
TT
C'est-à-dire :

TM


TT
1 
1
1 1


TM TT 
On a donc bien :
TM 
  TT
  TT
On peut faire l’application numérique :
TMars =
780  366,25
 690 jours
780  366,25
On peut déterminer en utilisant la 3ème loi de Képler le rayon moyen de l’orbite de Mars :
T ² 4 ²
T ²GM
T ²GM

 R3 
R3
3
GM
4 ²
4 ²
R
Application numérique :
R3
59616000².6,67.10 11.6,4191.10 23
 1,57.10 9 m
4 ²
On peut donc déduire à partir des valeurs de RTerre et RMars le rapport ρ entre les valeurs
maximales et les valeurs minimales des diamètres apparents des orbites des satellites
martiens.
ρ = (RM + RT)/(RM – RT) = 4,82
On détermine expérimentalement ce rapport ρ à l’aide du logiciel Satel :
ρ = αmax/ αmin = 4,05
Ces deux valeurs sont assez semblables, ce qui prouve la validité de nos calculs.
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Photographie de Mars
3. Conclusion
L’utilisation du logiciel Satel nous a permi de voir des applications concrètes des lois de
Képler, et d’en faire des applications directes dans le système solaire. Nous avons vu à quel
point la troisième loi de Képler pouvait être utile car permettant de calculer non seulement des
périodes, mais aussi des rayons d’orbite, des masses de planètes…
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