EQUATIONS DE MAXWELL EN REGIME STATIQUE

EQUATIONS DE MAXWELL EN REGIME STATIQUE
1 Pour s’entraîner :


1.1 Une sphère de rayon A porte une densité volumique de charge électrique (r )  o .1 
1°) Déterminer la charge électrique totale de la sphère
 Q T  o
r
 où  o est une constante.
A
a 3
3
2°) Cette sphère est placée dans le vide. Déterminer la direction du champ électrique créé, ainsi que la variable d’espace dont


dépend sa norme.  E  E(r ).u r


3°) Calculer le champ électrique E et le potentiel V créé si r>A.  E 
1 QT 
1 QT
. 2 ur , V 
.
4o r
4o r
 o  r r 2  

o  r 3


4°) Effectuer le même calcul si r<A.  E 
.  .u r , V(r ) 
.  a 2  r 2  (continuité en r=a)
o  3 4a 
6o  2a

1.2 Un condensateur cylindrique de hauteur H est constitué de deux cylindres conducteurs creux, de rayons respectifs a et b>a.
Celui de rayon a est maintenu à un potentiel constant U, celui de rayon b à un potentiel nul.
On raisonnera en négligeant les effets de bord, c’est à dire en travaillant comme si les cylindres avaient une hauteur H infinie.

1°) Déterminer la direction du champ électrique E créé, ainsi que la variable d’espace dont dépend V.
On note ‘Q’ la charge inconnue portée par l’armature de rayon a, et ‘-Q’ celle portée par l’autre. Etablir l’expression du champ
créé par cette distribution en tout point de l’espace. En déduire l’expression du potentiel créé pour a  r  b . En notant que
U=V(a)-V(b), en déduire les expressions du champ électrique et du potentiel en fonction de U et r.

E
   
U 1
U
. .u r , V 
. ln b .
r
b
b
r
ln
ln
a
a
 
1.3 Un dipôle électrostatique est constitué de deux porteurs de charges fixes dans le référentiel d’étude, de charges électriques
opposées -q et q , placées en (-d,0,0) et (d,0,0) dans un repère cartésien. On s’intéresse au potentiel et champ électrique créés en
M, à grande distance (OM>>2d) des charges.
1°) Montrer qu’une étude dans le plan contenant M et les deux charges (-q au point N, q en P) est suffisante.
2°) Ecrire l’expression du potentiel créé en M par les deux charges. Utilisez le fait que OM>>NP pour donner une expression

p. cos()
p.r

simplifiée de V(M) en fonction de r=OM et , en coordonnées cylindro-polaires.  V( r ) 
4o .r 2 4o .r 3
  

1  3p.r r p  
3°) En déduire le champ électrique créé en M. Montrer qu’il peut s’écrire E 
.
 3  où r  OM .
4o  r 5
r 
 en formant le gradient du potentiel, avec grad (a.b)  a.grad (b)  b.grad (a ) .
Uo
2 Diode à vide:
Soit une diode constituée de deux électrodes planes, parallèles, distantes de L dans le vide.
La cathode, chauffée, est maintenue à un potentiel U=0, et l'anode à Uo>0.
La cathode émet des électrons (masse m, charge -e) par effet thermoélectronique, de vitesse 0
négligeable, qui sont ensuite accélérés par le champ électrique.
On étudie le régime permanent, dans lequel x est la seule variable, en notant I le courant électrique
circulant entre les armatures de section S. On négligera les effets de bord.
I
x
0
2.1 En considérant l'énergie d'un électron, établir une relation entre la vitesse de l'électron en x et le potentiel U(x).
2.2 Montrer que le courant est uniforme dans la diode et en déduire une relation entre la densité volumique de charge
courant I; rappeler la relation liant ( x) à U(x).
2.3 Etablir l'équation vérifiée par U(x).
b
 x
2.4 On en cherche une solution de la forme U( x)  a.   où a et b sont des constantes. Déterminer leurs valeurs.
 L
2.5 Montrer que le courant I s'écrit
I  K. U 3o/ 2 . La loi d'Ohm est-elle vérifiée? Quel impératif a fait défaut ?
L
( x) et le
3 Résistance électrique d’une prise de terre :
Une prise de terre protège de l’électrocution en dérivant les courants de fuite vers la terre. Elle doit présenter une résistance
électrique inférieure à une valeur normalisée.
Elle est modélisée par deux hémisphères métalliques, le (1) de rayon R 1 (celui relié à l’élément
z
que l’on veut protéger) et le (2) de rayon R2 > R1 (qui représente le sol) .
L’hémisphère (1) est au potentiel U constant, le (2) au potentiel 0.
0
Entre les hémisphères, le matériau constituant le sol a une permittivité diélectrique
semblable à celle du vide (le champ électrique s’y calcule comme dans le vide)
et une conductivité électrique .
La surface libre du sol est située en z=0 : elle délimite les hémisphères.
On néglige les effets de bord, c’est à dire que les propriétés de symétrie et d’invariance sont
supposées les mêmes que si les sphères étaient complètes.
3.1 Déterminer le champ électrostatique entre les sphères.
3.2 En déduire l’intensité du courant électrique circulant de la sphère de (1) vers (2). En déduire la résistance électrique de cette
prise de terre.
4 Effet Hall:
Un cylindre conducteur de rayon a, de conductivité  , est parcouru par un courant uniforme I. Il est placé dans un champ

B

magnétique uniforme B orthogonal à son axe de symétrie de révolution.
On notera n la densité de porteurs de charge libres, et q la valeur de cette charge.
4.1 Justifier l'introduction pour un milieu matériel d'une force modélisant les interactions

m
avec le réseau. Elle est du type f   v , où m est la masse de la particule chargée

et  un temps caractéristique du milieu.
A
C
I
4.2 Montrer que, après un régime transitoire, se produit une accumulation de charges générant un champ appelé champ de Hall
dont on donnera l'expression.
4.3 Déterminer la différence de potentiel entre les points A et C, situés aux extrémités d'un diamètre orthogonal au champ
magnétique. Quelle peut être l'utilité de ce dispositif?
5 Champ magnétique créé par une spire:
On considère une spire polygonale, composée de n cotés égaux de longueur a. On veut calculer le champ magnétique créé en O,
centre de la spire, situé à distance R du milieu de chaque coté.
1.1
1.2
1.3
1.4
Calculer le champ magnétique créé par un coté de la spire.
Calculer la contribution du champ total de ce coté.
En déduire l'expression du champ total.
Calculer le champ magnétique qui serait créé en O si la spire était circulaire de rayon R.
I
Que devient le résultat 5.3 si on fait tendre n vers l'infini? Justifier l'expression obtenue.
6 Effet d’un champ magnétique extérieur sur un supraconducteur:
On considère un matériau supraconducteur, c'est à dire de conductivité électrique infinie, contenu entre les plans x=-a et x=a.


Ce matériau est caractérisé par la relation entre densité de courant et potentiel vecteur j  . A avec  constante positive.


B  Bo . u z uniforme à l'extérieur du matériau : il s’en suit un champ du




type B  B( x). u z ainsi que l’apparition de courants de densité volumique j  j( x). u y à l'intérieur du matériau
Une source extérieure impose un champ magnétique
supraconducteur.
6.1 Etablir l'équation vérifiée par B(x) puis la résoudre. Tracer l'allure de B(x) .
6.2 Etablir l'expression de j(x). Ces courants sont responsables de l’annulation du champ magnétique dans le matériau. De plus,
l’action du champ magnétique sur ces courants (par la force de Laplace) permet la sustentation du matériau…