Problème_ Etude d`un haut parleur

TRAVAUX DIRIGES DE PHYSIQUE
HAUT-PARLEUR
ELECTRODYNAMIQUE
Induction magnétique
Filière SP
D’après Banque d’épreuves Archimède :concours 98 ; Option PC
Données numériques utiles:
Champ magnétique B = 0,8 T ; rayon de la bobine a = 5 mm ; nombre de spires N= 160 ; raideur du ressort k=1425 N.m-1 ;
coefficient de frottement h = 0,28 N.s.m-1 ; masse de l'équipage mobile m = 100 mg ; résistance de la bobine R=630Ω ;
inductance de la bobine L = 1 mH ; célérité du son c= 340 m.s-1 ; rayon de la membrane ρ=1,6 cm.
Un haut-parleur est constitué d'une bobine plate (b) d'axe z'z (de résistance R, d'inductance L,
comportant N spires de rayon a) solidaire d'une membrane pouvant se déplacer parallèlement à elle-même,
suivant la direction z'z normale à son plan. L'équipage mobile (bobine + membrane) a pour masse totale m.
Lorsque la bobine s'écarte de sa position d'équilibre d'un écart algébrique z. elle est rappelée par une force
élastique due à un ressort de raideur k. De plus, l'air produit sur la membrane une force de frottement
visqueux, proportionnelle à sa vitesse de déplacement, qui peut s'écrire: f = − hv (h > 0).
La bobine est placée dans un champ magnétique uniforme B radial, normal à z'z, créé par un
aimant permanent (A). (voir figure 1.)
1) Analyse préliminaire
1*a. Expliquer pourquoi un mouvement de la membrane crée dans la bobine une force électromotrice
d'induction et comment une différence de potentiel de même fréquence que le mouvement apparaît aux
bornes de (b). Quel rôle ce dispositif peut-il jouer ?
1*b. On applique aux bornes de (b) une tension sinusoïdale. Montrer que cette tension va engendrer un
mouvement de la bobine. Qu'advient-il des masses d'air voisines de la membrane ? Quel est alors le rôle du
dispositif ?
2) Etude du dispositif mobile: bobine - membrane
On applique aux bornes de (b) une tension variable u(t); la bobine est alors traversée par un courant
d'intensité i(t) et la membrane se déplace avec la vitesse instantanée v(t).
2*a. Exprimer la force de Laplace à laquelle la bobine est soumise. (on désignera par l la longueur totale du
bobinage de (b) )
2*b. Déterminer la force électromotrice élémentaire, de, induite par le déplacement dzu z d'un élément
( adθ uθ ) de bobine dans le champ Bu r . Etendre le résultat à la bobine tout entière.
2*c. Ecrire le théorème de la résultante cinétique pour l'équipage mobile (éq. M), d'une part, puis l'équation
électrique relative au haut-parleur (éq. E), d'autre part.
La tension appliquée étant sinusoïdale, de fréquence f, on pourra écrire u (t ) = U m cos(ωt ) , avec
ω = 2π f .
2*d. Ecrire les deux relations (M') et (E') liant les expressions complexes u(t) , i(t) et v(t) associées
respectivement à u(t), i(t) et v(t). On rappelle qu'à toute fonction sinusoïdale du type a = Am cos(ωt + ϕ ) , on
peut associer le nombre complexe a = Am e j (ωt +ϕ ) .
2*e. Eliminer la vitesse v(t) entre les équations (M') et (E') pour faire apparaître une relation entre u (t) et
i(t)
2*f. Montrer que l'impédance totale du dispositif est la somme de deux contributions:
Z (ω ) = Z e (ω ) + Z m (ω ) , avec Z m (ω ) = R(ω ) + jS (ω ) . On qualifie ces deux termes respectivement
d'impédance propre et d'impédance motionnelle; analyser pourquoi.
2*g. Donner l'expression de Z e (ω ) , puis celles de R (ω ) et S (ω ) .
2*h. Montrer que l'impédance motionnelle Z m (ω ) correspond à l'association d'éléments comme Rm, Lm et
Cm dont on précisera la nature. Illustrer en représentant le schéma électrique équivalent de l'impédance
Z (ω ) .
2*i. Tracer sommairement les variations de R (ω ) et S (ω ) en fonction de ω. Donner un équivalent de
Z m (ω ) pour ω → 0, ω → ∞ et pour ω 0 tel que ω 02 = k / m .
Montrer que, lorsque la pulsation varie de zéro à l'infini, le point M(ω) du plan complexe, d'affixe
Z m (ω ) décrit un cercle (passant par les trois points déterminés ci-dessus) dont on déterminera le centre et le
rayon. Illustrer à l'aide d'un schéma.
Pour quelle pulsation le module de l'impédance Z m (ω ) est-il maximal ? Calculer Z m max .
2*j. Rechercher les pulsations ω1 et ω2 telles que Z m soit égal à
1
Zm
2
max
.Que peut-on
dire de R (ω ) et de S (ω ) pour ces valeurs ? Calculer ω1 et ω2. Comment appelle-t-on le rapport
ω0
?
ω 2 − ω1
L'exprimer et le calculer à l'aide des données numériques.
2*k. Etudier et tracer l'évolution du point N(ω) du plan complexe, d'affixe Z e (ω ) , lorsque ω varie. Limiter
le tracé, sachant que l'on s'intéresse à la gamme de fréquences 300 - 3400 Hz, correspondant aux
fréquences vocales.
2*l. Placer sur les graphes relatifs à Z m (ω ) et Z e (ω ) les points correspondant aux pulsations:
ω0, ω1, ω2 et ω 3 = 2.10 4 rad / s (dont on précisera le sens).
2*m. Donner l'allure du graphe relatif au point d'affixe Z (ω ) = Z e (ω ) + Z m (ω ) (on tiendra compte de la
limitation en fréquence introduite ci-dessus), puis tracer la variation du module de Z (ω ) en fonction de ω.
Conclure.
3) Bande passante acoustique
Par analogie avec une résistance électrique, on peut introduire une résistance acoustique Ra définie à
partir de la puissance acoustique Pa par la relation:
1
*
Pa = R a v 2 = R a (v.v ) , v désignant la vitesse de déplacement du système bobine-membrane.
2
3*a. En utilisant les relations (M') et (E'), établir le rapport v(t) / u(t) . Pour simplifier cette expression, on
envisage de négliger le terme Lω; est-ce légitime ? Sachant que la tension d'alimentation de la bobine a
toujours une amplitude constante Um et une pulsation variable ω, écrire l'expression de v(ω).
3*b. Déterminer la quantité: v 2 =
1
(v.v * ) en fonction de la pulsation ω.
2
3*c. On se propose d'étudier la variation de log <v²> en fonction de log ω (comparable au diagramme de
Bode en amplitude, avec diagramme asymptotique puis tracé réel). Evaluer les équivalents de <v²> pour
ω → 0 et ω → ∞ ; déterminer les asymptotes, leurs pentes ainsi que leur point d'intersection, puis réaliser
le tracé.
La résistance acoustique Ra dépend du rayon de courbure ρ de la membrane. En désignant par c la
célérité du son dans l'air, on peut montrer que:
* si ω<c/ρ = ωc, Ra est proportionnelle à ω²,
* si ω > c/ρ, Ra demeure sensiblement constante.
3*d. Etudier puis tracer le diagramme du type log (Ra) en fonction de log ω; préciser la pente des
asymptotes.
3*e. En déduire le diagramme relatif à la puissance Pa, traduisant la variation de logPa en fonction de logω.
Analyser le tracé; montrer que cette puissance demeure pratiquement constante dans une gamme de
pulsation (ou de fréquence) que l'on précisera. Conclure quant à la possibilité d'utiliser un tel haut-parleur
sur une ligne téléphonique.
|
Corrigé
1) Analyse préliminaire
1*a. On est en présence d’un circuit électrique mobile dans un champ magnétique stationnaire. Il apparaît
donc une f.e.m d’induction e = ∫ v ∧ B ⋅ dl . Si v correspond à un mouvement sinusoïdal de fréquence ν ,
Γ
(
)
il apparaît une f.e.m d’induction de même fréquence et donc une d.d.p. de même fréquence aux bornes de
la bobine.
Le cas considéré ici correspond à une conversion d’énergie mécanique en énergie électrique : on a affaire à
un microphone.
1*b. On est en présence d’un conducteur parcouru par un courant plongé dans un champ magnétique. Ce
conducteur est donc soumis à une force de Laplace qui va mettre en mouvement la bobine et la membrane
qui lui est solidaire et cette dernière met en mouvement les masses d’air qui lui sont voisines. On a
maintenant affaire à un haut-parleur.
2) Etude du dispositif mobile: bobine - membrane
2*a. La force élémentaire de Laplace est df = idl ∧ B = idluθ ∧ Bur = − iBdluz ; d’où f = − iBlu z avec
l’orientation du schéma ci-dessous :
(
)
 dz 
dz
2*b. La f.e.m élémentaire est de = v ∧ B ⋅ dl =  uz ∧ Bur  ⋅ adθuθ d’où d e =
Ba d θ . Soit pour la
 dt

dt
bobine tout entière e = vBa 2πN i.e. e = vBl
dv
= − ilBuz − kzuz − hv (éq. M)
2*c. Le théorème de la résultante cinétique pour l’équipage mobile est : m
dt
L’équation électrique est, compte tenu du schéma électrique équivalent : u = L
di
+ Ri − vlB (éq. E)
dt
2*d. Puisque u , i et v sont des fonctions sinusoïdales de pulsation ω , les équations (M) et (E)
deviennent :
k
jmω v = − lBi −
v − hv (éq. M’) et
u = jLω i + Ri − lBv (éq. E’)
jω




2 2
l B
− lB

i
2*e. À l’aide de l’équation (M’) on obtient v =
i d’où u = jLω + R +
k
k


jmω +
+ h
jmω +
+h

jω


jω
2*f. D’après l’équation précédente on peut faire apparaître les deux contributions suivantes :
• Ze ( ω ) = jLω + R qui ne contient que des termes relatifs au circuit électrique d’où le nom
d’impédance propre.
2
2
2
k

l 2 B 2  mω − 

ω
2
l B
l B h
=
2 − j
2 qui ne dépend que des
k
k
k



2
jmω +
+ h h 2 +  mω − 
h +  mω − 
jω


ω
ω
• Zm (ω ) =
caractéristiques mécanique du système d’où le nom d’impédance motionnelle.
2*g. On a donc
Ze ( ω ) = jLω + R et
2
2
l B h
R( ω ) =
k

h +  mω − 

ω
2
et S ( ω ) = −
k

l 2 B 2  mw − 

ω
k

h +  mω − 

ω
2
2
2
2*h. On peut écrire Z m ( ω ) sous la forme :
m
1
= j 2 2 ω+
Zm
l B
soit trois éléments en parallèles
1
1
1
1
+ 2 2 = jCmω +
+
2
l B
l B
jLmω Rm
j
ω
k
h
2 2
l B
m
l 2 B2
Rm =
Cm = 2 2
Lm =
.
h
k
l B
2
Le schéma électrique équivalent est le suivant :
2*i. La dérivée de R(ω ) s’ecrit
l 2 B 2h
k 
k 

2
m
−
m
+
ω

 et donc R' ( ω ) est


2
ω 
2 2 
ω

 2 
 h +  mω − k  

ω  


k
d’où le graphe de R( ω )
ω
60
50
40
R(ω) (Ω)
du signe de − mω +
R' (ω ) = −
30
20
10
0
0
50
100
ω
150
−1
ω (rad.s )
0
200
250
300
2
k  2 
k 

l B  m + 2   h −  mω −  


ω 
ω 
2
Pour S ( ω ) la dérivée s’écrit :
S ' (ω) = −
2
2
 2 
k 
 h +  mω −  

ω 

2
et donc S' ( ω ) est du signe de
k
− h + h 2 + 4km
+ h + h 2 + 4km

− h +  mω −  . On a deux racines réelles positives ω1 =
et ω 2 =

ω
2m
2m
d’où le graphe de S ( ω ) :
2
2
30
20
S(ω) (Ω)
10
0
−10
−20
−30
0
50
100
ω0
150
ω (rad.s−1)
200
250
300
D’autre part on a :
l 2 B 2ω
• Zm ~ j
pour ω → 0
k
•
l 2 B2
• Zm ~ − j
pour ω → ∞
mω
•
l 2 B2
Z
ω
=
= Rm
•
m( 0 )
h
d’après les résultats précédents montrons que l’affixe M ( ω ) de Z m décrit un cercle de rayon Rm / 2 et de
centre ( Rm / 2;0) :
2
2
2




1
k
k 



4 4
2
 h +  mω −    +  mω −  
l B  h −


2
h
ω 
ω   l 4 B4



2
2


2
=
( R( ω ) − Rm / 2) + S ( ω ) =
2 = ( Rm / 2) c.q.f.d.
2 2
4h
 2 
k 
 h +  mω −  

ω 

30
ω
1
20
S(ω) (Ω)
10
ω
ω→ 0
0
ω ω→ ∞
3
o
−10
−20
ω
2
−30
0
20
40
R(ω) (Ω)
60
D’après le schéma le module de Z m est maximal en ω = ω 0 et Z m
2*j. Le module de Z m vaut
max
= Rm
1
Z
pour les 2 points M ( ω ) qui ont pour abscisse Rm / 2 (on a alors un
2 m max
triangle rectangle isocèle d’hypothénuse Z m
max
), i.e. quand S ( ω ) est extrémal et donc pour les deux
valeurs ω1 et ω 2 de ω définit au 2.i i.e.
− h + h 2 + 4 km
ω1 =
2m
et
+ h + h 2 + 4 km
ω2 =
.
2m
On a alors :
ω0
=
ω 2 − ω1
km
qui correspond au facteur de qualité du filtre.
h
A.N.
ω0
= 42,6
ω 2 − ω1
2*k. Comme Ze ( ω ) = R + jLω , son affixe N ( ω ) décrit une demi-droite parallèle à l’axe des ordonnées,
d’où le graphe ci-dessous pour les fréquences 300-3400 Hz.
25
ω3
15
e
Im(Z ) (Ω)
20
10
5
ω ,ω ,ω
0
0
0
100
200
300
400
Re(Ze) (Ω)
500
600
1
2
700
2*l. D’après les valeurs numériques on a :
• ω 0 = 119,4 rad.s −1
• ω1 = 118,0 rad.s −1
• ω 2 = 120,8rad.s −1
2*m. Compte tenu de l’intervalle de fréquence 300-3400 Hz la contribution de l’impédance motionnelle à
l’impédance totale est négligeable, on a Z ≈ Ze d’où le graphe :
25
Im(Z) (Ω)
20
15
10
5
0
0
100
200
300
400
Re(Z) (Ω)
500
600
700
De plus dans cet intervalle de fréquence R >> Lω d’où Z ≈ R et le graphe ci-dessous :
700
600
|Z(ω)| (Ω)
500
400
300
200
100
0
0
0.5
1
1.5
−1
ω (rad.s )
2
2.5
4
x 10
L’impédance est constante et égale à R dans la gamme des fréquences vocales.
3) Bande passante acoustique
3*a. Après élimination de i( t ) entre les équations (M’) et (E’) on obtient :
v( t )
u( t )
=−
lB

( jLω + R) jmω +

k
+ h + l 2 B 2
jω

Pour les fréquences vocales d’après le graphe de Ze on constate bien que R >> Lω . Il vient que :
v( t ) = −
lBU m
k

hR + l 2 B 2 + jR mω − 

ω
v2 =
3*b.
3*c. On en déduit que log v
2
l 2 B 2U m2
2

k 
2 2 2
2
2( hR + l B ) + R  mω −  

ω 

2

l 2 B 2U m2
k 
2 2 2
2
= log
− log ( hR + l B ) + R  mω −   .

2
ω 

• Quand ω 
→ 0 le terme dominant est celui en
l 2 B 2U m2
k
d’où log v 2 ≈ log
+ 2 log ω d’où une
ω
2 R2 k 2
pente de +2 unités par décade.
• Quand ω 
→ ∞ le terme dominant est celui en mω d’où log v
2
l 2 B 2U m2
≈ log
− 2 log ω d’où
2 R 2 m2
une pente de -2 unités par décade.
l 2 B 2U m2
Les asymptotes se coupent alors au point d’abscisse ω 0 et d’ordonnée log
2 R 2 mk
On a alors le graphe suivant :
−4
10
−6
10
Log<v2>
−8
10
−10
10
−12
10
−14
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
Log(ω)
3
10
4
5
10
10
3*d. Pour Ra on a :
• log Ra = A + 2 log ω si ω < ω c
• log Ra = B si ω > ω c
d’où le graphe :
0
10
−2
10
−4
Log R
a
10
−6
10
−8
10
−10
10
−12
10
−1
0
10
1
10
10
2
10
Log(ω)
3
10
4
5
10
10
3*e. On a log Pa = log Ra + log v 2 . On a donc compte tenu du fait que ω c > ω 0 :
• si ω < ω 0 , log Ra et log v 2 ont une pente de 2 unités par décade d’où une pente de +4 unités par
décade pour log Pa .
• si ω 0 < ω < ω c , log Ra a une pente de -2 unités par décade et log v 2 une pente de +2 unités par
décade d’où une pente nulle pour log Pa .
• si ω > ω c , log Ra a une pente de -2 unités par décade et log v 2 une pente nulle d’où une pente
de -2 unités par décade pour log Pa .
D’où le graphe de log Pa :
−5
10
−10
Log P
a
10
−15
10
−20
10
−25
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
Log(ω)
3
10
4
10
5
10
On constate donc que pour ω 0 < ω < ω c la puissance acoustique est constante en fonction de la fréquence.
C’est dans cette gamme de fréquence qu’il faudra utiliser le haut-parleur. Numériquement ceci correspond
à l’intervalle 70-3300 Hz c’est-à-dire les fréquences vocales. On peut l’utiliser comme haut-parleur sur une
ligne téléphonique.