TD: Haut-parleur

TD: Haut-parleur
1 Position du problème
Archimède. PC. 1998
Un haut-parleur est constitué d’une bobine plate (b) d’axe z 0 z (de résistance R, d’inductance L, comportant
N spires de rayon a) solidaire d’une membrane pouvant se déplacer parallèlement à elle-même, suivant la
direction z 0 z normale à son plan. L’équipage mobile (bobine + membrane) a pour masse totale m. Lorsque la
bobine s’écarte de sa position d’équilibre d’un écart algébrique z, elle est rappelée par une force élastique due à
un ressort de raideur k. De plus, l’air produit sur la membrane une force de frottement visqueux, proportionnelle
à sa vitesse de déplacement, qui peut s’écrire: f~ = −h.~v (avec h > 0).
x
La bobine est placée dans un champ magnétique uniforme B radial, normal à z 0 z, créé par un aimant
permanent (A).
Pièces mécaniques: 1. saladier; 2. suspension externe; 3. membrane+cache poussière; 4. spider
Pièces du moteur: 5. bobine mobile; 6. noyau; 7. aimant permanent (A); 8. entrefer; 9. plaque de champ
bobine
S
S
B
m
B
S
u
k
N
bobinage
B
N
dl
ur
B
membrane
Étude du dispositif mobile: bobine - membrane
On applique aux bornes de (b) une tension variable u(t); la bobine est alors traversée par un courant
d’intensité i(t) et la membrane se déplace avec la vitesse instantanée v(t).
1. Étude du haut-parleur
a. Exprimer la force de Laplace à laquelle la bobine est soumise. (On désignera par ` la longueur totale
du bobinage de (b) )
b. Déterminer la force électromotrice élémentaire, de, induite par le déplacement dz.~uz d’un élément
(a.dθ.~uθ ) de bobine dans le champ B.~ur . Étendre le résultat à la bobine tout entière.
c. Écrire le théorème de la résultante cinétique pour l’équipage mobile (éq. M), d’une part, puis l’équation
électrique relative au haut-parleur lorsqu’on applique une tension u(t) (éq. E), d’autre part.
La tension appliquée étant sinusoı̈dale, de fréquence f , on pourra écrire u(t) = Um . cos(ω.t), avec ω = 2.π.f .
d. Écrire les deux relations (M’) et (E’) liant les expressions complexes ũ(t) ,ı̃(t) et ṽ(t) associées respectivement à u(t), i(t) et v(t).
e. Éliminer la vitesse ṽ(t) entre les équations (M’) et (E’) pour faire apparaı̂tre une relation entre ũ(t) et
ı̃(t)
f. L’impédance totale du dispositif est la somme de deux contributions: Z̃(ω) = Z̃e (ω) + Z̃m (ω). On
qualifie ces deux termes respectivement d’impédance propre et d’impédance motionnelle. Montrer que
l’impédance motionnelle Z̃m (ω) correspond à l’association d’éléments comme Rm , Lm et Cm dont on
précisera la nature. Illustrer en représentant le schéma électrique équivalent de l’impédance Z̃(ω).
2. Étude du diagramme de Nyquist et de Bode.
1
ISEN-Brest. Kany.
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a. On met Zm (ω) sous la forme R(ω) + j.S(ω). Tracer numériquement les fonctions R(ω) et S(ω).
b. Vérifier que, lorsque la pulsation varie de zéro à l’infini, le point M (ω) du plan complexe, d’affixe
Z̃m (ω) décrit un cercle (passant par les trois points déterminés ci-dessus).
c. Pour quelle pulsation le module de l’impédance Z̃m (ω) est-il maximal ? Calculer ||Z̃m (ω)||max .
d. Rechercher les pulsations ω1 et ω2 telles que ||Z̃m (ω)|| soit égal à √12 .||Z̃m (ω)||max . Calculer le facteur
0
.
de qualité: ω2ω−ω
1
3. Bande passante acoustique.
Par analogie avec une résistance électrique, on peut introduire une résistance acoustique Ra définie à partir
de la puissance acoustique Pa par la relation: Pa = Ra .hv 2 i = 12 .Ra .(v.v ∗ ), v désignant la vitesse de
déplacement du système bobine-membrane.
ṽ(t)
(on négligera le terme L.ω). Sachant
a. En utilisant les relations (M’) et (E’), établir le rapport ũ(t)
que la tension d’alimentation de la bobine a toujours une amplitude constante Um et une pulsation
variable ω, écrire l’expression de ṽ(ω).
b. Déterminer la quantité: hv 2 i = 21 .(v.v ∗ ) en fonction de la pulsation ω.
c. Étudier la variation de loghv 2 i en fonction de log ω (comparable au diagramme de Bode).
La résistance acoustique Ra dépend du rayon de courbure ρ de la membrane. En désignant par c la célérité
du son dans l’air, on peut montrer que:
* si ω < ρc = ωc , Ra est proportionnelle à ω 2 ,
* si ω > ρc , Ra demeure sensiblement constante.
d. Tracer le diagramme du type log(Ra ) en fonction de log ω.
e. En déduire le diagramme relatif à la puissance Pa , traduisant la variation de log Pa en fonction de
log ω. Montrer que cette puissance demeure pratiquement constante dans une gamme de pulsation (ou
de fréquence) que l’on précisera.
Données numériques:
Champ magnétique B = 0, 8 T
Rayon de la bobine a = 5 mm
Nombre de spires N = 160
Raideur du ressort k = 1425 N.m−1
Coefficient de frottement h = 0, 28 N.s.m−1
Masse de l’équipage mobile m = 100 mg
Résistance de la bobine R = 630 Ω
Inductance de la bobine L = 1 mH
Célérité du son c = 340 m.s−1
Rayon de la membrane ρ = 1, 6 cm
Solution
x
R →
−
~
a. F
B = −I.`.B.~uz
R = I.d` ∧ dz
dz
b. de.I = −F. dt = +I.`.B. dz
dt ⇒ e = +`.B. dt
→
−
dz
(ou bien en écrivant: de = (~v ∧ B).d` = dz
dt .B.a.dθ ⇒ e = dt .B.`).
2
c. D’après le principe fondamental de la dynamique, on a: m. ddt2z = −k.z − I.`.B − h. dz
dt
2
h dz
k
⇒ ddt2z + m
. dt + m
.z = − I.`.B
(M)
m
dI
dz
D’après la loi des mailles: u(t) + einduit = R.I + L. dI
dt ⇒ L. dt + R.I − `.B. dt = u (E)
˜
h
k
d. Pour l’équation mécanique, on a: (−ω 2 + j.ω. m
+m
).z̃ = − I.`.B
m
˜
h
k
ou bien: (j.ω + m
+ m.j.ω
).ṽ = − I.`.B
(M’)
m
Pour l’équation électrique, on a: (j.ω.L + R).I˜ = ũ + `.B.ṽ (E’)
x
1.
˜
I.`.B
e. ṽ = − j.ω.m+h+
k
j.ω
d’après (M’)
On peut réécrire (j.ω.L + R).I˜ = ũ + `.B.ṽ sous la forme:
2
j.ω.L + R +
`2 .B 2
k
j.ω.m+h+ j.ω
.I˜ = ũ.
ISEN-Brest. Kany.
⇒ ũ = j.ω.L + R +
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j.ω.
m
`2 .B 2
h
`2 .B 2
+
+
k
j.ω.`2 .B 2
˜
.I.
h
k
1
1
1
f. Z̃e = R + j.ω.L et Z̃1 = j.ω. `2m
.B 2 + `2 .B 2 + j.ω.`2 .B 2 = ZCm + Rm + ZLm représente l’association
m
d’une résistance Rm , d’une inductance Lm et d’une capacité Cm en parallèle.
2
2
`2 .B 2
On pose: Rm = ` .B
et Cm = `2m
h ; Lm =
k
.B 2
˜
h
k
a. D’après (M’): (j.ω + m + m.j.ω ).ṽ = − I.`.B
m
D’après (E’): (j.ω.L + R).I˜ = ũ + `.B.ṽ
˜ on a: ṽ.(j.ω + h + k ) = − `.B . ũ+`.B.ṽ
En éliminant I,
m
m R+ j.L.ω
h
i m.j.ω
h
k
`2 .B 2
`.B
⇒ ṽ. (j.ω + m + m.j.ω ).R + m
= − m .ũ
3.
j.ω.t
`.B
m .Um .e
2 .B 2
k
h
(j.ω+ m + m.j.ω ).R+ ` m
⇒ ṽ = − 2
1
`.B
2 . m .Um
2
2
h
.B
R.k 2
(m
.R+ ` m
)2 +(R.ω− m.ω
)
(
b. hv 2 i = )
=
2
1
2 .(`.B.Um )
2
[(h.R+`2 .B 2 )2 +(R.m.ω− R.k
ω ) ]
2 Code avec Python
# -*- coding: utf-8 -*import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.optimize
Partie réelle
60
Partie imaginaire
30
50
20
20
40
10
10
30
0
0
20
10
10
10
20
20
00
5000
10000
15000
20000
25000
300
30000
5
5000
10000
15000
Nyquist
30
20000
25000
300
30000
0
10
5
20
10
20
30
40
50
60
15
10
25
log Pa
log Ra
­
log v2
®
15
10
20
30
35
15
25
40
45
300
1
2
3
4
log ω
5
6
7
8
200
1
2
3
4
log ω
5
6
3
7
8
500
1
2
3
4
log ω
5
6
7
8