S1 Devoir surveillé n°5 de mathématiques 02/05/11 Nom : Exercice 1 (3 points) Soit a et b deux nombres réels. Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, justifier à l’aide d’une propriété du cours, ou, si elle fausse, à l’aide d’un contre-exemple. a) Si a b alors a2 b2 ; b) Si a ≤ 2 alors a2 ≤ 4 ; c) Si a b 0 alors a2 b2 d) Si a < 0 < b alors Error! > Error! Exercice 2 ( 2 points) Démontrer que la fonction inverse est décroissante sur ] – ; 0[. Exercice 3 (5 points) 1) 2) 3) 4) 5) Représenter dans le repère précédent la courbe représentative de la fonction carré f : x Error! x2. Dresser le tableau de variations de la fonction carré. Représenter dans le repère précédent la droite représentative de la fonction affine g : x Error! 2x + 3. Déterminer graphiquement les valeurs de x telles que f (x) < g (x). a/ Vérifier que pour tout réel x, on a : f (x) – g (x) = (x – 3)(x + 1). b/ Dresser le tableau de signe de l’expression : (x – 3)(x + 1). c/ En déduire les solutions de l’inéquation f (x) < g (x). Exercice 4 (2 points) On cherche à déterminer l'ensemble des réels x pour lesquels 0 < Error! 3. (a) Résoudre l'inéquation Error! > 0. (b) Résoudre l'inéquation Error! 3. (c) Conclure. Exercice 5 : ( 4 points ) 1. Déterminer graphiquement (on ne demande pas de justification) les équations réduites des droites D1, D2, D3, D4, D5, D6 représentées dans le repère orthonormé ci-dessous. 2. La droite D7 passe par les points A (1 ; – 6) et B (6 ; – 7). (a) Déterminer par calcul (en rappelant la formule utilisée) le coefficient directeur de D7. (b) Calculer l’ordonnée à l’origine de D7 et en déduire l’équation réduite de D7. Exercice 6 : ( 4 points ) 1) On considère la droite d de coefficient directeur 1 passant par le point A(2 ; 4). 2 a- Tracer la droite d. b- Déterminer par le calcul une équation de la droite d. c- La droite (CD) où C(2 ; - 2) et D(- 8 ; 2) est-elle parallèle à la droite d ? Justifier. 2) a- La droite d coupe l’axe des ordonnées au point S. Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point S. b- La droite d coupe l’axe des abscisses au point T. Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point T. 3) y = 5 x + 12 est une équation de la droite . 3 Le point B(8 ; - 1,5) appartient-il à la droite ? Justifier. Correction du DS Ex.2 : a) La fonction affine f est strictement croissante sur IR, car son 2 coefficient directeur est positif. 3 2 2 3 b) f(x) = 0 x–2=0 x = 2 x = 2 x=3 3 3 2 2) b) Soit d la droite de coefficient directeur 1 . Son équation est donc du 2 1 x + b. 2 Le point A (2 ; 4) appartient à la droite d, donc ses coordonnées vérifient l’équation : 1 1 4 = 2 + b 4 = -1 + b 4 + 1 = b b = 5. Conclusion : d : y = x + 5. 2 2 2 - (- 2) 4 - 0,4 . Et - 0,4 0,5. c) Calculons le coefficient directeur de la droite (CD) : a = - 8 - 2 - 10 Les droites (CD) et d n’ont pas le même coefficient directeur. Elles ne sont donc pas parallèles. type y = 1 x + 5 donc son ordonnée à l’origine est 5. Ainsi, Le point S a pour coordonnées (0 ; 5). 2 b) L’antécédent de 0 par f est 3 d’après la question 1b). Ainsi, le point T a pour coordonnées (3 ; 0). 3) a) d : y = 4) a) Les points S et T n’ont pas la même abscisse, donc la droite (ST) possède un coefficient directeur : y yS 0 5 - 5 a= T La droite étant parallèle à (ST), elle a donc le même coefficient x T xS 3 0 3 -5 directeur. Donc y = x + b. Or, le point I(6 ; 2) appartient à la droite : 3 -5 -5 2= × 6 + b 2 10 = b b = 12. Ainsi, : y = x + 12. 3 3 40 36 4 -5 b) ×8 + 12 = - 1,3. 3 3 3 3 Le point B(8 ; - 1,5) n’appartient donc pas à la droite