I. comparaison avec le mouvement rectiligne

LE MOUVEMENT CIRCULAIRE
Le mouvement est décrit par une variation de position angulaire que l’on nomme θ.
Cette variation par rapport au temps représente la vitesse angulaire que l’on nomme ω.
Le taux de variation de la vitesse angulaire par rapport au temps donne l’accélération
angulaire α.
I. COMPARAISON AVEC LE MOUVEMENT RECTILIGNE
Si on prend un point situé à une certaine distance de l’axe de rotation, ce point se
retrouvera à la position x = r . θ
x
x
θ
x’
x’
dx
et que x = r . θ
On a vu que v =
dt
r.dθ
donc v =
dt
donc v = r . ω
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Tous les points autour du corps auront la même vitesse. Dans un mouvement angulaire, la
vitesse v est la vitesse tangentielle et dépend de la vitesse par rapport au centre de rotation.
ac
v
0 Δθ
ac
v
Vitesse angulaire instantanée :
dθ
ω =
dt
Vitesse angulaire moyenne :
Δθ
ω =
Δt
Si la vitesse angulaire d’un corps varie, cela veut dire qu’il y a une accélération angulaire.
Accélération moyenne :
Δω
α =
Δt
Accélération instantanée :
Δω
α =
d²θ
=
Δt
dt²
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Accélération tangentielle :
dv
aT =
r . dω
= r.α
=
dt
car v = r . ω
dt
Si le mouvement angulaire est uniforme, il ne devrait pas y avoir d’accélération, donc c’est
que l’accélération tangentielle sera nulle car la vitesse sera constante.
Ceci dit, le corps en mouvement va quand même posséder une accélération centripète
(accélération dirigée vers l’axe de rotation). Elle est due au changement de direction du
vecteur vitesse.
r² ω²
v²
ac =
= r . ω²
=
r
r
Comparaison des mouvements de translation et de rotation :
Grandeur
Position
déplacement
Translation
Rotation
Relation
x
θ
x = r.θ
Vitesse
v
ω
v = r.ω
Accélération
a = a t + ac
α
ac = ω² . r
at = r . α
rq :
Lorsqu’un corps tourne autour d’un axe, celui-ci a tendance à s’écarter de sa trajectoire car
il est soumis à la force centrifuge. Si l’on veut maintenir ce corps sur sa trajectoire, on va
exercer une force centripète. Cette force centripète sera égale à la force centrifuge en
intensité mais elle aura un sens opposé à la force centrifuge.
θ = rad
fc = m . a c
ω = rad/s
α = rad/s²
v²
fc = m .
= m . r . ω²
r
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Exemple : Analyse du swing en golf.
Au cours du swing on considère que le système biomécanique S formé des membres
supérieurs et du club de golf (longueur de S : 1,60 m) a un mouvement de rotation par
rapport à un axe situé au milieu des épaules.
En position 1 de départ (club en position haute, vitesse nulle) le système S fait un angle θ
de 120° avec la verticale. La vitesse linéaire (ou tangentielle) de l’extrémité du club au
moment où il frappe la balle (position 2 verticale ; θ = 0°) est égale à 10 m/s.
La durée du geste (position 1 à position 2) est égale à 0,1 s.
- Calculer la vitesse angulaire moyenne du système S au cours du geste.
- Calculer la valeur de la vitesse angulaire du système S en position 2.
- Calculer l’accélération angulaire moyenne du système S au cours du geste. Tous les
résultats seront donnés en unités internationales.
Δθ
ω =
120 - 0
=
Δt
= 1200 °/s
0,1
ω = 1200 . π / 180 = 20,93 rad/s
ω = v / r = 10 / 1,60 = 6,25 rad/s
Δω
α =
6,25 - 0
=
Δt
= 62,5 rad/s²
0,1
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II. LE MOMENT D’INERTIE
Quand un corps est en mouvement rectiligne, c’est la masse du corps en mouvement qui
va représenter l’inertie au mouvement ou la résistance. Plus la masse du corps sera
importante, plus l’objet sera difficile à déplacer.
C’est la même chose lors d’un mouvement angulaire.
Dans le mouvement angulaire, la masse ne constitue pas le seul facteur qui constitue
l’inertie du mouvement : il y a aussi la distribution de la masse.
A. CALCUL DU MOMENT D’INERTIE POUR UNE MASSE PONCTUELLE
Soit un point de masse m qui se trouve à l’extrémité d’une ficelle et qui tourne sans
frottement sur un plan horizontal.
Les forces qui agissent sont le poids et la réaction de la surface.
Ces deux forces par rapport à l’intensité sont égales mais opposées et par rapport à l’axe,
le moment du poids et le moment de la réaction vont se compenser.
Le corps, effectuant un mouvement circulaire, est soumis à une force centrifuge.
fc = T(ficelle)
T produit l’accélération centripète.
rq : MT et MFC sont nuls car ils passent par le centre de rotation (extrémité de la ficelle).
Si on ajoute à ce système une force Fa, le système n’est plus en équilibre.
ΣF = m.a
Σ F = P + R s + fc + T + F a = m . a
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Fa = m . a
Fa = m . a = m . r . α
Σ M F/o = M P/o + M Rs/o + M fc/o + M T/o + M Fa/o
M F/o = - Fa ^ r
M F/o = - Fa . r = - m . r . α . r = - (m . r²) α = - I . α
La quantité m.r² est le moment d’inertie de la masse ponctuelle de notre point
m = I. En fonction de la position du moment de rotation on aura une inertie qui sera
différente.
On peut donc écrire :
ΣF = m.a
mouvement de translation
ΣM = I.α
mouvement de rotation
Cas particulier : la statique.
Si a = 0 et α = 0
pas de mouvement ou un mouvement uniforme.
Alors Σ F = 0 et Σ M = 0
B. L’EVALUATION DU MOUVEMENT D’INERTIE D’UN CORPS
On divise un corps en n éléments de masses m1, m2, … mn et de rayons r1, r2, … rn
(distance par rapport à l’axe de rotation)
I1 = m1 . r²1
I2 = m2 . r²2
....................
In = mn . r²n
n
Itotal = Σ I
(moment d’inertie total du corps)
1
rq : Plus r sera grand plus I total sera grand et tout dépend aussi du corps et de la position
de l’axe par rapport au corps.
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C. CALCUL DU MOMENT D’INERTIE D’UN SEGMENT
Selon un axe de rotation passant par le centre de gravité.
I = I0 + I1
I = m.r²0 + m.d²
I = m (r²0 + d²)
tel que I0 = m . r²0 et I1 = m . d²
I0 correspond au moment d’inertie par rapport au centre de gravité.
d correspond à la distance entre les deux axes (entre axe passant par centre de gravité et
axe choisi)
Exemple :
Soit un homme de 65 kg dont la cuisse mesure 42 cm.
La distance entre le centre de gravité de sa cuisse et son articulation de hanche étant
donnée par d = 0,433 x longueur de cuisse, calculer le moment d’inertie du segment cuisse
lorsque l’axe de rotation passe : premièrement par le centre de gravité du segment
considéré, deuxièmement par la hanche.
1)
I0 = m . r²0
I0 = (0,1 x 65) x (0,323 x 42 x 10-2)²
I0 = 0,120 kg.m²
2)
Première solution :
I
I
I
I
=
=
=
=
I0 + I1
I0 + m.d²
0,120 + (0,1 x 65) x (0,433 x 42 x 10-2)
0,335 kg.m²
Deuxième solution : (avec table)
I = m.r²
I = (0,1 x 65) x (0,54 x 42 x 10-2)
I = 0,334 kg.m²
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III. LE MOMENT CINETIQUE
F = m.a
F . Δt = m . a . Δt
Δv
F . Δt = m .
. Δt
Δt
F . Δt = m . Δv
ΣM = I.α
Σ M . Δt = I . α . Δt
Δω
avec α =
Δt
Σ M . Δt = I . Δω
F . Δt = m . Δv
On a donc :
Σ M . Δt = I . Δω
Or p = m . v
et L = I . ω
(L : moment cinétique)
L = I.ω
L = m . r² . ω
A. LE TRANSFERT DU MOMENT CINETIQUE
On peut transformer ce moment d’une partie du corps à une autre.
B. LA NUTATION
C’est transférer une partie du moment cinétique d’un plan à un autre ou d’un axe de
rotation à un autre.
ex : salto + vrille.
Début : rotation autour d’un axe transversal (a) puis rotation et asymétrie des bras.
Bras : diminution du moment d’inertie : le sujet part pour effectuer sa vrille (b).
Soit l’axe (c) qui correspond à la combinaison entre (a) et (b).
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IV. APPLICATION
Le lancer du marteau :
Prise d’élan :
Le lancer est en rotation.
Bilan des forces :
Fc : force centrifuge.
R
P
Si équilibre
ΣF = 0
ΣM= 0
MP/0 + MFc/0 + MR/0 = 0
- P . d2 + Fc . d1 + 0 = 0
P . d2 = Fc . d1
V. ROLE DES FROTTEMENTS LORS D’UN MOUVEMENT
ANGULAIRE
Un cycliste lors d’un virage : il doit se pencher vers l’intérieur pour ne pas déraper.
P + R + fc = 0
R = - P – fc
Pour éviter le dérapage, on a deux possibilités :
- Ralentir : pour diminuer Fc.
- Se pencher : pour augmenter les frottements entre la roue et la route.
Il existe une force de frottement limite telle que cette force soit égale à l’opposé de la force
centrifuge.
ft = - fc
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La force de frottement crée l’accélération centripète : sa valeur maximale dépend du
coefficient de frottement statique maximum.
A chaque moment, la roue est immobile par rapport à la route.
Lors d’un dérapage, ft est déterminée par le coefficient de frottement cinétique (difficulté
de récupérer l’adhérence du véhicule)
Fc
m . v²
Tan α =
=
P
1
×
R
m.g
v²
Tan α =
R.g
ω² . R
Tan α =
g
Rx compense déjà un certain degré de force centrifuge. On relève dans les virages, mais il
faut déjà une certaine vitesse.
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