Les suites numériques

Les suites numériques.
A. Définition, vocabulaire et notations.
Définition. Une suite est une fonction de l’ensemble  des entiers naturels, ou d’une partie de  dans .
Exemple. La suite u, qui à chaque entier n associe 2n. Cette suite est notée
u :   .
n  2n
Notation et vocabulaire.
 L’image de n par la suite u est notée un au lieu de u(n).
 un est un « terme » de la suite.
 Si la suite commence par u0 , un est le (n + 1)ième terme, ou terme de rang n + 1.
 Si la suite commence par u1 , un est le nième terme, ou terme de rang n.
 La suite est notée, (un)n (ou plus simplement (un)).
 Avec l’exemple précédent on dit que la suite (un) a pour terme général 2n.
Précisons que le terme général d’une suite peut être défini par
 une relation du type un = f (n) comme dans le cas de notre exemple ;
 son premier terme et une relation du type un+1 = f (un). Dans ce cas on dit que la suite est définie par
récurrence. C’est le cas des suites que nous allons étudier maintenant.
B. Suites Arithmétiques.
B.1. Définitions.
Définitions. On appelle suite arithmétique toute suite numérique dont chaque terme s’obtient en ajoutant un
réel constant appelé raison, au terme précédent. Bien sûr il faut connaître le 1er terme de la suite.
(un) est une suite arithmétique  il existe un réel r (la raison) tel que pour tout n  , un+1 = un + r .
Exemple.
La suite définie par u0 = 8000 et la relation un+1 = un + 420.
a) Quelle est la raison de cette suite arithmétique ?
b) Expliciter la fonction f qui permet de définir cette suite par récurrence.
Propriété caractéristique.
Une suite est arithmétique si pour tout entier n, la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette
constante est la raison de la suite.
Exemple. Montrer que la suite définie pour tout entier n par un = 4n – 2 est une suite arithmétique dont on
précisera le premier terme et la raison.
Exercice. Montrer que la suite des entiers multiples de 3 est une suite arithmétique dont on précisera le
premier terme et la raison.
B.2. Calcul du terme d’indice n d’une suite arithmétique de raison r.


Si le premier terme est u0 alors un = u0 + nr.
Si le premier terme est u1 alors un = u1 + (n – 1)r.
Remarque : un est le (n + 1)ième terme
Remarque : un est le n ième terme.
Preuve.
Exercice. Quel est le 400e nombre impair ?
B.3. Calcul de la somme des premiers termes d’une suite arithmétique.
 Somme des n premiers nombres entiers non nuls.
S = Error! .
 Somme des premiers termes d’une suite arithmétique.
-
u0 + u1 +  + un - 1 + un = Error! .
-
u1 + u2 +  + un - 1 + un = Error! .
Remarque. Il y a n + 1 termes.
Remarque. Il y a n termes.
S = Error!..
À retenir
Exercice. Calculer la somme des 20 premiers nombres pairs.
C. Suites Géométriques.
C.1. Définitions.
Définitions. On appelle suite géométrique toute suite numérique dont chaque terme s’obtient en multipliant le
terme précédent par un réel constant appelé raison, au. Bien sûr il faut connaître le 1er terme de la
suite.
(un) est une suite géométrique  il existe un réel q (la raison) tel que pour tout n  , un+1 = q  un.
Exemple. La suite définie par v0 = 8000 et par la relation vn+1 = 1,05  vn.
Propriété caractéristique.
Une suite est géométrique si pour tout entier n, le quotient Error! est constant. Cette constante est la raison de
la suite.
Exemple. Montrer que la suite (un) définie par un = 3n est une suite géométrique dont on précisera le premier
terme et la raison.
Exercice. L’unité d’intensité de son est le décibel (symbole dB). Une source sonore emet un son d’intensité
100 dB. Le son traverse des plaques d’isolation phonique. Chacune de ces plaques absorbe 10 % de l’intensité
du son qui lui parvient.
On appelle un l’intensité du son à sa sortie de la nième plaque et on pose u0 = 100. Calculer u1, u2.
Exprimer un+1 en fonction de un. En déduire la suite de la suite (un).
C.2. Calcul du terme d’indice n d’une suite géométrique.


Si le premier terme est u0 alors un = u0  qn.
Si le premier terme est u1 alors un = u1  qn-1 .
Remarque : un est le (n + 1)ième terme.
Remarque : un est le n ième terme.
Exercice.
Soit une suite géométrique de premier terme v0 =
8 000 et de raison q = 1,05. Calculer son 5ième terme.
C.3. Calcul de la somme des premiers termes d’une suite géométrique.
 Somme des puissances successives de q.
 si q  1,
1 + q + q2 +  + qn = Error!.
1 + q + q2 +  + qn = n + 1.
 si q = 1,
 Somme des premiers termes d’une suite géométrique.
À retenir
 si q = 1,
u0 + u1 + u2 +  + un = (n + 1)  u0.
 si q  1,
u0 + u1 + u2 +  + un = Error!.Remarque. Il y a n + 1 termes.
 si q  1,
u1 + u2 + u3 +  + un = Error!.
si q  1,
S =
Remarque. Il y a n termes.
Error!..
Exercice.
Calculer la somme des 11 premières puissances de 2.
Exercice.
Soit une suite géométrique (vn) de premier terme v0 = 8000 et de raison q = 1,05.
Calculer la somme des dix premiers termes.
D. Comportement global d’une suite définie par un = f(n).
f étant une fonction définie sur [0 ; +[ = + ou sur ]0 ; +[ = +* .
D.1. Représentation.
Propriété.
Soit f une fonction définie sur + et (un)n  IN, la suite définie pour tout entier naturel n, par un = f(n).
SoitC la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal (O ;

;i ,

;j ).
Les termes de la suite sont les ordonnées des points de la courbe dont les abscisses sont des entiers
naturels.
Exemple.
D.2. Sens de variation.
Définition.
On dit que la suite (un)n  IN est strictement décroissante, si pour tout entier n, un + 1 – un < 0.
On dit que la suite (un)n  IN est strictement croissante, si pour tout entier n, un + 1 – un > 0.
Théorème.
Soit f une fonction définie sur + et (un)n  IN, la suite définie pour tout entier naturel n, par un = f(n).
● Si la fonction f est strictement croissante alors la suite (un)n  IN est strictement croissante.
● Si la fonction f est strictement décroissante alors la suite (un)n  IN est strictement décroissante.
E. Notion de limite.
E.1. Limites des suites définies par une relation du type un = f(n).
Théorème.
●
lim;
n
●
+
n = + .
Pour tout entier p strictement positif : lim;
n
np = + .
+
Conséquences.
●
lim;
n
●
+
Error! = 0.
Pour tout entier p strictement positif : lim;
n
Théorème.
+
Error! = 0.
La suite (un)n  IN, étant définie par une relation du type un = f(n),
si lim;
x
+
f(x) = l, alors lim;
n
+
un = l.
E.2. Limite des suites géométriques.
Théorème.
Soit (un) une suite géométrique de 1er terme u0 = 1 et de raison q avec q > 0.
Pour tout nombre entier naturel un = qn.
●
si q > 1, lim;
x
●
qn = + .
+
si 0 < q < 1, lim;
x
●
qn = 0
+
si q = 1, la suite (un) est constante et égale à 1 et par conséquent, lim;
x
qn = 1.
+
Remarque.
un = qn  un = f(n) avec f(x) = qx = ex ln q
Soit la suite arithmétique (un) de 1er terme u0 et de raison r.
u1
u2

un
=
=
=
=
u0 + r
u1 + r

un - 1 + r
u1 + u2 +  + un = (u0 + r) + (u1 + r) +  + (un - 1 + r)
u1 + u2 +  + un = u0 + u1 + u2 +  + un - 1 + nr
En soustrayant aux deux membres de l’égalité u1 + u2 +  + un - 1 on obtient :
un = u0 + nr
Soit la suite arithmétique (un) de 1er terme u0 et de raison r.
u0 + u1 + u2 +  + un - 1 + un = u0 + (u0 + r) +  + (u0 + (n – 1) r) + (u0 + nr).
u0 + u1 + u2 +  + un - 1 + un = (n + 1) u0 + (1 +  + (n – 1) + n) r .
comme 1 +  + (n – 1) + n = Error! , on a :
u0 + u1 + u2 +  + un - 1 + un = (n + 1) u0 + Error! = Error! (2u0 + nr)
u0 + u1 + u2 +  + un - 1 + un = Error! (u0 + u0 + nr) = Error! (u0 + un).
Soit la suite géométrique (un) de 1er terme u0 et de raison q.
u1
u2

un
=
=
=
=
u0  q
u1  q

un - 1  q
u1  u2    un = (u0  q)  (u1  q)    (un - 1  q)
u1  u2    un = u0  u1  u2    un - 1  qn
En divisant les deux membres de l’égalité par u1  u2    un - 1 on obtient :
un = u0  qn