PHY-144 Préparatoire 2 (solution) QUESTION 1 : a) le déplacement = la surface sous la courbe du graphique v(t). 1 1 x (2 m/s 0 m/s)(1s 0s)+2m/s(3s 1s)+ (3 m/s - 2 m/s)(3s 1s)+3m/s(5s 3s) 2 2 1 + (3 m/s 0 m/s)(7s 5s) 2 x 15 m ou x +15 m i b) l’accélération est la pente du graphique v(t). De t = 0 à t = 1s : a (2 m/s 0 m/s) 2 m/s2 (1s 0s) De t = 1 à t = 3s : a (3 m/s 2 m/s) 0,5 m/s2 (3s 1s) De t = 3 à t = 5s : a (3 m/s 3 m/s) 0 m/s2 (5s 3s) (0 m/s 3 m/s) De t = 5 à t = 7s : a 1,5 m/s2 (7s 5s) Graphique de a(t) : 1 QUESTION 2 : P i P i x =0m Policier : v = 0 m/s P i a = 6 m/s P i ti =0s x Pf = ? v fP = ? MRUA 2 i a Pf = 6 m/s A x Ai = ? A Auto : v i = ? A i MRUA a = 1.5 m/s 2 2 tf = ? f x Af = ? vfA = ? a fA = 1.5 m/s x+ 2 a) Évaluez la position et la vitesse de l’auto lorsque le policier démarre : On choisit t = 0 s lorsque le policier démarre; à cet instant, l’auto a accéléré depuis 3 secondes, avec une accélération de 1,5 m/s2 et une vitesse initiale de 3 m/s. Donc, à l’instant ti = 0 s, on calcule : 1,5 2 xA 0 m 3m s 3s m s 2 3 s 15, 75 m i 2 A 2 v 3 m s 1,5 m s 3 s 7,5 m / s i b) Calculez le temps écoulé entre le départ du policier et le moment où celui-ci rattrape l’auto : Lorsque le policier rejoint l’auto, à l’instant tf inconnu, les deux véhicules occupent la même position, à savoir : x Af x Pf , avec : x Af 15, 75 m 7,5 m s t f ti 2 1,5 m s 2 t f ti 2 2 6 x Pf 0 m 0 m s t f ti m s 2 t f ti 2 D’où on tire l’équation quadratique suivante : 2, 25 t 2f 7,5 t f 15,75 0 La solution mathématique devient : t f 7,5 7,5 4 2, 25 15, 75 2 2 2, 25 Donc : t f 4, 79 s ou 1, 46 s On choisit la valeur positive; donc t f 4, 79 s . 2 c) Calculez la distance séparant le restaurant du lieu de la rencontre : À l’instant t f 4, 79 s , on calcule : x Af x Pf 68,93 m d) Calculez la vitesse de l’auto et du policier à cet instant : À l’instant t f 4, 79 s , on calcule : v Pf 0 m s 6 m s 2 4, 79 s 28, 76 m s 103,5 km h v Af 7,5 m s 1,5 m s 2 4, 79 s 14, 69 m s 52,9 km h QUESTION 3 : y y i = 50 m v i = -10 m/s ti =0s a = - g = -9.81 m/s Montre : 2 (MRUA) tf = ? yf = 0 m vf = ? Sol a) Calculer le temps de vol de la montre, à savoir t Mf La montre est soumise à une chute libre, avec une vitesse initiale de 10 m/s vers le sol, à partir d’une hauteur initiale de 50 m. 2 g y f yi v yi t f ti t f ti 2 On pose donc : 2 9,81 0 m 50 m 10 m s t f m s 2 t f 2 on calcule : t f 10 10 4 4,905 50 4,37 s 2 2 4,905 ou 2,33 s on conserve tf positif, à savoir : t f 2,33 s 3 b) Calculer la vitesse de la montre juste avant de toucher le sol, à savoir v Mf : À l’instant t f 2,33 s , on calcule : vMf 10 m s 9,81m s2 2,33 s 32,86 m s , le signe négatif de la vitesse indique que la montre tombe. c) Combien de temps, après l’impact au sol de la montre, le parachutiste touche-t-il le sol ? y y i = 50 m v i = -10 m/s ti =0s Parachutiste : a = 0 m/s 2 tf = ? yf = 0 m vf = -10 m/s (MRU) Sol Comme le parachutiste est animé d’un mouvement de chute avec une vitesse constante, donc avec une accélération nulle, on peut évaluer son temps de vol t Pf . On pose : y Pf yiP viP t Pf tiP 0 m 50 m 10 m s t Pf On calcule : t Pf 5 s Donc le parachutiste touche le sol 2,67 s (5 s – 2,33 s) après la montre. 4 QUESTION 4 : y ti =0s xi = 0 m yi = ? vx i = 75 cos(30) m/s vy i = -75 sin(30) m/s ay= - g = -9.81 m/s 30 2 (MRUA) Vi ax= 0 m/s 2 (MRU) tf = ? x f = 500 m yf = 0 m vx f = v x i vy f = ? x a) Déterminez la hauteur de l’avion si le paquet doit être largué 500 m devant le camp : Le mouvement vertical du paquet est une chute libre; 2 g On pose : y f yi v yi t f ti t f ti avec : vyi vi sin 30 37,5 m s 2 Le temps de vol tf est déterminé en examinant le mouvement horizontal du paquet, à savoir : x f xi vxi t f ti avec vxi vi cos 30 64,95 m s x f xi 500 m 0 m 7, 7 s vxi 64,95 m s 9,81 2 m s 2 7, 7 s Et puisque : 0m yi 37,5 m s 7, 7 s 2 On pose alors : t f ti alors : yi 579,3 m b) Calculez le temps de vol du paquet : Le temps de vol tf a été calculé à la question précédente, à savoir : t f ti x f xi vxi 500 m 0 m 7, 7 s 64,95 m s 5 c) Calculez la vitesse d’impact du paquet au sol (grandeur et orientation) : On pose la vitesse d’impact (vecteur) v f vxf v yf où : vxf vxi vi cos 30 64,95 m s v yf v yi g t f ti 37,5 m s 9,81 m s 2 7, 7 s 113, 0 m s On calcule alors la grandeur de la vitesse d’impact (théorème de Pythagore) vf v xf v 130,34 m s 2 2 y yf Et son orientation (relativement au sol) : v yf v xf tan 1 60,1 vx f x vy f Vf d) Les coordonnées du paquet (x,y) 4 secondes avant son impact au sol : On calcule donc les coordonnées xf et yf à l’instant tf = 7,7 s – 4 s = 3,7 s, en posant les équations suivantes : x f xi vxi t f ti 0 m 64,95 m s 3, 7 s 240,3 m y f yi v yi t f ti 2 g 9,81 2 t f ti 579,3 m 37,5 m s 3, 7 s m s 2 3, 7 373, 4 m 2 2 e) Calculez la vitesse du paquet (grandeur et orientation) à cet instant : On pose la vitesse d’impact (vecteur) v f vxf v yf où : vxf vxi vi cos 30 64,95 m s v yf v yi g t f ti 37,5 m s 9,81 m s 2 3, 7 s 73,8 m s On calcule alors la grandeur de la vitesse d’impact (théorème de Pythagore) vf v xf v 98,3 m s 2 2 yf 6 y Et son orientation (relativement au sol) : vx f v yf v xf tan 1 48, 6 x vy f Vf QUESTION 5 : DA A Courroie C 1 DB B moteur électrique Courroie C2 DE E DH H a) Calculer le rayon de la poulie A si elle tourne 2 fois plus vite que la poulie B : On pose : vA = vB, d’où : A RA B RB avec : A 2 B R 120 mm 60 mm On calcule alors : 2 B RA B RB d’où : RA B 2 2 On demande aussi de calculer le rayon de la poulie H si elle tourne 1,5 fois moins vite que la poulie E : On pose : vH = vE, d’où : H RH E RE avec : E 1,5H On calcule alors : H RH 1,5H RE d’où : RH 1,5 RE 1,5 60 mm 90 mm b) On a un MCUA, avec les données suivantes : Initial : ti = 0 s; iB iE 2000 RPM 209, 4 rad s 7 Final : tf = 5 s; Bf Ef 5000 RPM 523,6 rad s 1) Calculez l’accélération angulaire de chaque poulie (rad/s2) : Les poulies B et E sont mues par l’arbre du moteur; donc : B E On pose : Bf iB B t f ti 523, 6 rad s 209, 4 rad s B 5 s D’où : B E 62,8 rad s 2 La poulie A est reliée à la poulie B par une courroie; donc : aTA aTB RB Donc : A RA B RB A B 125, 6 rad s 2 RA La poulie H est reliée à la poulie E par une courroie; donc : aTH aTE RE Donc : H RH E RE H E 41,9 rad s 2 RH 2) Calculez l’accélération linéaire tangentielle aT à la circonférence de chaque poulie (m/s2) : On calcule : aTA aTB B RB 62,8 rad s 2 0,12 m 7,54 m s 2 aTH aTE E RE 62,8 rad s 2 0, 06 m 3, 77 m s 2 3) Calculez l’accélération linéaire aT des courroies C1 et C2 (m/s2) : On note que la courroie C1 est reliée aux poulies A et B. On pose donc : aTC1 aTA aTB 7,54 m s 2 On note que la courroie C2 est reliée aux poulies H et E. On pose donc : aTC 2 aTH aTE 3, 77 m s 2 4) Calculez la vitesse angulaire de chaque poulie (en RPM) à l’instant t = 3 s : Les poulies B et E sont mues par l’arbre du moteur; elles sont soumises au même MCUA. Donc : Ef Bf iB B t f ti 209, 4 rad s 62,8 rad s 2 3 s 397,9 rad s 3799, 7 RPM Et la poulie A tourne 2 fois plus vite que la poulie B. Donc : fA 2 Bf 7599,3 RPM Et la poulie H tourne 1,5 fois moins vite que la poulie E. 8 Donc : H f Ef 1,5 2533,1 RPM 5) Calculez la vitesse linéaire tangentielle vT à la circonférence de chaque poulie (m/s) à l’instant t = 3 s : On calcule : vTA vTB B RB 397,9 rad s 0,12 m 47, 7 m s vTH vTE E RE 397,9 rad s 0, 06 m 23,9 m s 6) Calculez la vitesse linéaire tangentielle vT des courroies C1 et C2 (m/s) à l’instant t =3s: On note que la courroie C1 est reliée aux poulies A et B. On pose donc : vTC1 vTA vTB 47, 7 m s On note que la courroie C2 est reliée aux poulies H et E. On pose donc : vTC 2 vTH vTE 23,9 m s 7) Le nombre de tours effectués par les poulies A et H entre les instants 0 s et 3 s : Les poulies A et H sont toutes deux soumises à un MCUA. On pose donc, pour la poulie A : i A f A A i t f ti A 2 t f ti 2 Et on calcule : fA 0 rad 2 209, 4 rad s 3 s 125, 6 rad s 2 2 3 s 1821.6 rad 289.9 tours 2 Et on pose, pour la poulie H : fH iH iH t f ti H 2 t f ti 2 Et on calcule : 209, 4 rad s 41,9 rad s 2 2 fH 0 rad 3 s 3 s 607, 4 rad 96, 7 tours 1,5 2 9