Questions de révisions pour le contrôle de Topologie Définitions etc..

Questions de révisions pour le contrôle de Topologie
Définitions etc..
1. Donner la définition d’un espace métrique.
2. Donner des exemples d’espace métriques.
3. Donner la définition d’une suite de Cauchy.
4. Donner la définition d’un espace métrique complet.
5. Donner des exemples d’espace métriques complets (non-complets).
6. Donner l’énoncé exacte du théorème du point fixe de Banach.
7. Donner la définition d’un espace topologique.
8. Donner la définition d’un espace topologique métrisable.
9. Donner la définition d’une base d’une topologie.
10. Donner des exemples d’espace topologiques et leurs bases.
11. Donner 2 topologies comparables et 2 topologies non comparables sur
12. Donner les définitions de Int A; Adh A; Ext A; Fr A d’une partie
A
X
= fa; b; cg.
d’un espace topologique.
13. Donner la définition d’une application continue entre deux espaces topologiques.
14. Donner les différentes caractérisations de continuité d’une application entre deux espaces topologiques.
15. Donner la définition d’une application ouverte (fermée) entre deux espaces topologiques.
16. Donner la définition d’un homéomorphisme entre deux espaces topologiques.
17. Quelles sont les applications qui sont toujours continues entre certains espaces topologiques.
18. Donner la définition d’une propriété topologique.
19. Donner la définition de
(A; TA ), si A est une partie de (X; T ). Quelle est la base de (A; TA ).
20. Donner les définitions de la topologie TZ et la base BZ de
Z
=X Y.
21. Donner la définition d’un espace topologique compact.
22. Donner les différentes caractérisations de compacité sur les espaces topologiques (métriques, Euclidiens).
23. Donner des exemples d’espaces topologiques compacts (non-compacts).
24. Donner l’énoncé du théorème de Heine-Borel.
25. Donner l’énoncé du théorème des valeurs extrêmes.
26. Donner l’énoncé du théorème Tychonoff.
Introduction à la Topologie
UFAS 2015:El-Bachir Yallaoui
Propositions etc..
Si une des assertions suivantes est vraie donner une preuve sinon donner un contre exemple.
1. Dans un espace métrique
(
B x; r
) est un ouvert et Bf (x; r) est un fermé.
2. Dans un espace métrique Adh B (x; r) = Bf (x; r) et Int Bf (x; r) = B (x; r).
3. Dans un espace métrique toute partie finie est fermée.
f g n’est pas un ouvert.
4. Dans un espace métrique le singleton
5.
A
6.
A
7.
A
est ouvert si et seulement si
0
A
x
= Int A et A est fermé si et seulement si A = Adh A.
A
.
est fermé si et seulement si
0
A
.
A
8. L’injection canonique est continue.
9. La restriction d’une application continue est continue.
10. La projection pX
11. R; (a; b); (
12. Si
f
1
:X Y
!
; X (x; y ) = x est continue.
X p
) et (d; 1) sont homéomorphes.
;c
: X ! Y est continue et X et f = f(x; f (x)) : x 2 X g sont homéomorphes.
13. Toute application bijective, continue et ouverte est un homéomorphisme.
14. Toute suite convergente est de Cauchy.
15. Toute suite de Cauchy est convergente.
16. Tout suite de Cauchy qui possède une sous-suite convergente est convergente.
17. Tout ensemble complet est fermé.
18. Toute partie fermée est complète.
19. Toute partie fermée d’un espace complet est complète.
20. Toute partie complète d’un espace complet est fermée.
21. L’image continue d’une partie complète est complète.
22. La complétude est une propriété topologique.
23. Le produit fini d’espaces métriques est complet si et seulement si chacun des facteurs est complets.
24. L’image uniformément continue d’une suite de Cauchy est de Cauchy.
25. Si
X
R alors
f
: X ! X avec jf j < k < 1 est une contraction.
0
26. Toute partie finie d’un espace topologique est compacte.
27. Toute partie fermée d’un espace topologique compact est compacte.
28. Toute partie compacte d’un espace topologique Hausdorff est fermée.
29. Toute partie compacte d’un espace métrique est bornée et fermée.
30. Dans (R; j j), si
[0; 1] est compact alors [a; b] est compact aussi.
31. Toute partie fermée et bornée de (R; j j) est compacte.
32. Toute partie compacte de (R; j j) est fermée et bornée.
33. Dans (R; Tu ), si on suppose que
[0; 1] est compact alors [a; b]; a < b est compact.
34. Toute partie bornée et fermée de (R; Tu ) est compacte.
35. Toute partie compacte de (R; Tu ) est bornée et fermée.
36. Si
f
: [a; b] ! R est continue alors f ([a; b]) = [c; d].
Introduction à la Topologie
UFAS 2015:El-Bachir Yallaoui
37. Toute partie bornée et fermée d’un espace métrique est compacte?
38. Toute partie compacte d’un espace topologique est fermée?
39. L’image continue d’une partie compacte est compacte.
40. La compacité est une propriété topologique.
41. L’union finie de parties compactes est compacte.
42. L’intersection finie de parties compactes est compacte.
43. Si
X
44. Si
Z
et
Y
sont compacts alors
Z
= X Y est compact.
= X Y est compact alors X et Y sont compacts.
45. Toute partie finie d’un espace topologique Hausdorff est fermée.
46. Si
f
47. Si
f
48. Si
A
: X ! Y est continue et injective, et Y est Hausdorff alors X est Hausdorff.
: X ! Y est continue et Y est Hausdorff alors f = f(x; f (x)) : x 2 X g est fermé dans X Y .
est une partie connexe de
X
et alors Adh A l’est aussi.
49. L’image continue d’une partie connexe est connexe.
50. Le produit de deux espaces connexes est connexe.
Introduction à la Topologie
UFAS 2015:El-Bachir Yallaoui