TDportrait.dvi (TDportrait.ps) - classe de pcsi

P.C.S.I. 1 et 2
T.D. No1 de mécanique
1
Freinage
Deux voitures se suivent à une distance D à la meme vitesse V0 = 108 km/h. A un certain moment, la
première voiture commence à freiner avec une décélération a1 = 6 m.s−2 , la seconde voiture ne commence
à freiner qu’avec un retard τ = 1 s et une décélération a2 = 5 m.s−2 . A quelle condition doit satisfaire D
pour que la seconde voiture s’arrete sans heurter la première?
Réponse : D > 45 m
2
Mouvement rectiligne
Un mobile est astreint à se déplacer sur une droite. A l’instant t = 0, il possède la vitesse V0 = 20 m/s et
l’accélération a0 = 2 m/s2 . Le mobile a un mouvement décéléré tel que a = −kV où k est une constante
que l’on calculera en précisant son unité.
1. Déterminer sa vitesse et sa position en fonction du temps.
2. Au bout de combien de temps s’arrête-t-il ? quelle distance a-t-il alors parcourue ?
3. Quel est le temps t1 au bout duquel il a parcouru l1 . Quelle est alors sa vitesse ?
3
Mouvement circulaire de deux points
Deux points M1 et M2 tournent d’un mouvement uniforme sur un cercle de rayon R avec des vitesses
respectivement égales à V1 et V2 = kV1 (k entier naturel > 1). Sachant qu’à l’instant initial les deux points
se trouvent au même endroit, déterminer leur point de rencontre lorsque :
1. les deux points tournent dans le même sens ;
2. les deux points tournent en sens inverse.
3. Application: A quelles dates les 2 aiguilles d’une montre sont-elles superposées?
Réponses : 1 - θp = p
4
2π
2π
2 - θp = p
3 - tp = 1 h 5 min 45 s
k−1
k+1
Mouvement circulaire
Préciser l’accélération d’un mobile se déplaçant à la vitesse V = 72 km/h constante sur une trajectoire
formée de deux segments rectilignes parallèles raccordés par deux quarts de cercle de meme rayon R = 20 m:
avant A, entre A et B, entre B et C et après C.
A
O2
B
O1
C
1
5
Trajectoire en spirale
Les équations en polaires d’un mouvement plan sont :
r = r0 e−t/τ et θ = t/τ où t désigne le paramètre temps.
1. Exprimer la vitesse du point M en coordonnées polaires en fonction du temps.
2. Exprimer l’accélération du point M en coordonnées polaires en fonction du temps.
3. Représenter qualitativement l’allure de cette trajectoire et déterminer sa longueur.
Réponse : l =
6
√
2r0
Trajectoire hélicoidale
Un point matériel M décrit la trajectoire suivante :
x = 3 cos t y = 3 sin t z = 2t où t désigne le paramètre temps et les distances sont exprimées en mètre.
1. Décrire la trajectoire décrite par M .
2. Calculer la vitesse de M en coordonnées cartésiennes.
3. En déduire que le vecteur tangent à la trajectoire fait un angle constant avec Oz. Calculer cet angle.
4. Calculer la longueur de la trajectoire entre les points d’altitude z = 0 et z = 4π.
√
√
Réponses : r = 3, z = θ, α = arccos(2/ 13), l = 2π 13
7
Trajectoire en spirale
→
−
→
→
On étudie le mouvement d’un point matériel dont la position −
r , la vitesse V et l’accélération −
a vérifie la
→
−
→
−
→
−
relation a = −2b V − c r (relation 1) où b et c sont des constantes positives dont on précisera les unités.
On utilise les coordonnées polaires car le mouvement est plan. De plus on la vitesse angulaire θ̇ = ω est
supposée constante, et à t = 0, on a r = r0 et θ = 0.
1. Ecrire les deux équations différentielles du mouvement reliant r, θ et leurs dérivées temporelles en
~ r et U
~ θ.
projetant la relation 1 sur les vecteurs de base U
2. En déduire r = r0 ebt .
3. En déduire l’expression de ω en fonction de b et c (on pensera pour cette question à utiliser les questions
précédentes).
4. Donner l’allure de la trajectoire.
Réponses : ṙ − br = 0, r̈ − 2bṙ + (c − ω 2 )r = 0, ω =
8
√
c − b2
Longueur d’une trajectoire
Un mobile décrit une trajectoire définie en coordonnées polaires par l’équation r = r0 (1 + cos θ) où r0 est
une constante. M se déplace à vitesse angulaire constante θ̇ = ω.
1. Déterminer les vecteurs vitesse et accélération en coordonnées polaires. Montrer que V = 2r0 ω| cos(θ/2)|.
~ θ.
2. Montrer que V~ fait un angle θ/2 avec U
2
3. Remplir un tableau donnant les valeurs de r en fonction de r0 pour θ = 0, π/4, π/2, ...
4. Montrer que r(θ) = r(−θ). En déduire la présence d’un axe de symétrie, lequel?
5. Tracer pour chacune des valeur de θ du tableau : le point M, les vecteurs de base, le vecteur vitesse.
En déduire l’allure de la trajectoire.
6. Calculer la période et la longueur L de cette trajectoire.
9
Lancement d’une torpille
V
N
β
θ
U
S
1. Un navire N est animé d’un mouvement rectiligne uniforme de vitesse ~v le long d’une droite. Un
sous-marin S tire à l’instant où l’angle (N~S, ~v ) a la valeur β comprise entre 0 et π/2 bornes exclues.
~ . Quelle doit être la valeur de l’angle de
La torpille est animée d’un mouvement uniforme de vitesse U
~
~
tir θ = (U , SN ) si l’on veut couler le navire ?
2. On désire maintenant que la torpille atteigne le navire en un temps minimum. Pour quelles valeurs β0
de β cela est possible. En déduire l’angle de tir θ0 correspondant.
Réponses : sin θ = V /U sin β, tan β0 = U/V , θ0 = π/2 − β0
10
Tracteur
Un tracteur partant d’un point A situé sur une route rectiligne, doit atteindre un point B situé dans un
champ à la distance d de la route (soit d = BC), et ce en un temps minimal. On suppose les trajets successifs
AD et DB rectilignes et parcourus à vitesse constante par le tracteur qui va deux fois moins vite dans le
champ que sur la route.
l
x
A
D
C
d
B
1. Etablir l’expression du temps mis pour rejoindre B en fonction de x.
2. En quel point D, le tracteur doit-il quitter la route?
3. Etablir le lien entre cet exercice et les lois de Descartes.
3