Exercice 1 (4 points)

TS2 , TS4
Spé mathématiques
Contrôle N°3 (1 heure)
TS2 , TS4
Spé mathématiques
Contrôle N°3 (1 heure)
Exercice 1 (4 points) :
a) Déterminer la décomposition de 52 en un produit de facteurs premiers.
b) En déduire l’ensemble des diviseurs de 52.
c) Déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels non nuls ( a ; b ),
avec a < b , tels que :
PGCD ( a ; b ) = 5 et PPMC ( a ; b ) = 260 .
Exercice 1 (4 points) :
d) Déterminer la décomposition de 52 en un produit de facteurs premiers.
e) En déduire l’ensemble des diviseurs de 52.
f) Déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels non nuls ( a ; b ),
avec a < b , tels que :
PGCD ( a ; b ) = 5 et PPMC ( a ; b ) = 260 .
Exercice 2 (7 points) :
Soient a, b, q, r quatre entiers tels que a = bq + r.
1) Peut-on dire forcément que r est le reste de la division euclidienne de a par b ?
Expliquer.
2) On note D ( x ; y ) l’ensemble des diviseurs communs à deux entiers x et y.
a) Démontrer que D ( a ; b ) = D ( b ; r ) .
b) En déduire que PGCD ( a ; b ) = PGCD ( b ; r ) .
3) Application : soit n un entier naturel non nul.
Soient les nombres a = 9n + 4 et b = 2n – 1 .
a) Déterminer le PGCD ( a ; b ) suivant les valeurs de n.
b) En déduire une valeur de n supérieure à 10 telle que :
PGCD ( 9n + 4 ; 2n – 1 ) = 17.
Exercice 2 (7 points) :
Soient a, b, q, r quatre entiers tels que a = bq + r.
4) Peut-on dire forcément que r est le reste de la division euclidienne de a par b ?
Expliquer.
5) On note D ( x ; y ) l’ensemble des diviseurs communs à deux entiers x et y.
a) Démontrer que D ( a ; b ) = D ( b ; r ) .
b) En déduire que PGCD ( a ; b ) = PGCD ( b ; r ) .
6) Application : soit n un entier naturel non nul.
Soient les nombres a = 9n + 4 et b = 2n – 1 .
c) Déterminer le PGCD ( a ; b ) suivant les valeurs de n.
d) En déduire une valeur de n supérieure à 10 telle que :
PGCD ( 9n + 4 ; 2n – 1 ) = 17.
Exercice 3 (5 points) :
Démontrer de deux façons différentes que , pour tout n ∈ IN, le nombre
n 3 – n est divisible par 6 :
- 1) en utilisant les congruences (on peut faire un tableau si l’on veut).
- 2) en utilisant une récurrence.
- (on pourra démontrer dans un premier temps que pour tout n ∈ IN,
- n2 + n est pair)
Exercice 3 (5 points) :
Démontrer de deux façons différentes que , pour tout n ∈ IN, le nombre
n 3 – n est divisible par 6 :
- 1) en utilisant les congruences (on peut faire un tableau si l’on veut).
- 2) en utilisant une récurrence.
- (on pourra démontrer dans un premier temps que pour tout n ∈ IN,
- n2 + n est pair)
Exercice 4 (4 points) :
a) Démontrer que 3 ≡ – 2 ( mod 5 ) .
b) En déduire que si k est un naturel pair, alors 3 k ≡ 2 k ( mod 5 ) .
c) Démontrer que , pour tout entier naturel n, le nombre
A = 28 × 3 2 n + 3 – 16 × 7 2 n est divisible par 5.
Exercice 4 (4 points) :
d) Démontrer que 3 ≡ – 2 ( mod 5 ) .
e) En déduire que si k est un naturel pair, alors 3 k ≡ 2 k ( mod 5 ) .
f) Démontrer que , pour tout entier naturel n, le nombre
A = 28 × 3 2 n + 3 – 16 × 7 2 n est divisible par 5.