Partie ANALYSE Chapitre 3 La fonction cube I

Partie ANALYSE
Chapitre 3 La fonction cube
I/ Fonctions de référence :
Activité 1 : Extrapolation linéaire.
La consommation de yaourts est passée de 19,9 kg par personne en 2000
à 22,3 kg par personne en 2007. On modélise cette consommation par une
fonction affine f où x est le nombre d’années écoulées depuis 2000.
a.
b.
Déterminer l’expression de cette fonction affine, en arrondissant
-3
le coefficient a à 10 près.
En supposant que l’évolution se poursuit ainsi pendant quelques
années, estimer la consommation de yaourts en 2015.
1°) Fonction, Ensemble de définition :
Définition : D est un intervalle ou une réunion d’intervalles.
Définir une fonction f sur D, c’est associer à chaque réel x de D un unique réel noté f(x) et appelé image de x par f.
On dit que x est un antécédent de f(x) par f.
Exemple : La fonction f : x
√
est définie sur [0 ; +∞[. On note l’ensemble de définition de la fonction f : df = [0 ;+∞[.
Calculer l’image de 5 : f(5) = √
Donner un antécédent de 4 : √ = 4 ⇔ x = 4² ie x = 16
2°) Courbe représentative :
Définition : Un repère du plan étant choisi, la courbe représentative de f notée Cf est l’ensemble des points M de
coordonnées (x ; f(x)) lorsque x décrit df. On dit que Cf a pour équation y = f(x).
Exemple :
Tracer la courbe de la fonction racine carrée sur [0 ; +∞[ :
3°) Sens de variation :
Définition : I est un intervalle contenu dans l’ensemble de définition df de f.
* f est croissante sur I signifie que :
pour tous réels a et b de I, si a < b alors f(a)  f(b) .
* f est strictement croissante sur I signifie que :
* f est décroissante sur I signifie que :
pour tous réels a et b de I, si a < b alors f(a) < f(b) .
pour tous réels a et b de I, si a < b alors f(a)≥ f(b) .
* f est strictement décroissante sur I signifie que :
pour tous réels a et b de I, si a < b alors f(a) > f(b) .
On résume les variations dans un tableau de variations.
NB : On peut dresser aussi le tableau de signes de la fonction qui nous donne le signe de f(x) suivant les valeurs de x.
4°) Extrémum :
Définitions : I est un intervalle contenu dans l’ensemble de définition df de f.
* m est le minimum de f sur I signifie que m est la plus petite valeur prise par f sur I :
pour tout réel x de I, f(x) ≥ m et m = f(a) où a  I
* M est le maximum de f sur I signifie que M est la plus grande valeur prise par f sur I :
pour tout réel x de I, f(x)  M et M = f(b) où b  I
5°) Fonctions de référence connues:
1°) Les fonctions affines
Courbe
Pour la droite : ordonnée à l’origine : b et
coefficient directeur : a
Sens de Variation
Si a > 0 alors la fonction est strictement
croissante sur IR.
Si a < 0 alors la fonction est strictement
décroissante sur IR.
2°) La fonction carré
Courbe
f(x) = x²
Sens de Variation
Si 0  a < b alors a² < b²
Si a < b  0 alors a² > b²
3°) La fonction inverse
Courbe
f(x) =
Sens de variation
Si 0  a < b alors
Si a < b < 0 alors
4°) La fonction racine carrée :
Courbe
f(x) = √
Sens de variation
Si 0 ≤ a < b alors √
√
5°) Les fonctions polynômes du second degré, famille dont fait partie la
fonction carré
cf chapitre 0
6°) Les fonctions homographiques :
f(x) =
avec a , b, c et d 4 réels et a et c non nuls
La courbe est une hyperbole.
II . La fonction cube :
Activité :
1°) Visualiser la courbe de la fonction cube à l’écran calculatrice en prenant un pas de 0,5 sur [-5 ; 5].
2°) Vrai ou Faux ?
a.
b.
c.
d.
La fonction f est monotone sur IR cad qu’elle garde le même sens de variation ? OUI
La courbe admet un centre de symétrie ? OUI : l’origine du repère
L’équation x3 = -8 n’admet pas de solutions ? Non : unique solution -2
L’inéquation x3 < -1 admet comme ensemble solution : ] ;-1[. OUI
e. La fonction est positive sur IR. NON
3°) Variations de f :
a. Compléter en visualisant la courbe sur calculatrice et en
visualisant ce dessin dans l’espace :
Si 0 ≤ a < b alors a3 < b3
Si a < b ≤ 0 alors a3 > b3
Démonstration du sens de variation de la fonction cube :
A/ Vérifier que pour tous réels a et b : a3 – b3 = (a – b)(a² + ab + b2)
(a – b)(a² + ab + b2) = a3 + a²b + ab² - a²b – ab² - b3 = a3 – b3.
B/ Montrer que si a et b sont de même signe, alors a² + ab + b² est positif :
Si a et b sont de même signe alors :
Soit a < b ≤0 et alors : ab ≥ 0 et a² + b² > 0 donc a² + ab + b² > 0.
Soit 0 ≤ a < b et alors : ab ≥ 0 et a² + b² > 0 donc a² + ab + b² > 0.
C/ Montrer que si a < 0 et b > 0, alors f(a) < f(b) : Si a < 0 < b alors a3 < 0 < b3.
D/ A l’aide des questions précédentes, montrer que f est strictement croissante sur  :
Si a < b alors d’après B/ et C/ , on a : a3 < b3.
Définition : La fonction cube est la définie sur IR par f(x) = x3.
PROP 1 : Si x ≥ 0 alors x3 ≥ 0 Si x ≤ 0 alors x3 ≤ 0
Un nombre réel et son cube sont de même signe.
PROP 2 :
* Dans un repère du plan, la courbe admet un centre de symétrie : l’origine O du repère.
* f est une fonction impaire : pour tout réel x, f(-x) = -f(x).
Courbe : Placer les points A(0 ;0), B(1 ;1), C(2 ;8) puis B’(-1 ;-1), C’(-2 ;-8) :
Preuve :

Pour tout réel x, f(-x) = (-x)3 = (-1)3 * x3 = -1 * x3 = -x3 = – f(x).
Remarque préalable : dans un repère quelconque, deux points symétriques par rapport à l’origine O ont pour
coordonnées M(x ; y) et M’(-x ; -y).

M(x ; y)
si, et seulement si, y = x3 soit –y = -x3 soit –y = (-x)3 soit N(-x ; -y)
Or les points M et N sont symétriques par rapport à O donc on vient de démontrer que tout point de la
courbe a son symétrique par rapport à O encore sur la courbe et réciproquement.
La courbe est totalement conservée par symétrie centrale de centre O.
PROP 3 : Sens de Variation
La fonction cube est strictement croissante sur IR. Pour tous réels a et b, si a < b alors a3 < b3
Applications : résolution d’équations ou d’inéquations
PROP 4 : Pour tout réel a,
x3 = a3
Exemple : Résoudre les équations
si et seulement si
x3 = 512
x = a.
x3 = 0,125
Utilisation de touche RACINE CUBIQUE de la calculatrice.
PROP 5 : Pour tout réel a,
x3 < a3
Exemple : Résoudre les inéquations
si et seulement si
x3 >
x < a.
-1 ≤ x3 ≤ 0,027
x3 = -5