Trigonométrie I] Cercle trigonométrique et radians Dans le plan muni d’un repère orthonormé , on appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1 sur lequel on définit un sens de parcours appelé sens trigonométrique et correspondant au sens inverse des aiguilles d’une montre. Remarques : Le périmètre du cercle trigonométrique est de 2. On considère la droite graduée tangente au cercle en . Pour un réel repéré sur la droite , on considère le point M que l’on obtiendrait sur le cercle trigonométrique par « enroulement » de sur le cercle. On dit que M est l’image sur le cercle du réel Exercice 1 : Soit le cercle ci-contre de rayon 1. Après avoir indiqué d’une flèche le sens positif, compléter la figure en plaçant les points : O, le centre du cercle A, le point de coordonnées (1 ; 0) M, un point du cercle P, la projection sur l’axe des abscisses du point M : cos Q, la projection sur l’axe des ordonnées du point M : sin T, le point d’intersection entre le droit (OM) et la tangente au cercle passant par A : tan Exercice 2 : Placer sur le cercle trigonométrique les points correspondant à Outils de mathématiques – Semestre 1 – Chapitre 1 puis les points : Page 1 Trigonométrie II] Sinus, cosinus et tangente II-/ Définitions Soit le point de coordonnées (1 ; 0) dans le repère orthonormé. On considère sur le cercle trigonométrique, le point M image du réel . On dit que mesure exprimée en radians, à près est une de l’arc orienté IM ou de l’angle orienté II-/ Relation fondamentale et propriétés élémentaires Remarque : cette relation découle du théorème de Pythagore Propriétés : Exercice 3 : est un réel tel que Calculer la valeur de Résultat On ne peut pas le déterminer II-/ Périodicité Outils de mathématiques – Semestre 1 – Chapitre 1 Page 2 Trigonométrie III] Quelques valeurs remarquables IV] Angles orientés – Mesures IV- / Définitions Définition 1 : On considère sur le cercle trigonométrique, le point M image du réel On dit que est une mesure en radians de l’angle orienté , noté plus simplement Les mesures d’un angle en degrés et en radians sont proportionnelles. Le coefficient de proportionnalité est de pour passer des degrés aux radians et de pour passer des radians aux degrés. Définition 2 : deux vecteurs et non nuls déterminent un angle orienté . En considérant un cercle trigonométrique, on définit une mesure en radians de l’angle orienté . Remarque : si et sont des réels strictement positifs, les mesures des angles et sont identiques. IV-/ Propriétés Soit un angle orienté et une mesure en radians de . L’ensemble des mesures de l’angle orienté est l’ensemble des réels avec . L’angle orienté a une et une seule mesure dans l’intervalle , cette mesure est appelé mesure principale de l’angle . Outils de mathématiques – Semestre 1 – Chapitre 1 Page 3 Trigonométrie Remarques : On assimilera souvent un angle orienté à ses mesures. Ainsi, on pourra écrire ou que = ou . Pour que deux réels soient des mesures du même angle orienté soit un multiple entier de (c'est-à-dire avec On écrira ou . , il faut et il suffit ). Exercice 4 : Déterminer les mesures principales des angles dont les mesures sont : . Lorsque la mesure de l’angle n’est pas dans l’intervalle multiple entier de , se ramener à une mesure dans . , il faut en faisant apparaître un donc l’angle de mesure mesure principale a pour . Avec la même méthode, on obtient ensuite : Exercice 5 : Soit ABCD, un carré de centre O tel que (on dit que ABCD est un carré direct). Déterminer une mesure (en radians) de chacun des angles (aucune justification n’est demandée). (voir figure en annexe) Pour tout vecteur non nul , on a : Pour tous vecteurs et non nuls, on a : Pour tous vecteurs non nuls Soient , et , on a : (Relation de Chasles). , deux vecteurs non nuls : sont colinéaires et de même sens sont colinéaires et de sens contraires sont colinéaires c'est-à-dire Outils de mathématiques – Semestre 1 – Chapitre 1 Page 4 Trigonométrie Exercice 6 : On considère deux vecteurs tels que Déterminer ; Exercice 7 : 1°) Soit ABC un triangle Démontrer que 2°) Soit ABC un triangle équilatéral tel que Montrer qu’il n’est pas possible d’avoir En déduire que Justifier de même que 3°) Soit ABC un triangle équilatéral tel que Soit A’, B’ et C’les milieux respectifs de [BC], [AC], [AB]. Déterminer (on justifiera). Voir la correction en annexe. V] Equations trigonométriques élémentaires V-/ Propriétés V-/ Application Résoudre : On sait que D’où . Donc si alors dans la relation donc Outils de mathématiques – Semestre 1 – Chapitre 1 Page 5 Trigonométrie D’après les propriétés élémentaires, Outils de mathématiques – Semestre 1 – Chapitre 1 Page 6