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TD Introduction de la fonction exponentielle
A l’aide des suites géométriques
Terminale S
1) Représentations graphiques de suites :
⎯
→
⎯
→
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O; i ; j )
a) Suites arithmétiques :
On considère la suite arithmétique ( un ) de premier terme u0 = 1 et de raison 2
∀n ∈!, on a un =
On représente graphiquement la suite ( un ) par les points de coordonnées ( n, un ) .
Ces points sont alignés sur la droite d’équation y =
b) Suites géométriques :
On considère la suite géométrique ( un ) de premier terme u0 = 1 et de raison 2.
On a ∀n ∈!, on a un =
.
a) Compléter :
n
un
0
1
2
3
4
5
b) Représenter graphiquement les cinq premiers termes de la suite.
On voudrait savoir s’il existe, comme pour les suites arithmétiques,
une fonction f dérivable sur ! dont la représentation graphique passe
par tous les points An , ∀n ∈!.
•
Cette fonction f peut-elle être affine ?
•
Déterminer le trinôme du second degré dont la représentation graphique
passe par A0 , A1 et A2 .
Cette représentation graphique passe-t-elle par A3 ?
La fonction f peut-elle être un polynôme du second degré ?
En fait, la représentation graphique de aucune des fonctions dérivables sur !
que nous avons rencontrées jusque-là ne peut passer par tous les points An , ∀n ∈!.
Novembre 2016
2) Racines nièmes, puissances rationnelles
a) On appelle racine carrée, racine cubique et de façon générale la racine nième, ∀n ∈!∗ , d’un nombre
positif a le nombre positif b tel que bn = a . On note n a cette racine nième.
Par définition, on a
( a)
n
n
= a.
3
5
4
Déterminer 2 9 =
8=
81 =
32 =
b) Soient un nombre positif a et deux entiers p et q, q ≠ 0.
On peut définir a
q
(( ) )
p
q
comme étant égal à
( a) .
p
q
(( ) )
⎛ qp ⎞
p q
p×q
q× p
q p
q
q
q
q
a
= a
= a
=
a
= ap
⎜⎜ a ⎟⎟ =
⎝ ⎠
C'est cohérent avec les formules sur les puissances.
( )
( )
c) Compléter alors le tableau suivant :
x
x=
0.1
p
q
p
2x = 2 q
0.5
1.2
1.7
1
10
1
210 = 10 2 ; 1.07
3) La fonction puissance
Supposons qu’il existe une définie et dérivable sur
Nous allons conjecturer une relation entre f et f’.
On rappelle que f est dérivable en a ∈ ° ⇔ lim
!
telle que ∀x ∈!, f ( x ) = 2 x .
f (a + h) − f (a)
h →0
h
existe.
a) Commençons par choisir a = 1 .
b) Recommençons avec différentes valeurs de a :
Quelle conjecture pouvons-nous faire sur le rapport
f '(a )
f (a)
en général ?
2.4